Phương trình cân bằng nhiệt

Bài 25. PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG NHIỆT

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

• Khi có hai vật truyền nhiệt cho nhau thì :

+ Nhiệt truyền từ vật có nhiệt độ cao hơn sang vật có nhiệt độ thấp hơn cho tới khi nhiệt độ hai vật bằng nhau.

+ Nhiệt lượng vật này tỏa ra bằng nhiệt lượng vật kia thu vào.

• Phương trình cân bằng nhiệt:

Q tỏa ra = Q thu vào ⇔ $m_{1}$.$c_{1}$.($t_{1}$ - t) = $m_{2}$$c_{2}$(t - $t_{2}$)

II. BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP

25.1. Người ta thả ba miếng đồng, nhôm, chì có cùng khối lượng vào một cốc nước nóng. Hãy so sánh nhiệt độ cuối cùng của ba miếng kim loại trên.

A. Nhiệt độ của ba miếng bằng nhau.

B. Nhiệt độ của miếng nhôm cao nhất, rồi đến miếng đồng, miếng chì.

C. Nhiệt độ của miếng chì cao nhất, rồi đến miếng đồng, miếng nhôm.

D. Nhiệt độ của miếng đồng cao nhất, rồi đến miếng nhôm, miếng chì.

Trả lời: Chọn A.

Nhiệt độ cuối cùng của ba miếng kim loại trên khi đã cân bằng nhiệt là bằng nhau.

25.2. Người ta thả ba miếng đồng, nhôm, chì có cùng khối lượng và cùng được nung nóng tới 100°C vào một cốc nước lạnh. Hãy so sánh nhiệt lượng do các miếng kim loại trên truyền cho nước.

A. Nhiệt lượng của ba miếng truyền cho nước bằng nhau.

B. Nhiệt lượng của miếng nhôm truyền cho nước lớn nhất, rồi đến miếng đồng, miếng chì.

C. Nhiệt lượng của miếng chì truyền cho nước lớn nhất, rồi đến miếng đồng, miếng nhôm.

D. Nhiệt lượng của miếng đồng truyền cho nước lớn nhất, rồi đến miếng nhôm, miếng chì.

Trả lời: Chọn B

Gọi nhiệt dung của các chất tương ứng là đồng, nhôm, chì $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$. Vì có cùng khối lượng cùng nhiệt độ đầu và cuối ta có nên:

$Q_{1}$ = m$c_{1}$$\Delta$t, $Q_{2}$ = m$c_{2}$$\Delta$t, $Q_{3}$ = m$c_{3}$$\Delta$t.

Vì rằng theo bảng 24.4 SGK thì $c_{2}$ > $c_{1}$ > $c_{3}$ nên $Q_{2}$ > $Q_{1}$ > $Q_{3}$

25.3. Một học sinh thả 300g chì ở 100°C vào 250g nước ở 58,5°C làm cho nước nóng lên tới 60°C.

a) Hỏi nhiệt độ của chì ngay khi có cân bằng nhiệt.

b) Tính nhiệt lượng nước thu vào.

c) Tính nhiệt dung riêng của chì.

d) So sánh nhiệt dung riêng của chì tính được với nhiệt dung riêng của chì tra trong bảng và giải thích tại sao có sự chênh lệch. Lấy nhiệt dung riêng của nước là 4190J/kg.K.

Giải

Tóm tắt: $m_{2}$ = 300g = 0,3kg; $t_{2}$ = 100°C; $m_{1}$ = 250g = 0,25kg

$c_{1}$ = 4190J/kg.K; $t_{1}$ = 58,5°C; t = 60°C; Tìm $c_{2}$ = ? (J/kg.K)

a) Nhiệt độ cuối cùng của chì cũng là nhiệt độ cuối cùng của nước, nghĩa là bằng 60°C

b) Nhiệt lượng nước thu vào:

Q = $m_{1}$$c_{1}$(t - $t_{1}$) = 4 190.0,25(60 – 58,5) = 1 571,25J

c) Nhiệt lượng trên do chì tỏa ra, do đó nhiệt dung riêng của chì:

d) Chỉ gần bằng, vì đã bỏ qua nhiệt lượng truyền cho môi trường xung quanh.

25.4. Một nhiệt lượng kế chứa 2 lít nước ở nhiệt độ 15°C. Hỏi nước nóng lên tới bao nhiêu độ nếu bỏ vào nhiệt lượng kế một quả cân bằng đồng thau khôi lượng 500g được nung nóng tới 100°C.

Lấy nhiệt dung riêng của đồng thau là 368J/kg.K, của nước là 4186J/kg.K. Bỏ qua nhiệt lượng truyền cho nhiệt lượng kế và môi trường bên ngoài.

Đã cho: $m_{1}$ = 2kg; $t_{1}$ = 15°C; $m_{2}$ = 0,5kg, $t_{2}$ = 100°C; $c_{1}$ = 4186J/kg.K; $c_{2}$ = 368J/kg.K. Tìm t = ? (°C)

Giải:

Nhiệt lượng quả cân tỏa ra:

$Q_{1}$ = $m_{1}$.$c_{1}$($t_{1}$ - t) = 0,5.368(100 – t)

Nhiệt lượng nước thu vào:

$Q_{2}$ = $m_{2}$.$c_{2}$(t - $t_{2}$) = 2.4186(t - 15).

Vì Q tỏa = Q thu ⇔ 5.368(100 – t) = 2.4186(t – 15)

⇒ t = 16,82°C

25.5. Người ta thả một miếng đồng khối lượng 600g ở nhiệt độ 100°C vào 2,5kg nước. Nhiệt độ khi có sự cân bằng nhiệt là 30°C. Hỏi nước nóng lên thêm bao nhiêu độ, nếu bỏ qua sự trao đổi nhiệt với bình đựng nước và môi trường bên ngoài?

Giải:

Đã cho: $m_{1}$ = 600g = 0,6kg; $t_{1}$ = 100°C; $m_{2}$ = 2,5kg; t = 30°C; $c_{1}$ = 380J/kg.K; $c_{2}$ = 4200J/kg.K;

Tìm $\Delta$t = ? (°C)

Nhiệt lượng đồng tỏa ra:

$Q_{1}$ = $m_{1}$$c_{1}$($t_{1}$ - t) = 380 . 0,6(100 – 30)

Nhiệt lượng nước thu vào:

$Q_{2}$ = $m_{2}$$c_{2}$(t - $t_{2}$) = 2,5.4200(t - $t_{2}$)

Vì nhiệt lượng tỏa ra bằng nhiệt lượng thu vào

380.0,6.(100 – 30) = 2,5.4200(t – $t_{2}$)

t - $t_{2}$ $\approx$ 1,5°C

Nước nóng thêm lên 1,5°C

25.6. Đổ 738g nước ở nhiệt độ 15°C vào một nhiệt lượng kế bằng đồng có khối lượng 100g, rồi thả vào đó một miếng đồng có khối lượng 200g và nhiệt độ 100°C. Nhiệt độ khi bắt đầu có cân bằng nhiệt là 17°C. Tính nhiệt dung riêng của đồng, lấy nhiệt dung riêng của nước là 4186J/kg.K.

Giải:

Tóm tắt: $m_{1}$ = 200g; $t_{1}$ = 100°C; $m_{2}$ = 738g

$t_{2}$ = 15°C; $c_{2}$ = 4186J/kg.K; $m_{3}$ = 100g; t = 17°C

Tìm $c_{1}$ = ?

Nhiệt lượng do miếng đồng tỏa ra:

$Q_{1}$ = $m_{1}$$c_{1}$($t_{1}$ - t) = 0,2$c_{1}$ (100 – 17)

Nhiệt lượng do nước và nhiệt lượng kế thu vào:

$Q_{2}$ = $m_{2}$$c_{2}$(t - $t_{2}$) = 0,738.4186(17 – 15) và

$Q_{3}$ = $m_{3}$$c_{1}$(t – $t_{2}$) = 0,1$c_{1}$(17-15)

Vì nhiệt lượng tỏa ra = nhiệt lượng thu vào nên: $Q_{1}$ = $Q_{2}$ + $Q_{3}$

Thay số vào phương trình trên sẽ tính được giá trị của $c_{1}$: $c_{1}$ $\approx$ 377 J/kg.K

25.7*. Muốn có 100 lít nước ở nhiệt độ 35°C thì phải đổ bao nhiêu lít nước đang sôi vào bao nhiêu lít nước ở nhiệt độ 15°C. Lấy nhiệt dung riêng của nước là 4190J/kg.K ?

