Phương trình đường thẳng

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng \(\displaystyle d\) đi qua điểm \(\displaystyle {M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})\) với \(\displaystyle \overrightarrow a \ne \vec 0\) là:

\(\displaystyle (d):\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\,\,\, (\,t \in \mathbb{R})\)

Nếu \(\displaystyle {a_1}{a_2}{a_3} \ne 0\) thì \(\displaystyle (d):\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\) được gọi là phương trình chính tắc của \(\displaystyle d\)

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng \(\displaystyle d,d'\) lần lượt đi qua hai điểm \(\displaystyle {M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) , \(\displaystyle {M_0}^\prime \left( {{x_0}^\prime ;{y_0}^\prime ;{z_0}^\prime } \right)\) và có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\displaystyle \vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) , \(\displaystyle \overrightarrow {a'} = \left( {{a_1}^\prime ;{a_2}^\prime ;{a_3}^\prime } \right)\) . Khi đó, ta có:

\(\displaystyle d//d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\vec a;\overrightarrow {a'} } \right] = \vec 0\\{M_0} \notin d'\end{array} \right.\)

\(\displaystyle d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\vec a;\overrightarrow {a'} } \right] = \vec 0\\{M_0} \in d'\end{array} \right.\)

\(\displaystyle d\) cắt \(\displaystyle d'\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\vec a;\overrightarrow {a'} } \right] \ne \vec 0\\\left[ {\vec a;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {{M_0}{M_0}^\prime } = 0\end{array} \right.\)

\(\displaystyle d\) và \(\displaystyle d'\) chéo nhau \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ {\vec a;\overrightarrow {a'} } \right].\overrightarrow {{M_0}{M_0}^\prime } \ne 0\)

\(\displaystyle d \bot d' \Leftrightarrow \vec a.\vec a' = 0\)

3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\) và đường thẳng \(\displaystyle d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + t{a_1}\\y = {y_0} + t{a_2}\\z = {z_0} + t{a_3}\end{array} \right.\)

Xét phương trình: \(\displaystyle A({x_0} + t{a_1}) + B({y_0} + t{a_2}) + C({z_0} + t{a_3}) + D = 0\) (ẩnt) (*)

\(\displaystyle d//\left( \alpha \right) \Leftrightarrow \) (*) vô nghiệm

\(\displaystyle d\) cắt \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \) (*) có đúng một nghiệm

\(\displaystyle d \subset \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \) (*) có vô số nghiệm

4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu

Cho đường thẳng \(\displaystyle d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + t{a_1}\\y = {y_0} + t{a_2}\\z = {z_0} + t{a_3}\end{array} \right.\) (1) và mặt cầu \(\displaystyle \left( S \right):{(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) (2)

Để xét vị trí tương đối của đường thẳng \(\displaystyle d\) và mặt cầu \(\displaystyle \left( S \right)\)ta thay (1) vào (2), a được phương trình: \(\displaystyle {\left( {{x_0} + t{a_1} - a} \right)^2} + {\left( {y{x_0} + t{a_2} - b} \right)^2} + {\left( {{z_0} + t{a_3} - c} \right)^2} = 0\) (*)

\(\displaystyle d\) và \(\displaystyle \left( S \right)\) không có điểm chung \(\displaystyle \Leftrightarrow \) (*) vô nghiệm \(\displaystyle \Leftrightarrow d\left( {I,d} \right) > R\)

\(\displaystyle d\) tiếp xúc \(\displaystyle \left( S \right)\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \) (*) có đúng một nghiệm \(\displaystyle \Leftrightarrow d\left( {I,d} \right) = R\)

\(\displaystyle d\) cắt \(\displaystyle \left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt \(\displaystyle \Leftrightarrow \) (*) có hai nghiệm phân biệt \(\displaystyle \Leftrightarrow d\left( {I,d} \right) < R\)

5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)

Cho đường thẳng \(\displaystyle d\) đi qua \(\displaystyle {M_0}\) và có VTCP \(\displaystyle \vec a\) và điểm \(\displaystyle M\) .

