Vấn đề 5: DỰNG HÌNH

Phương pháp áp dụng

Ta thường thực hiện theo 4 bước đã biết.

Ví dụ l: (Bài 4/tr 6 – Sbt): Cho hai đường tròn không đồng tâm (O, R), (O1, R1) và điểm A trên (O, R). Xác định điểm M trên (O, R) và điểm N trên (O1, R1) sao cho $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OA}$.

Giải

Phân tích: Giả sử đã dựng được hai điểm M, N thoả mãn điều kiện đầu bài, suy ra:

$N={{T}_{\overrightarrow{OA}}}\left( M \right)\Rightarrow N\in \left( A,R \right)={{T}_{\overrightarrow{OA}}}\left( \left( O,R \right) \right),$

tức N là giao điểm của hai đường tròn (A, R) và (O1, R1).

Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện:

- Dựng (A, R).

- Xác định giao điểm N của (A, R) và (O1, R1).

- Dựng $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OA}.$

Chứng minh: Theo cách đựng ta có ngay N thuộc (O1, R1) và:

MN//OA ⇒ OANM là hình bình hành ⇒ OM = AN = R ⇒ $M\in \left( O,R \right)$.

Biện luận: Bài toán có nghiệm hình phụ thuộc vào số giao điểm của hai đường tròn (A, R) và (O1, R1).

Ví dụ 2: Dựng hình thang ABCD (AB//CD) biết hai đường chéo AC = a, BD = b, góc ABC = α và đường trung bình MN = c.

Giải

Phân tích: Giả sử đã dựng được hình thang ABCD thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thực hiện phép tịnh tiến:

${{T}_{\overrightarrow{CA}}}:D\mapsto {D}'$

khi đó tứ giác ACDD’ là hình bình hành nên ta có:

BD' = BA + AD' = AB + DC = 2MN = 2c

⇒ ∆BDD’ dựng được, (biết 3 cạnh).

Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện:

Dựng ∆BDD’ với BD’ = 2c, BD = b, DD’ = a

- Dựng Dx // BD’

- Dựng By hợp với BD’ góc α, By cắt Dx tại C.

- Dựng Cz // DD’, Cz cắt BD" tại A

Thì tứ giác ABCD là hình thang cần dựng.

Chứng minh: Theo cách dựng ta có:

- CD//AB nên ABCD là hình thang; BD = b, góc ABC= α

- AC = DD' = a (do ACDD’ là hình bình hành) và:

$MN=\frac{1}{2}\left( AB+DC \right)=\frac{1}{2}\left( AB+A{D}' \right)=\frac{1}{2}B{D}'=c$

Biện luận: Bài toán có nghiệm hình: