[Toán 11][Chuyên đề Toán 11 (có đáp án)]Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa - Toán lớp 11 - Giải Bài Tập

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

A. Phương pháp giải

+ Định nghĩa đạo hàm của hàm số: Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a; b) và ∈(a;b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f( x) tại điểm và kí hiệu:

+ Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Bước 1: giả sử ∆ x là số gia của đối số x0. Tính ∆ y= f( + ∆x) – f() .

Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x

Bước 3.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y= f(x) tại < 1 ?

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.

Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số y= f(x) liên tục tại . Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại là

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ví dụ 3. Số gia của hàm số y= f(x )= + 1 ứng với = 1 và ∆ x= 1 bằng bao nhiêu?

A. – 10 B . 7 C. - 1. D. 0

Hướng dẫn giải

Ta có ∆y= f( + ∆x)-f()=( +1- -1 = 3..∆x+ +Với =1 và ∆ x=1 thì ∆ y=7.

Chọn B

Ví dụ 4 . Tỉ số ∆y/∆x của hàm số f(x) = x2+ x theo x và làA. ∆x+1 B. - ∆x C. + ∆x+1 D. .∆x++1

Hướng dẫn giải

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại . Ta có: ∆ y=f( + ∆x)-f( )=( + + ∆x- - = + .∆x++ + ∆x- - = .∆x++ ∆x

Ví dụ 5. Số gia của hàm số y= f( x) = 2x+ 8 ứng với số gia của đối số x tại = 3 là

A. 3 B. 2∆x C. -2∆x + 3 D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Với số gia của đối số x tại x0 = 3. Ta có

∆ y=f( + ∆x)-f( )=2( + ∆x)+8--8 = 2∆x

suy ra Số gia của hàm số tại x0 = 3 là 2∆x.

Chọn B

Ví dụ 6. Cho hàm số y= - 1. Tính ∆ y của hàm số theo x và ∆ x?A. .∆ x+ 3x. +B. .∆ x+ x. +C. .∆ x+ 3x.+ +2

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Giả sử ∆ x là số gia của đối số.

+ Ta có; ∆y= f( x+∆x) - f( x) = – 1- +1 = + .∆ x+ 3x. + – = .∆ x+ 3x. +

Chọn A.

Ví dụ 7. Cho hàm số y= + 2x- 3. Tính tỉ số ∆y/∆x theo x và ∆ x A. 2x+ ∆x-2 B. 2x+ ∆x+2

C. 2x- ∆x+2 D. 2x+ ∆x+2

Hướng dẫn giải

+ Gọi ∆x là số gia của đối số x.

+ Ta có: ∆ y= f(x+ ∆x) – f(x)= [ +2(x+ ∆x)- 3] – [+ 2x -3] = + 2x. ∆x + + 2x +2.∆x – 3 – - 2x + 3 = 2x. ∆x + + 2.∆x

+ ∆y/∆x=2x+ ∆x+2

Chọn D.

Ví dụ 8. Cho hàm số y= f( x)= - x, đạo hàm của hàm số ứng với số gia của đối số x tại x0 làA.+1 B. – 2 C. - 2∆x D. - 1

Hướng dẫn giải

(I). f' (0)=1

(II) Hàm số không có đạo hàm tại x0= 0.

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng.

Hướng dẫn giải

Gọi ∆x là số gia của đối số tại 0 sao cho ∆ x > 0 .

Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 11. Cho hàm số y= 8x+ 10. Tính đạo hàm của hàm số tại = -1.

A. 6 B. 10 C. 8 D. - 15

Hướng dẫn giải

+ Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0= -1.

∆ y= f( -1+ ∆x) – f( -1) = 8( - 1+∆x)+ 10 –[ 8.(- 1)+ 10]

= - 8+ 8∆x+ 10- 2 = 8.∆x

suy ra ∆y/∆x=8 nên

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm = -1 là 8.

Chọn C.

A. 0 B. 2 C. 1 D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Với giá trị nào của a; b thì hàm số có đạo hàm tại x= 1?

Hướng dẫn giải

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Số gia của hàm số y= - + 8 ứng với x và làA. -6x. ∆x -3 B. -6x. ∆x+ 3- 16C. 6x. ∆x -3 + 16 D. -6x - 3. ∆xHiển thị lời giải+ Gọi ∆x là số gia của đối số x. + Ta có: ∆ y= f(x+ ∆x) – f(x)= [ - 3 +8] – [- + 8] = - - 6x. ∆x -3+ 8 + - 8 = -6x. ∆x -3

Chọn A.

Câu 2: Xét ba mệnh đề sau:(1) Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm x= thì hàm số liên tục tại điểm đó. (2) Nếu hàm số y= f( x) liên tục tại điểm x= thì hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm đó.

(3) Nếu y=f(x) gián đoạn tại x= x0 thì chắc chắn hàm số y=f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Trong ba câu trên:

A. Có hai câu đúng và một câu sai. B. Có một câu đúng và hai câu sai.

C. Cả ba đều đúng. D. Cả ba đều sai.

Hiển thị lời giải(1) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x= thì hàm số y= f(x) liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.(2) Nếu hàm số y= f(x) liên tục tại điểm x= thì hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm đó là mệnh đề sai.

Ví dụ : Lấy hàm ta có D= R nên hàm số y= f(x) liên tục trên R .