\(\displaystyle d(M,d) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_0}M} ;\vec a} \right]} \right|}}{{\left| {\vec a} \right|}}\)

6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)

Cho hai đường thẳng chéo nhau \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}.\)

\(\displaystyle {d_1}\) đi qua điểm \(\displaystyle {M_1}\) và có VTCP \(\displaystyle {\vec a_1}\) , \(\displaystyle {d_2}\) đi qua điểm \(\displaystyle {M_2}\) và có VTCP \(\displaystyle {\vec a_2}\)

\(\displaystyle d({d_1},{d_2}) = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec a}_1},{{\vec a}_2}} \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec a}_1},{{\vec a}_2}} \right]} \right|}}\)

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(\displaystyle {d_1},{\rm{ }}{d_2}\) bằng khoảng cách giữa \(\displaystyle {d_1}\) với mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) chứa \(\displaystyle {d_2}\) và song song với \(\displaystyle {d_1}.\)

7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng \(\displaystyle d\) với mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\)song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm \(\displaystyle M\) bất kì trên \(\displaystyle d\) đến mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right).\)

8. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1},{\rm{ }}{d_2}\) lần lượt có các VTCP \(\displaystyle {\vec a_1},{\vec a_2}\) .

Khi đó góc giữa \(\displaystyle {d_1},{\rm{ }}{d_2}\) là: \(\displaystyle \cos \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\vec a}_1},{{\vec a}_2}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\vec a}_1}.{{\vec a}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec a}_1}} \right|.\left| {{{\vec a}_2}} \right|}}\)

9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho đường thẳng \(\displaystyle d\) có VTCP \(\displaystyle \vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) có VTPT \(\displaystyle \vec n = (A;B;C)\) .

Góc giữa đường thẳng \(\displaystyle d\) và mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(\displaystyle d\) với hình chiếu \(\displaystyle d'\) của nó trên \(\displaystyle \left( \alpha \right).\)

\(\displaystyle \sin \left( {\widehat {d,(\alpha )}} \right) = \frac{{\left| {A{a_1} + B{a_2} + C{a_3}} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} }}\)

10. Khai thác giả thiết trong môt bài toán về đường thẳng và mặt phẳng

Giả thiết	Khai thác
\(\displaystyle {d_1}//{d_2}\)	\(\displaystyle \overrightarrow {{u_1}} //\overrightarrow {{u_2}} \)
\(\displaystyle {d_1} \bot {d_2}\)	\(\displaystyle \overrightarrow {{u_1}} \bot \overrightarrow {{u_2}} \)
\(\displaystyle d//(P)\)	\(\displaystyle \overrightarrow u \bot \overrightarrow n \)
\(\displaystyle d \bot (P)\)	\(\displaystyle \overrightarrow u //\overrightarrow n \)
\(\displaystyle d \subset (P)\) (P) chứa d	+ \(\displaystyle \overrightarrow u \bot \overrightarrow n \) + A bất kỳ thuộc d thì A thuộc (P), hay (P) chứa 1 điểm bất kỳ thuộc d
\(\displaystyle (P)//(Q)\)	\(\displaystyle \overrightarrow {{n_1}} //\overrightarrow {{n_2}} \)
\(\displaystyle (P) \bot (Q)\)	\(\displaystyle \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \)
\(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}mp(P)\\dt(\Delta )\end{array} \right.\) cắt (d) (đã biết) và thoả mãn tính chất (*)	+ Gọi điểm cắt là M + Tham số M theo t + Từ (*) lập phương trình ẩn t
Tìm M thuộc (d) thoả mãn tính chất (*)	+ Tham số M theo t + Từ (*) lập phương trình ẩn t
Tìm 2 điểm thuộc 2 đường d1, d2 khác nhau thoả mãn (*)	+ Tham số 2 điểm theo 2 tham số khác nhau + Từ (*) lập hệ phương trình 2 ẩn.

 

VÍ DỤ MINH HOẠ

Dạng 1: Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết 1 véctơ chỉ phương.

Phương pháp giải:

Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , đường thẳng \(\displaystyle d\) đi qua điểm \(\displaystyle {M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) với \(\displaystyle a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 > 0\)có phương trình tham số là: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\) .

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ \(\displaystyle Oxyz,\) cho hai mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right):x - 2y + 3z - 4 = 0\) và \(\displaystyle \left( Q \right):3x + 2y - 5z - 4 = 0.\) Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) và \(\displaystyle \left( Q \right)\) ?

