Vấn đề 4: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM M

Phương pháp áp dụng

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm một phép tịnh tiến $T\overrightarrow{v}$, biến điểm E di động thành điểm M.

Bước 2: Tìm tập hợp (H) của các điểm E.

Bước 3: Vậy tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép tịnh tiến $T\overrightarrow{v}$.

Ví dụ 1: (Bài 4/tr 9 - Sgk): Cho đường tròn (O) và hai điểm A và B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích điểm ${M}'$ sao cho $\overrightarrow{M{M}'}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}$.

Giải

Từ giả thiết, ta có: $\overrightarrow{M{M}'}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}$

Tức là M' là ảnh của điểm ${M}$qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Vậy, quỹ tích điểm M’ là đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Ví dụ 2: (Bài 3/tr 6 – Sbt): Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi. Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P, Q. Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ.

Giải

Ta lần lượt:

• Gọi là trực tâm ∆MPQ, suy ra H chính là giao điểm của hai đường cao MM' và NQ (tức AQ). Ta có:

MM’ // AB ⇒ MH1 // OA

⇒ OA là đường trung bình của ∆MNH1

⇒ MH1 // 2OA $\Rightarrow \overrightarrow{M{{H}_{1}}}=\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow {{H}_{1}}={{T}_{\overrightarrow{AB}}}\left( N \right)$

Và vì M chạy trên (O) nên H1 chạy trên đường tròn $\left( {{O}_{1}} \right)={{T}_{\overrightarrow{AB}}}\left( \left( O \right) \right)$.

• Gọi là trực tâm suy ra chính là giao điểm của hai đường cao NN' và MP (tức AP). Ta có:

Và vì N chạy trên (O) nên chạy trên đường tròn

Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O) và (O1) cắt nhau tại hai điểm, gọi A là một giao điểm. Đường thẳng (d) di động qua A và cắt hai đường tròn đã cho tại M và N. Trên hai tia AM và AN lấy hai điểm B và C sao cho $2\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MN}$.Tìm quỹ tích các điểm B và C.

Giải

Dựng OE và vuông góc với (d)

Ta có E, F lần lượt là trung điểm các đoạn AM, AN và:

$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{NA} \right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$

Dựng vuông góc với OE, khi đó tứ giác là hình chữ nhật

Từ đó suy ra:

$\overrightarrow{{{O}_{1}}I}=\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AB}\Rightarrow {{O}_{1}}ABI$ là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{IB}=\overrightarrow{{{O}_{1}}A}\Rightarrow B={{T}_{\overrightarrow{{{O}_{1}}A}}}\left( I \right).$

Vì $\widehat{{O}'IO}$ vuông nên tập hợp các điểm I là đường tròn đường kính , từ đó suy ra tập hợp các điểm B là đường tròn $\left( {{{{O}'}}_{2}} \right)$ với:

$\left( {{{{O}'}}_{2}} \right)={{T}_{\overrightarrow{{{O}_{2}}A}}}\left[ \left( {{O}_{2}} \right) \right]$.

Tương tự ta có tập hợp điểm C là đường tròn với:

$\left( {{{{O}'}}_{3}} \right)={{T}_{\overrightarrow{OA}}}\left[ \left( {{O}_{2}} \right) \right].$