BÀI TOÁN LÃI GỘP CƠ BẢN
1. LÃI GỬI MỘT LẦN
Bài toán tổng quát
Gửi số tiền \(\displaystyle {S_0}\) với hình thức lãi gộp (chu kỳ trước cộng dồn vào chu kỳ sau để tính lãi) với lãi suất \(\displaystyle r\) (thường ở dạng %).
Số tiền cả vốn lẫn lãi sau \(\displaystyle n\) chu kỳ là: \(\displaystyle {S_n} = {S_0}{(1 + r)^n}\)
Ví dụ 1: Ông A gửi 100 triệu vào ngân hàng theo hình thức lãi gộp với lãi suất 7\%/năm. Hỏi sau 5 năm ông thu được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi.
Hướng dẫn:
\(\displaystyle {S_5} = 100{(1 + 0.07)^5} = 140.255.173\) đồng
Ví dụ 2: (tương tự bài toán lãi gộp) Dân số Việt Nam năm 2016 có khoảng 93,421,835 người. Tốc độ tăng dân số trung bình của Việt Nam là 1.6%/năm. Hỏi 10 năm sau dân số Việt Nam khoảng bao nhiêu?
Hướng dẫn:
\(\displaystyle {S_{10}} = 93,421,835{(1 + 0.016)^{10}} = 109,492,777\) người.
2. LÃI GỬI NHIỀU LẦN
a) Gửi đầu mỗi chu kỳ một số tiền không đổi
Bài toán tổng quát
Ông A mỗi tháng gửi vào ngân hàng số tiền \(\displaystyle m\). Ngân hàng tính lãi theo hình thức lãi gộp với lãi suất \(\displaystyle r\) /tháng. Hỏi sau \(\displaystyle n\) tháng ông A thu được cả vốn lẫn lãi bao nhiêu tiển?
Hướng dẫn:
Sau 1 tháng, số tiền ông A có là: \(\displaystyle {S_1} = m(1 + r)\)
Sau 2 tháng, số tiền ông A có là: \(\displaystyle {S_2} = ({S_1} + m)(1 + r) = m{(1 + r)^2} + m(1 + r)\) vì ông A gửi thêm \(\displaystyle m\)vào tài khoản.
Vậy, theo quy luật, sau \(\displaystyle n\) tháng, số tiền ông A có là: \(\displaystyle {S_n} = m{(1 + r)^n} + m{(1 + r)^{n - 1}} + ... + m(1 + r)\). Đây là tổng của \(\displaystyle n\) số hạng đầu của cấp số nhân với \(\displaystyle {u_1} = m(1 + r)\) và công bội \(\displaystyle q = (1 + r)\). Do đó \(\displaystyle {S_n} = {u_1}\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}} = m(1 + r)\frac{{{{(1 + r)}^n} - 1}}{r}\)
Ví dụ: Mẹ Việt Nam anh hung được Nhà nước trợ cấp hàng tháng một số tiền là 4 (triệu đồng) và được gửi vào tài khoản cá nhân của Mẹ mỗi đầu tháng. Do không dung đến số tiền này nên Mẹ không có nhu cầu rút ra tiêu. Hỏi sau 3 năm Mẹ có bao nhiêu tiền trong tài khoản biết rằng Ngân hàng sẽ tính lãi gộp theo lãi tiết kiệm cho Mẹ là 0.5%/tháng?
Hướng dẫn:
Sau 3 năm tương đương sau 36 tháng. Áp dụng công thức tổng quát ở trên ta được \(\displaystyle {S_{36}} = 4(1.005)\frac{{{{1.005}^{36}} - 1}}{{0.005}} = 158.131142\) (triệu đồng).
Như vậy, so với việc không gửi trong ngân hàng (\(\displaystyle 36 \times 4 = 144\) triệu), Mẹ được lãi thêm \(\displaystyle 14.131142\) triệu.
b) Gửi số tiền khác nhau mỗi đầu chu kỳ
Bài toán tổng quát
Ông A cứ mỗi đầu tháng gửi Ngân hàng một số tiền. Hỏi sau \(\displaystyle n\) tháng số tiền trong tài khoản Ngân hàng của ông là bao nhiêu, biết Ngân hàng tính lãi theo hình thức lại gộp với lãi suất \(\displaystyle r\) /tháng.