Hướng dẫn giải

Cách 1: Xét hệ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3z - 4 = 0\\3x + 2y - 5z - 4 = 0\end{array} \right.{\rm{ }}( * )\)

Cho \(\displaystyle x = 0\) thay vào \(\displaystyle ( * )\) tìm được \(\displaystyle y = - 8,z = - 4\)

Đặt \(\displaystyle A(0; - 8; - 4)\)

Cho \(\displaystyle z = 0\) thay vào \(\displaystyle ( * )\) tìm được \(\displaystyle x = 2,y = - 1\)

Đặt \(\displaystyle B(2; - 1;0)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2;7;4} \right)\) là một VTCP của \(\displaystyle \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)

Như vậy, phương trình tham số của \(\displaystyle \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) là \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + 7t\\z = 4t\end{array} \right.\)

Cách 2: Xét hệ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3z - 4 = 0\\3x + 2y - 5z - 4 = 0\end{array} \right.{\rm{ }}( * )\)

Cho \(\displaystyle z = 0\) thay vào \(\displaystyle ( * )\) tìm được \(\displaystyle x = 2,y = - 1\)

Đặt \(\displaystyle B(2; - 1;0)\)

\(\displaystyle \left( P \right):x - 2y + 3z - 4 = 0\) có VTPT \(\displaystyle {\vec n_P} = (1; - 2;3)\)

\(\displaystyle \left( Q \right):3x + 2y - 5z - 4 = 0\) có VTPT \(\displaystyle {\vec n_Q} = (3;2; - 5)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec n}_Q}} \right] = \left( {4;14;8} \right) \Rightarrow \) chọn \(\displaystyle \vec u = (2;7;4)\) là một VTCP của giao tuyến \(\displaystyle \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)

Như vậy, PTTS của \(\displaystyle \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) là \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + 7t\\z = 4t\end{array} \right.\)

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz,\) cho đường thẳng \(\displaystyle d\) đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {1; - 2;0} \right)\) và có véctơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow u \left( {0;0;1} \right).\) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\displaystyle d\) ?

Hướng dẫn giải

 

Học thuộc lòng công thức \(\displaystyle \boxed{\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.}\) và thay số vào nhé \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 & + \,0t\\y = - 2 & + \,0t\\z = 0 & + \,1t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\\z = t\end{array} \right.\)

Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\displaystyle d\) biết đi qua điểm \(\displaystyle M(1;2;3)\) và có véctơ chỉ \(\displaystyle \overrightarrow a = \left( {1; - 4;5} \right)\) ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\displaystyle d\) đi qua điểm \(\displaystyle M(1;2;3)\) và có một vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow a = \left( {1; - 4;5} \right)\) có phương trình tham số là: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 4t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.\) .

 

Dạng 2: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm \(\displaystyle M;N\) .

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ véctơ \(\displaystyle \overrightarrow {MN} \)

Phương trình đường thẳng cần tìm đi qua \(\displaystyle M\) ( hoặc \(\displaystyle N\) ) và có véctơ chỉ phương cùng phương với véctơ \(\displaystyle \overrightarrow {MN} \)

Lưu ý 1:

- Để viết phương trình tham số của đoạn thẳng \(\displaystyle AB\) ta viết phương trình tham số của đường thẳng \(\displaystyle AB,\) tìm giá trị \(\displaystyle {t_A},{t_B}\) để từ phương trình tham số đó ta tìm lại được toạ độ của điểm \(\displaystyle A,B\)

- Kết quả phương trình tham số có kèm điều kiện của \(\displaystyle t\) là đoạn tạo bởi \(\displaystyle {t_A},{t_B}\)

- Tuy nhiên phương pháp này chậm và rất khó để chọn phương án như cách cho đề bài này.

Lưu ý 2:

- Nếu HS nào dùng phương pháp thay toạ độ của mỗi điểm \(\displaystyle A\) và \(\displaystyle B\)vào phương trình tham số của từng phương án (A,B,C,D) để tìm giá trị \(\displaystyle t\) thì chỉ khi tìm được \(\displaystyle {t_A},{t_B}\) là 2 đầu mút của đoạn điều kiện được cho kèm theo phương trình tham số, đó mới là phương án đúng.

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai điểm \(\displaystyle A\left( {1;2; - 3} \right)\) và \(\displaystyle B\left( {3; - 1;1} \right)\) . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm \(\displaystyle A\) và \(\displaystyle B\) ?

Hướng dẫn giải:

Gọi \(\displaystyle d\) là đường thẳng đi qua 2 điểm \(\displaystyle A\left( {1;2; - 3} \right)\) và \(\displaystyle B\left( {3; - 1;1} \right)\) . Đường thẳng \(\displaystyle d\) đi qua \(\displaystyle A(1;2; - 3)\) và có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {AB} = (2; - 3;4)\) nên có phương trình chính tắc là: \(\displaystyle \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{4}\) .