Giải:

Gọi x là khối lượng nước ở 15°C và y là khối lượng nước đang sôi.

Ta có : x + y = 100kg (1)

Nhiệt lượng y kg nước đang sôi tỏa ra:

$Q_{1}$ = y.4190.(100 – 35)

Nhiệt lượng x kg nước ở nhiệt độ 15°C thu vào để nóng lên 35°C:

$Q_{2}$ = x.4190.(35 – 15)

Nhiệt lượng tỏa ra bằng nhiệt lượng thu vào:

$Q_{1}$ = $Q_{2}$ ⇔ x.4190.(35 – 15) = y.4190.(100 – 35)(2)

Giải hệ phương trình (1) và (2), ta được:

x = 76,5kg; y $\approx$ 23,5kg

Vậy phải đổ 23,5 lít nước đang sôi vào 76,5 lít nước ở 15°C

25.8. Thả một miếng nhôm được đun nóng vào nước lạnh. Câu mô tả nào sau đây trái với nguyên lí truyền nhiệt?

A. Nhôm truyền nhiệt cho nước tới khi nhiệt độ của nhôm và nước bằng nhau.

B. Nhiệt năng của nhôm giảm đi bao nhiêu thì nhiệt năng của nước tăng lên bấy nhiêu.

C. Nhiệt độ của nhôm giảm đi bao nhiêu thì nhiệt độ của nước tăng lên bấy nhiêu.

D. Nhiệt lượng do nhôm tỏa ra bằng nhiệt lượng do nước thu vào.

Trả lời: Chọn C

Câu mô tả trái với nguyên lí truyền nhiệt là: Nhiệt độ của nhôm giảm đi bao nhiêu thì nhiệt độ của nước tăng lên bấy nhiêu.

25.9. Câu nào sau đây nói về điều kiện truyền nhiệt giữa hai vật là đúng ?

A. Nhiệt không thể truyền từ vật có nhiệt năng nhỏ sang vật có nhiệt năng lớn hơn.

B. Nhiệt không thể truyền giữa hai vật có nhiệt năng bằng nhau.

C. Nhiệt chỉ có thể truyền từ vật có nhiệt năng lớn sang vật có nhiệt năng nhỏ hơn.

D. Nhiệt không thể tự truyền được từ vật có nhiệt độ thấp sang vật có nhiệt độ cao hơn.

Trả lời: Chọn D

Điều kiện truyền nhiệt giữa hai vật là: Nhiệt không thể tự truyền được từ vật có nhiệt độ thấp sang vật có nhiệt độ cao hơn.

25.10. Hai vật 1 và 2 trao đổi nhiệt với nhau. Khi có cân bằng nhiệt thì nhiệt độ của vật 1 giảm bớt $\Delta t_{1}$, nhiệt độ của vật 2 tăng thêm $\Delta t_{2}$. Hỏi $\Delta t_{1}$ = $\Delta t_{2}$, trong trường hợp nào dưới đây ?

A. Khi $m_{1}$ = $m_{2}$, $c_{1}$ = $c_{2}$, $t_{1}$ = $t_{2}$

B. Khi $m_{1}$ = $\large \frac{3}{2}$$m_{2}$, $c_{1}$ = $\large \frac{2}{3}$$c_{2}$, $t_{1}$ > $t_{2}$

C. Khi $m_{1}$ = $m_{2}$, $c_{1}$ = $c_{2}$, $t_{1}$ < $t_{2}$

D. Khi $m_{1}$ = $\large \frac{3}{2}$$m_{2}$, $c_{1}$ = $\large \frac{2}{3}$$c_{2}$, $t_{1}$ < $t_{2}$

Trả lời: Chọn B

Hướng dẫn: Dùng phương trình cân bằng nhiệt để suy luận: $Q_{1}$ = $Q_{2}$

$m_{1}c_{1}\Delta t_{1}$ = $m_{2}c_{2}\Delta t_{2}$

$\large \frac{3}{2}$$m_{2}$$\large \frac{2}{3}$$c_{2}$$\Delta t_{1}$ = $m_{2}c_{2}\Delta t_{2}$