Hướng dẫn:
Gọi \(\displaystyle {a_1}\), \(\displaystyle {a_2}\), …., \(\displaystyle {a_n}\) lần lượt là số tiền ông A gửi vào đầu các tháng thứ 1, thứ 2, … và thứ \(\displaystyle n\).
Sau 1 tháng, ông A có số tiền: \(\displaystyle {S_1} = {a_1}(1 + r)\)
Sau 2 tháng, số tiền ông A là: \(\displaystyle {S_2} = ({S_1} + {a_2})(1 + r)\)\(\displaystyle = {a_1}{(1 + r)^2} + {a_2}(1 + r)\)
Theo quy luật, sau \(\displaystyle n\) tháng số tiền của ông A là:
\(\displaystyle {S_n} = {a_1}{(1 + r)^n} + {a_2}{(1 + r)^{n - 1}} + ... + {a_n}(1 + r)\) \(\displaystyle = {a_1}{q^n} + {a_2}{q^{n - 1}} + ... + {a_n}q\) với \(\displaystyle q = 1 + r\).
Nếu \(\displaystyle ({a_i})\) là cấp số nhân công bội \(\displaystyle p\) tức \(\displaystyle {a_i} = {a_1}{p^{i - 1}}\) , ta có
\(\displaystyle {S_n} = {a_1}{q^n} + {a_1}p{q^{n - 1}} + {a_1}{p^2}{q^{n - 2}} + ... + {a_1}{p^{n - 1}}q\) \(\displaystyle = {a_1}q\left( {{q^{n - 1}} + {q^{n - 2}}p + ... + q{p^{n - 2}} + {p^{n - 1}}} \right)\) \(\displaystyle = {a_1}q\frac{{{q^n} - {p^n}}}{{q - p}}\;(1)\)
Nếu \(\displaystyle ({a_i})\) là cấp số cộng công sai \(\displaystyle d\), ta có:
\(\displaystyle q{S_n} = {a_1}{q^{n + 1}} + {a_2}{q^n} + ... + {a_n}{q^2}\) \(\displaystyle \Rightarrow q{S_n} - {S_n} = {a_1}{q^{n + 1}} + ({a_2} - {a_1}){q^n} + ({a_3} - {a_2}){q^{n - 1}} + ... + ({a_n} - {a_{n - 1}}){q^2} - {a_n}q\) \(\displaystyle = {a_1}{q^{n + 1}} + d\left( {{q^n} + {q^{n - 1}} + ... + {q^2}} \right) - {a_n}q\) \(\displaystyle = {a_1}{q^{n + 1}} - {a_n}q + d.{q^2}\frac{{{q^{n - 1}} - 1}}{{q - 1}}\;\)
Vậy \(\displaystyle {S_n} = \frac{q}{{q - 1}}\left( {{a_1}{q^n} - {a_n}} \right) + d{\left( {\frac{q}{{q - 1}}} \right)^2}\left( {{q^{n - 1}} - 1} \right)\;(2)\)
Ví dụ 1: Anh An kinh doanh mỹ phẩm có lãi nên quyết đinh gửi ngân hàng số lãi có được sau khi trừ các chi tiêu thiết yếu. Tháng đầu tiền anh gửi 5 triệu đồng, các tháng sau đó kinh doanh tăng trưởng đều đặn 5% mỗi tháng (lợi nhuận tháng sau tăng 5% so với tháng trước) nên anh gửi số tiền các tháng tiếp theo thêm 5% so với số tiền gửi tháng trước. Lãi ngân hàng tính theo lãi gộp và ổn định 0.6% /tháng trong suốt 2 năm. Hỏi sau 2 năm, tổng số tiền anh An có trong tài khoản là bao nhiêu kể từ ngày anh bắt đầu gửi?