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(\displaystyle A\left( {1; - 2;1} \right),\,\,B\left( {2;1;3} \right)\) ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\displaystyle AB\) đi qua \(\displaystyle A\left( {1; - 2;1} \right)\) và nhận \(\displaystyle \overrightarrow {AB} (1;3;2)\) làm một vectơ chỉ phương nên có phương trình: \(\displaystyle \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{2}\)

 

Dạng 3: Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm \(\displaystyle {M_0}\) và song song với 1 đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) cho trước.

Phương pháp giải:

Véctơ chỉ phương của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) là \(\displaystyle \overrightarrow u \)

Phương trình đường thẳng cần tìm đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương cùng phương với véctơ \(\displaystyle \overrightarrow u \)

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz,\) viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm \(\displaystyle M\left( { - 2;1;2} \right)\) và song song với trục \(\displaystyle Ox\) ?

Hướng dẫn giải

Trục hoành Ox nhận véctơ đơn vị \(\displaystyle \vec i = (1;0;0)\) làm một VTCP

Đường thẳng \(\displaystyle d\) song song với trục hoành cũng phải nhận \(\displaystyle \vec i = (1;0;0)\) làm VTCP.

Suy ra PT: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 1\\z = 2\end{array} \right.\)

Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) đi qua hai điểm \(\displaystyle M(1;2;3)\) và song song với đường thẳng \(\displaystyle d\) có phương trình \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 3 - 4t\\z = 1 - 5t\end{array} \right.\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có véctơ \(\displaystyle \overrightarrow u = \left( {1; - 4; - 5} \right)\) là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d

Vì \(\displaystyle \Delta //d\) nên véctơ \(\displaystyle \overrightarrow u = \left( {1; - 4; - 5} \right)\)cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \)

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 4t\\z = 3 - 5t\end{array} \right.\)

 

Dạng 4: Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm \(\displaystyle {M_0}\) và vuông góc với 1 mặt phẳng \(\displaystyle (P)\) cho trước.

Phương pháp giải:

Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle (P)\) là \(\displaystyle \overrightarrow n \)

Phương trình đường thẳng cần tìm đi qua điểm \(\displaystyle {M_0}\) và có véctơ chỉ phương cùng phương với véctơ \(\displaystyle \overrightarrow n \)

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz,\) gọi \(\displaystyle \Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {2;0; - 3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right):2x - 3y + 5z + 4 = 0\) . Viết phương trình chính tắc của \(\displaystyle \Delta \) ?

Hướng dẫn giải

\(\displaystyle \left( \alpha \right):2x - 3y + 5z + 4 = 0\) có VTPT \(\displaystyle {\vec n_\alpha } = \left( {2; - 3;5} \right)\)

Do \(\displaystyle \Delta \bot (\alpha )\) nên \(\displaystyle \Delta \) nhận \(\displaystyle {\vec n_\alpha }\) làm một VTCP.

Ngoài ra, \(\displaystyle M\left( {2;0; - 3} \right) \in \Delta \) nên phương trình chính tắc của \(\displaystyle \Delta :\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{5}\)

Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) đi qua hai điểm \(\displaystyle M(1;2;3)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) có phương trình\(\displaystyle x - 4y - 5z + 3 = 0\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có véctơ \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {1; - 4; - 5} \right)\) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Vì \(\displaystyle \Delta \bot (P)\) nên véctơ \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {1; - 4; - 5} \right)\) cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \)

Phương trình tham số của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 4t\\z = 3 - 5t\end{array} \right.\)

Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) đi qua hai điểm \(\displaystyle M(1;2;3)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\displaystyle \left( {Oxy} \right)\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có véctơ \(\displaystyle \overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy

Vì \(\displaystyle \Delta \bot (Oxy)\) nên véctơ \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {0;0; - 1} \right)\) cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \)

Phương trình tham số của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3 - t\end{array} \right.\)

 

Dạng 5: Phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Cách 1:

Đặt 1 ẩn là \(\displaystyle t\) giải hệ phương trình theo \(\displaystyle t\)

Cách 2:

Véctơ chỉ phương của đường thẳng chính là tích có hướng của 2 véctơ pháp tuyến 2 mặt phẳng

Chọn 1 điểm thuộc cả 2 mặt phẳng chính là 1 điểm thuộc đường thẳng.