$m_{2}$$c_{2}$$\Delta t_{1}$ = $m_{2}c_{2}\Delta t_{2}$ ⇔ $\Delta t_{1}$ = $\Delta t_{2}$

25.11. Hai vật 1 và 2 có khối lượng $m_{1}$ = 2$m_{2}$ truyền nhiệt cho nhau. Khi có cân bằng nhiệt thì nhiệt độ của hai vật thay đổi một lượng là $\Delta t_{2}$ = 2$\Delta t_{1}$. Hãy so sánh nhiệt dung riêng của các chất cấu tạo nên hai vật

A. $c_{1}$ = 2$c_{2}$

B.$c_{1}$ = $\large \frac{1}{2}$$c_{2}$

C. $c_{1}$ = $c_{2}$

D. Chưa thể xác định được vì chưa biết $t_{1}$ > $t_{2}$ hay $t_{1}$ < $t_{2}$

Trả lời: Chọn C

Dùng phương trình cân bằng nhiệt để suy luận.

Ta có $Q_{1}$ = $Q_{2}$ ⇒ $m_{1}c_{1}\Delta t_{1}$ = $m_{2}c_{2}\Delta t_{2}$

Thay $m_{1}$ = 2$m_{2}$ và $\Delta t_{2}$ = 2$\Delta t_{1}$

Ta có: 2$m_{2}$$c_{1}$$\large \frac{1}{2}$$\Delta t_{2}$ = $m_{2}c_{2}\Delta t_{2}$ ⇒ $c_{1}$ = $c_{2}$

25.12. Hai quả cầu bằng đồng cùng khối lượng, được nung nóng đến cùng một nhiệt độ. Thả quả thứ nhất vào nước có nhiệt dung riêng 4200J/kg.K, quả thứ hai vào dầu có nhiệt dung riêng 2100J/kg.K. Nước và dầu có cùng khối lượng và nhiệt độ ban đầu.

Gọi $Q_{n}$ là nhiệt lượng nước nhận được, $Q_{d}$ là nhiệt lượng dầu nhận được. Khi dầu và nước nóng đến cùng một nhiệt độ thì

A. $Q_{n}$ = $Q_{d}$

B. $Q_{n}$ = 2$Q_{d}$

C. $Q_{n}$ = $\large \frac{1}{2}$$Q_{d}$

D. Chưa xác định được vì chưa biết nhiệt độ ban đầu của hai quả cầu

Trả lời: Chọn B

Nhiệt lượng nước nhận được $Q_{n}$ = $m_{n}.c_{n}.\Delta t_{1}$

Nhiệt lượng dầu nhân được $Q_{d}$ = $m_{d}.c_{d}.\Delta t_{2}$

Theo giả thiết: $m_{n}$ = $m_{d}$, $\Delta t_{1}$ = $\Delta t_{2}$, $c_{n}$ = 2$c_{d}$

⇒ $Q_{n}$ = 2$Q_{d}$

25.13. Đổ một chất lỏng có khối lượng $m_{1}$, nhiệt dung riêng $c_{1}$ và nhiệt độ $t_{1}$ vào một chất lỏng có khối lượng $m_{2}$ = 2$m_{1}$, nhiệt dung riêng $c_{2}$ = $\large \frac{1}{2}$$c_{1}$ và nhiệt độ $t_{2}$ > $t_{1}$.