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức (1) với \(\displaystyle {a_1} = 5\), \(\displaystyle q = 1.006\), \(\displaystyle p = 1.05\), \(\displaystyle n = 24\) ta được
\(\displaystyle {S_{24}} = 5 \times 1.006 \times \frac{{{{1.006}^{24}} - {{1.05}^{24}}}}{{1.006 - 1.05}} = 236.7201054\) (triệu đồng)
Ví dụ 2: Bà Kim gửi ngân hàng số tiền 10 triệu đồng tháng đầu tiên, các tháng sau đó bà đều gửi thêm tiền vào ngân hàng với số tiền tháng sau nhiều hơn tháng trước 3 triệu. Hỏi sau 2 năm bà Kim có tổng số tiền bao nhiêu biết ngân hàng tính lãi gộp với lãi suất 0.5%/tháng.
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức (2) cho \(\displaystyle {a_1} = 10\), \(\displaystyle d = 3\), \(\displaystyle n = 24\), \(\displaystyle q = 1.005\) \(\displaystyle \Rightarrow {a_{24}} = 10 + 23 \times 3 = 79\)
Ta có: \(\displaystyle {S_{24}} = \frac{{1.005}}{{0.005}} \times \left( {10 \times {{1.005}^{24}} - 79} \right) + 3{\left( {\frac{{1.005}}{{0.005}}} \right)^2}\left( {{{1.005}^{23}} - 1} \right)\) \(\displaystyle = 1119.060161\), tức 1 tỉ 119 triệu.
3. VAY NỢ NGÂN HÀNG
Bài toán tổng quát
Ông A vay ngân hàng số tiền \(\displaystyle {S_0}\) và trả dần mỗi tháng số tiền \(\displaystyle m\) kể từ cuối tháng thứ nhất (tương đương đầu tháng thứ 2). Ngân hàng tính lãi gộp với lãi suất \(\displaystyle r\) /tháng. Hỏi sau \(\displaystyle n\) tháng ông A còn nợ ngân hàng bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Sau tháng thứ 1 ông A còn nợ \(\displaystyle {S_1} = {S_0}(1 + r) - m\)
Sau tháng thứ 2, ông A còn nợ \(\displaystyle {S_2} = {S_1}(1 + r) - m = {S_0}{(1 + r)^2} - m(1 + r) - m\)
Vậy hết tháng thứ \(\displaystyle n\), ông A còn nợ \(\displaystyle {S_n} = {S_0}{(1 + r)^n} - m\left( {{{(1 + r)}^{n - 1}} + {{(1 + r)}^{n - 2}} + ... + 1} \right)\) \(\displaystyle = {S_0}{(1 + r)^n} - m\frac{{{{(1 + r)}^n} - 1}}{r}\)
Ví dụ: Ông An mua ô tô trả góp với lãi suất 0.7%/tháng cho chiếc xe có giá trị 2 tỷ. Ông bắt đầu trả từ cuối tháng đầu sau khi mua xe với số tiền 30 triệu đồng/ tháng. Hỏi sau bao lâu, ông An trả hết nợ chiếc xe?
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức trên cho \(\displaystyle {S_0} = 2\) , \(\displaystyle r = 0.007\) , \(\displaystyle m = 0.03\), ta có
\(\displaystyle {S_n} = 2 \times {1.007^n} - 0.03\frac{{{{1.007}^n} - 1}}{{0.007}}\) . Ông An hết nợ khi \(\displaystyle {S_n} = 0 \Leftrightarrow 0.014 \times {1.007^n} - 0.03 \times {1.007^n} + 0.03 = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {1.007^n} = \frac{{0.03}}{{0.03 - 0.014}} \Leftrightarrow n = {\log _{1.007}}0.03 - {\log _{1.007}}\left( {0.03 - 0.014} \right)\) \(\displaystyle = 90.115\) tháng, hay \(\displaystyle 7.5\) năm.