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình

\(\displaystyle (\alpha ):\,x + 2y - z + 1 = 0\) và \(\displaystyle (\alpha '):\,x + y + 2z + 3 = 0\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có phương trình tổng quát của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) là \(\displaystyle \,\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - z + 1 = 0\\\,x + y + 2z + 3 = 0\end{array} \right.\)

Đặt \(\displaystyle z = t\) thay vào ta được: \(\displaystyle \,\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - t + 1 = 0\\\,x + y + 2t + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = t - 1\\\,x + y = - 2t - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5 - 5t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = - 5 - 5t\\y = 2 + 3t\\z = t\end{array} \right.\)

 

Dạng 6: Phương trình đường thẳng \(\displaystyle d\) đi qua 1 điểm \(\displaystyle {M_0}\) và vuông góc với 2 đường thẳng \(\displaystyle {d_1};{d_2}\) không song song.

Phương pháp giải:

Véctơ chỉ phương của đường thẳng \(\displaystyle d\) là \(\displaystyle \overrightarrow {{u_{}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)

Phương trình đường thẳng cần tìm đi qua \(\displaystyle {M_0}\) và có véc tơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow {{u_{}}} \)

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1};{d_2}\) lần lượt có phương trình

\(\displaystyle {d_1}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 - 4t\\z = 6 + 6t\end{array} \right.\) và \(\displaystyle {d_2}:\,\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 5}}\) . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(\displaystyle {d_3}\) đi qua \(\displaystyle M\left( {1; - 1;2} \right)\) vuông góc với cả \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có: véctơ chỉ phương của \(\displaystyle {d_3}\) là \(\displaystyle \overrightarrow {{u_3}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {14;17;9} \right)\)

Đường thẳng \(\displaystyle {d_3}\) đi qua \(\displaystyle M\left( {1; - 1;2} \right)\) vuông góc với cả\(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) là: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 14t\\y = - 1 + 17t\\z = 2 + 9t\end{array} \right.\)

 

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1};{d_2}\) lần lượt có phương trình

\(\displaystyle {d_1}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + t\\z = 2 + t\end{array} \right.\) và \(\displaystyle {d_2}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 + t\\z = - 2 - t\end{array} \right.\) . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(\displaystyle {d_3}\) đi qua \(\displaystyle M\left( {1; - 1;2} \right)\) vuông góc với cả \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có: véctơ chỉ phương của \(\displaystyle {d_3}\) là \(\displaystyle \overrightarrow {{u_3}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;3; - 1} \right)\)

Đường thẳng \(\displaystyle {d_3}\) đi qua \(\displaystyle M\left( {1; - 1;2} \right)\) vuông góc với cả\(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) là: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = - 1 + 3t\\z = 2 + 1t\end{array} \right.\)

 

Dạng 7: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của 1 điểm \(\displaystyle {M_0}\) lên một mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\) cho trước. Tìm tọa độ điểm đối xứng với một điểm qua 1 mặt phẳng cho trước.

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng \(\displaystyle d\) đi qua điểm \(\displaystyle {M_0}\) và vuông góc với \(\displaystyle (\alpha )\)

Tọa độ H hình chiếu của điểm \(\displaystyle {M_0}\) lên mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\) là nghiệm của hệ phương trình \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}d\\ (\alpha )\end{array} \right.\)

Điểm M’ là điểm đối xứng của điểm \(\displaystyle {M_0}\) qua mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\)suy ra H là trung điểm của \(\displaystyle {M_0}M'\)

Ví dụ 1: Cho điểm \(\displaystyle M\left( {1;4;2} \right)\) và mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha ):\,x + 2y - z + 1 = 0\) . Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm \(\displaystyle M\) lên mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Phương trình đường thẳng \(\displaystyle d\) đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {1;4;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\) là: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 4 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\) .

Tọa độ điểm \(\displaystyle H\) là nghiệm của hệ phương trình \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 4 + 2t\\z = 2 - t\\x + 2y - z + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\\z = 0\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm \(\displaystyle M\) lên mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\) là: \(\displaystyle \left( { - 1;2;0} \right)\)

Ví dụ 2: Cho điểm \(\displaystyle M\left( {1; - 1;2} \right)\) và mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha ):\,2x - y + 2z + 11 = 0\) . Tìm tọa độ điểm \(\displaystyle H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(\displaystyle M\) lên mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm \(\displaystyle M\) và vuông góc với mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\) là: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\) . Tọa độ điểm \(\displaystyle H\) là nghiệm của hệ phương trình \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\\z = 2 + 2t\\2x - y + 2z + 11 = 0\end{array} \right.\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 1\\z = - 2\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ điểm \(\displaystyle H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(\displaystyle M\) lên mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\) là: (-3;1; -2)

Ví dụ 3: Cho điểm \(\displaystyle M\left( {1;4;2} \right)\) và mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha ):\,x + 2y - z + 1 = 0\) . Tìm tọa độ điểm \(\displaystyle M'\) là điểm đối xứng của điểm \(\displaystyle M\)qua mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {1;4;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\) là: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 4 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.\) .