Nếu bỏ qua sự trao đổi nhiệt giữa hai chất lỏng và môi trường (cốc đựng, không khí...) thì khi có cân bằng nhiệt, nhiệt độ t của hai chất lỏng trên có giá trị là

Trả lời: Chọn B

Nhiệt lượng chất 1 nhận được $Q_{1}$ = $m_{1}$.$c_{1}$.$\Delta t_{1}$

Nhiệt lượng chất 2 tỏa ra $Q_{2}$ = $m_{2}$.$c_{2}$.$\Delta t_{2}$

Khi cân bằng nhiệt ta có $Q_{1}$ = $Q_{2}$

Theo giả thiết: $m_{2}$ = 2$m_{1}$, $c_{2}$ = $\large \frac{1}{2}$$c_{1}$ và $\Delta t_{1}$ = t - $t_{1}$; $\Delta t_{2}$ = $t_{2}$ - t

25.14. Đổ một chất lỏng có khối lượng $m_{1}$, nhiệt dung riêng $c_{1}$ và nhiệt độ $t_{1}$ vào một chất lỏng có khối lượng $m_{2}$ = 2$m_{1}$, nhiệt dung riêng $c_{2}$ = $\large \frac{1}{2}$$c_{1}$ và nhiệt độ $t_{2}$ > $t_{1}$.

Nếu không bỏ qua sự trao đổi nhiệt giữa hai chất lỏng và môi trường (cốc đựng, không khí...) thì khi có cân bằng nhiệt, nhiệt độ t của hai chất lỏng trên có giá trị là

Trả lời: Chọn B

Nhiệt lượng chất 1 nhận được $Q_{1}$ = $m_{1}$.$c_{1}$.$\Delta t_{1}$

Nhiệt lượng chất 2 tỏa ra $Q_{2}$ = $m_{2}$.$c_{2}$.$\Delta t_{2}$

Nếu bỏ qua sự trao đổi nhiệt với môi trường theo bài trên ta có

Nếu không bỏ qua sự trao đổi nhiệt với môi trường thì phải có $Q_{3}$ = m.c.$\Delta$t

Khi cân bằng nhiệt ta có $Q_{2}$ = $Q_{1}$ + $Q_{3}$

Như vậy ta phải có

⇒ $m_{1}$.$c_{1}$.$\Delta t_{1}$ + $Q_{3}$ = $m_{2}$.$c_{2}$.$\Delta t_{2}$ = 2$m_{1}$.$\large \frac{1}{2}$$c_{1}$.$\Delta t_{2}$

25.15. Một chiếc thìa bằng đồng và một chiếc thìa bằng nhôm có khối lượng và nhiệt độ ban đầu bằng nhau, được nhúng chìm vào cùng một cốc đựng nước nóng. Hỏi

a) Nhiệt độ cuối cùng của hai thìa có bằng nhau không? Tại sao?

b) Nhiệt lượng mà hai thìa thu được từ nước có bằng nhau không? Tại sao?

Trả lời:

a) Nhiệt độ cuối cùng là nhiệt độ khi có cân bằng nhiệt. Do đó nhiệt độ cuối cùng của hai thìa đều bằng nhau.

b) Nhiệt lượng hai thìa thu được từ nước không bằng nhau, vì độ tăng nhiệt độ của hai thìa giống nhau nhưng nhiệt dung riêng của đồng và nhôm khác nhau.

25.16. Một nhiệt lượng kế bằng đồng khối lượng 128g chứa 240g nước ở nhiệt độ 8,4°C. Người ta thả vào nhiệt lượng kế một miếng hợp kim khối lượng 192g được làm nóng tới 100°C. Nhiệt độ khi cân bằng nhiệt là 21,5°C.

Biết nhiệt dung riêng của đồng là 380J/kg.K; của nước là 4200J/kg.K

Tính nhiệt dung riêng của hợp kim. Hợp kim đó có phải là hợp kim của đồng và sắt không? Tại sao?