Tọa độ hình chiếu H của M trên \(\displaystyle (\alpha )\) nghiệm của hệ phương trình: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 4 + 2t\\z = 2 - t\\x + 2y - z + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow H( - 1;2;2)\)

Vì \(\displaystyle H\) là trung điểm của \(\displaystyle MM'\) nên tọa độ của điểm là \(\displaystyle M'\left( { - 3;0;2} \right)\)

 

Dạng 8: Hình chiếu của điểm \(\displaystyle M\) trên đường thẳng \(\displaystyle d\)

Phương pháp giải:

Lấy \(\displaystyle H \in d.\) Tính \(\displaystyle \overrightarrow {MH.} \)

\(\displaystyle H\) là hình chiếu của \(\displaystyle M\) trên \(\displaystyle d\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\) .

Ví dụ 1: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) , cho đường thẳng \(\displaystyle d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{1}\) và điểm \(\displaystyle A\left( { - 1;2;7} \right)\) . Tìm toạ độ điểm \(\displaystyle H\) là hình chiếu vuông góc của \(\displaystyle A\) trên \(\displaystyle d?\)

 

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng \(\displaystyle d\) có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;1} \right)\) .

\(\displaystyle H\) là hình chiếu vuông góc của \(\displaystyle A\) trên \(\displaystyle d\) \(\displaystyle \Rightarrow H \in d\) \(\displaystyle \Rightarrow H\left( {2 + t;1 + 2t;t} \right)\)

\(\displaystyle \overrightarrow {AH} = \left( {3 + t; - 1 + 2t;t - 7} \right)\)

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow 1\left( {3 + t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 1\left( {t - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Vậy \(\displaystyle H\left( {3;3;1} \right)\) .

Ví dụ 2: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) , tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \(\displaystyle M\left( { - 2; - 1;1} \right)\) trên đường thẳng \(\displaystyle d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\) ?

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng \(\displaystyle d\) có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;1} \right)\) .

\(\displaystyle H\) là hình chiếu vuông góc của \(\displaystyle A\) trên \(\displaystyle d\) \(\displaystyle \Rightarrow H \in d\) \(\displaystyle \Rightarrow H\left( {1 + t;2t;2 + t} \right)\)

\(\displaystyle \overrightarrow {MH} = \left( {3 + t;1 + 2t;t + 1} \right)\)

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow 1\left( {3 + t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) + 1\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)

Vậy \(\displaystyle H\left( {0; - 2;1} \right)\) .

 

Dạng 9: Hình chiếu của đường thẳng \(\displaystyle d\) trên mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right).\)

Phương pháp giải:

Trường hợp 1: \(\displaystyle d\) cắt \(\displaystyle \left( \alpha \right).\)

Tìm giao điểm \(\displaystyle A\) của \(\displaystyle d\) và \(\displaystyle \left( \alpha \right).\)

Lấy \(\displaystyle M\) cụ thể trên \(\displaystyle d\) . Tìm hình chiếu \(\displaystyle M'\) của \(\displaystyle M\) trên \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) .

Hình chiếu \(\displaystyle d'\) là đường thẳng \(\displaystyle AM'\) .

Trường hợp 2: \(\displaystyle d//\left( \alpha \right).\)

Lấy \(\displaystyle M\) cụ thể trên \(\displaystyle d\) . Tìm hình chiếu \(\displaystyle M'\) của \(\displaystyle M\) trên \(\displaystyle d\) .

Hình chiếu \(\displaystyle d'\) là đường thẳng qua \(\displaystyle M'\) và song song với \(\displaystyle d.\)

Ví dụ 1: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho đường thẳng \(\displaystyle d:\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}\) và \(\displaystyle \left( P \right):x + y + z - 10 = 0\) . Viết phương trình hình chiếu \(\displaystyle d'\) của \(\displaystyle d\) lên \(\displaystyle \left( P \right)\)?

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\) , lấy \(\displaystyle M\left( {0;1;3} \right) \in d\) .

Toạ độ giao điểm \(\displaystyle A\) của \(\displaystyle d\) và \(\displaystyle \left( P \right)\) là nghiệm của hệ

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}\\x + y + z - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 2\\z = 6\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {6; - 2;6} \right)\)

Gọi \(\displaystyle H\) là hình chiếu của \(\displaystyle M\) trên \(\displaystyle \left( P \right)\) .

Đường thẳng \(\displaystyle MH\) đi qua \(\displaystyle M\left( {0;1;3} \right)\) và nhận \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + t\\z = 3 + t\end{array} \right.\)

Toạ độ \(\displaystyle H\) thoả hệ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + t\\z = 3 + t\\x + y + z - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\\z = 5\\t = 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {2;3;5} \right)\)

Đường thẳng \(\displaystyle d'\) qua \(\displaystyle H\left( {2;3;5} \right)\) và nhậ \(\displaystyle \overrightarrow {AH} = \left( { - 4;5; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 4t\\y = 3 + 5t\\z = 5 - t\end{array} \right.\)

Ví dụ 2: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho đường thẳng \(\displaystyle d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\) và \(\displaystyle \left( P \right):x + 2y - 2z - 4 = 0\) . Viết phương trình hình chiếu \(\displaystyle d'\) của \(\displaystyle d\) lên \(\displaystyle \left( P \right)\) .

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {1;2; - 2} \right)\)

Đường thẳng \(\displaystyle d\) đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {1; - 1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)\)

Nhận thấy nên gọi \(\displaystyle H\) là hình chiếu cuả \(\displaystyle M\) trên \(\displaystyle \left( P \right)\) thì \(\displaystyle d'\) qua \(\displaystyle H\) và .

Đường thẳng \(\displaystyle MH\) đi qua \(\displaystyle M\left( {1; - 1;2} \right)\) và nhận \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {1;2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình:\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\)

Toạ độ \(\displaystyle H\) thoả hệ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 2t\\z = 2 - 2t\\x + 2y - 2z - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = 0\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {2;1;0} \right)\)

Đường thẳng \(\displaystyle d'\) qua \(\displaystyle H\left( {2;1;0} \right)\) và nhận \(\displaystyle \overrightarrow u = \left( {2;1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 + t\\z = 0 + 2t\end{array} \right.\)

Ví dụ 3: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho đường thẳng \(\displaystyle d:\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 4}}\) và \(\displaystyle \left( P \right):x - y + 2z - 13 = 0\) . Viết phương trình đường thẳng \(\displaystyle d'\) đối xứng với \(\displaystyle d\) qua \(\displaystyle \left( P \right)\) .

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)\) , lấy \(\displaystyle M\left( {4;1;2} \right) \in d\) .

Toạ độ giao điểm \(\displaystyle A\) của \(\displaystyle d\) và \(\displaystyle \left( P \right)\) là nghiệm của hệ

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 4}}\\x - y + 2z - 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = 6\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;0;6} \right)\)

Gọi \(\displaystyle H\) là hình chiếu của \(\displaystyle M\) trên \(\displaystyle \left( P \right)\) .

Đường thẳng \(\displaystyle MH\) đi qua \(\displaystyle M\left( {4;1;2} \right)\) và nhận \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình:\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 - t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\)

Toạ độ \(\displaystyle H\) thoả hệ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 - t\\z = 2 + 2t\\x - y + 2z - 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 0\\z = 4\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {5;0;4} \right)\)

Gọi \(\displaystyle M'\) đối xứng với \(\displaystyle M\) qua \(\displaystyle \left( P \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow H\) là trung điểm \(\displaystyle MM'\) \(\displaystyle \Rightarrow M'\left( {6; - 1;6} \right)\)

Đường thẳng \(\displaystyle d'\) qua \(\displaystyle M'\left( {6; - 1;6} \right)\) và nhận \(\displaystyle \overrightarrow {AM'} = \left( {5; - 1;0} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 6 + 5t\\y = - 1 - t\\z = 6\end{array} \right.\)

 

Dạng 10: Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(\displaystyle {d_1}\)và \(\displaystyle {d_2}.\)

Phương pháp giải:

Chuyển \(\displaystyle {d_1},\,{d_2}\) về dạng tham số.

Giả sử \(\displaystyle A,B\) là chân đường vuông góc chung của \(\displaystyle {d_1},\,{d_2}\) .

Tìm toạ độ \(\displaystyle A,\,B\) theo tham số của \(\displaystyle {d_1},\,{d_2}\) .

Từ điều kiện \(\displaystyle d \bot {d_1},\,d \bot {d_2}\) suy ra \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_{{d_1}}}} \\\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_{{d_2}}}} \end{array} \right.\) \(\displaystyle \Rightarrow \) toạ độ của \(\displaystyle A\) và \(\displaystyle B\) .