Trả lời:

Đã cho: $m_{1}$ = 128g, $t_{1}$ = 8,4°C; $c_{1}$ = 380 J/kg.K; $m_{2}$ = 240g

$t_{2}$ = 8,4°C; $c_{2}$ = 4200J/kg.K; $m_{3}$ = 192g; $t_{3}$ = 100°C; t = 21,5°C

Tìm $c_{3}$ = ? (J/kg.K)

Giải:

Nhiệt lượng mà nhiệt lượng kế và nước thu vào:

$Q_{1}$ = $m_{1}$$c_{1}$(t - $t_{1}$) = 0,128.380 (21,5 - 8,4) = 637,184J

$Q_{2}$ = $m_{2}$$c_{2}$(t - $t_{2}$) = 0,24.4200 (21,5 - 8,4) = 13204,8J

Nhiệt lượng miếng hợp kim tỏa ra :

$Q_{3}$ = $m_{3}$.$c_{3}$($t_{3}$ - t) = 0,192.$c_{3}$(100 – 21,5) = 15,072.$c_{3}$

Ta có: $Q_{1}$ + $Q_{2}$ = $Q_{3}$

13841,984 = 15,072.$c_{3}$ ⇒ $c_{3}$ $\approx$ 918 J/kg.K

Hợp kim này không thể là hợp kim của đồng và sắt vì cả hai chất đều có nhiệt dung riêng nhỏ hơn 918J/kg.K.

25.17*. Người ta bỏ một miếng hợp kim chì và kẽm khối lượng 50g ở nhiệt độ 136°C vào một nhiệt lượng kế chứa 50g nước ở 14°C. Biết nhiệt độ khi có cân bằng nhiệt là 18°C và muốn cho nhiệt lượng kế nóng thêm lên 1°C thì cần 65,1J; nhiệt dung riêng của kẽm là 210J/kg.K, của chì là 130J/kg.K, của nước là 4200J/kg.K.

Hỏi có bao nhiêu gam chì và bao nhiêu gam kẽm trong hợp kim?

Trả lời:

Đã cho: $c_{1}$ = 130 J/kg.K; $t_{1}$ = 136°C; $c_{2}$ = 210J/kg.K

$t_{2}$ = 136°C; $c_{3}$ = 4200J/kg.K; $t_{3}$ = 14°C; t = 18°C

Tìm: $m_{1}$, $m_{2}$ = ?

Giải:

Gọi $m_{1}$ là khối lượng của chì, $m_{2}$ là khối lượng của kẽm, m là khối lượng của hợp kim:

m = $m_{1}$ + $m_{2}$ = 0,05kg (1)

Nhiệt lượng chì và kẽm tỏa ra:

$Q_{1}$ = $m_{1}$$c_{1}$(136 -18) = 15 340$m_{1}$

$Q_{2}$ = $m_{2}$$c_{2}$(136 -18) = 24 780$m_{2}$

Nhiệt lượng nước thu vào: $Q_{3}$ = $m_{3}$$c_{3}$(18 - 14) = 840J

Nhiệt lượng kể thu vào: $Q_{4}$ = 65,1.(18 - 14) = 260,4J

Khi cân bằng nhiệt ta có: $Q_{1}$ + $Q_{2}$ = $Q_{3}$ + $Q_{4}$

15 340$m_{1}$ + 24 780$m_{2}$ = 1100,4J (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: $m_{1}$ = 0,013kg và $m_{2}$ = 0,037kg

Vậy khối lượng chì là 13g và khối lượng kẽm là 37g.

25.18*. Người ta muốn có 16 lít nước ở nhiệt độ 40°C. Hỏi phải pha bao nhiêu lít nước ở nhiệt độ 20°C với bao nhiêu lít nước đang sôi ?

Trả lời:

Nhiệt lượng do nước lạnh thu vào : $Q_{1}$ = c$m_{1}$(40 – 20)

Nhiệt lượng do nước nóng tỏa ra : $Q_{2}$ = c$m_{2}$(100 - 40)

Do: $Q_{1}$ = $Q_{2}$ ⇒ 20$m_{1}$ = 60$m_{2}$

Mặt khác : $m_{1}$ + $m_{2}$ = 16kg

Từ (1) và (2) ⇒ $m_{1}$ = 12kg; $m_{2}$ = 4kg ⇒ $V_{1}$ = 12 lít; $V_{2}$ = 4 lít

Vậy có 12 lít nước ở nhiệt độ 20°C và 4 lít nước ở nhiệt độ 100°C.