Đường thẳng \(\displaystyle d\) chính là đường thẳng đi qua \(\displaystyle A\) và nhận \(\displaystyle \overrightarrow {AB} \) làm VTCP.

Ví dụ 1 : Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai đường thẳng \(\displaystyle \left( {{d_1}} \right)\) và \(\displaystyle \left( {{d_2}} \right)\) chéo nhau có phương trình \(\displaystyle \left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 10 + 2t\\z = t\end{array} \right.\) , \(\displaystyle \left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 3 - 2t\\z = - 2\end{array} \right.\) . Gọi \(\displaystyle \left( \Delta \right)\) là đường thẳng vuông góc chung của \(\displaystyle \left( {{d_1}} \right)\) và \(\displaystyle \left( {{d_2}} \right)\) . Phương trình của \(\displaystyle \left( \Delta \right)\) là ?

Hướng dẫn giải

\(\displaystyle \left( {{d_1}} \right)\) có VTCP là \(\displaystyle {\vec u_1} = \left( {0;2;1} \right)\) , \(\displaystyle \left( {{d_2}} \right)\) có VTCP là \(\displaystyle {\vec u_1} = \left( {3; - 2;0} \right)\) .

Gọi \(\displaystyle M\left( {1;10 + 2{t_1};{t_1}} \right) \in \left( {{d_1}} \right)\) , \(\displaystyle N\left( {3{t_2};3 - 2{t_2}; - 2} \right) \in \left( {{d_2}} \right)\) .

Suy ra \(\displaystyle \overrightarrow {MN} = \left( {3{t_2} - 1; - 2{t_2} - 2{t_1} - 7; - {t_1} - 2} \right)\)

Ta có: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .{{\vec u}_1} = 0\\\overrightarrow {MN} .{{\vec u}_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{t_1} + 4{t_2} = - 16\\4{t_1} + 13{t_2} = - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = - \frac{{164}}{{49}}\\{t_2} = \frac{9}{{49}}\end{array} \right.\)

Do đó: \(\displaystyle M\left( {1;\frac{{162}}{{49}};\frac{{164}}{{49}}} \right),\) \(\displaystyle N\left( {\frac{{27}}{{49}};\frac{{129}}{{49}}; - 2} \right)\) , \(\displaystyle \overrightarrow {MN} = - \frac{{11}}{{49}}\left( {2;3; - 6} \right)\)

\(\displaystyle \left( \Delta \right)\) có VTCP là \(\displaystyle \vec u = \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( {2;3; - 6} \right)\) .

Suy ra phương trình: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = \frac{{177}}{{98}} + 3t\\z = - 6t - \frac{{17}}{{49}}\end{array} \right.\)

Ví dụ 2 : Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , gọi \(\displaystyle \left( \Delta \right)\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng: \(\displaystyle \left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và \(\displaystyle \left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 4t\\y = \frac{7}{4} + t\\z = \frac{{11}}{4} + t\end{array} \right.\) . Viết phương trình của \(\displaystyle \left( \Delta \right)\) ?

Hướng dẫn giải

\(\displaystyle \left( {{d_1}} \right)\) có VTCP là \(\displaystyle {\vec u_1} = \left( {0; - 1;1} \right)\) , \(\displaystyle \left( {{d_2}} \right)\) có VTCP là \(\displaystyle {\vec u_1} = \left( {4;1;1} \right)\) .

Gọi \(\displaystyle M\left( {2; - {t_1};1 + {t_1}} \right) \in \left( {{d_1}} \right)\) , \(\displaystyle N\left( {4{t_2};\frac{7}{4} + {t_2};\frac{{11}}{4} + {t_2}} \right) \in \left( {{d_2}} \right)\) .

Suy ra \(\displaystyle \overrightarrow {MN} = \left( {4{t_2} - 2;{t_2} + {t_1} + \frac{7}{4};{t_2} - {t_1} + \frac{7}{4}} \right)\) .

Ta có: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .{{\vec u}_1} = 0\\\overrightarrow {MN} .{{\vec u}_2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 0\\{t_2} = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Do đó: \(\displaystyle M\left( {2;0;1} \right),\) \(\displaystyle N\left( {1;2;3} \right)\) , \(\displaystyle \overrightarrow {MN} = \left( { - 1;2;2} \right) = - \left( {1; - 2; - 2} \right)\)

Suy ra phương trình của \(\displaystyle \left( \Delta \right)\) : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\)

Dạng 11: Viết phương trình đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) đi qua điểm \(\displaystyle {M_0}\)cắt đường thẳng \(\displaystyle d\) và thoả mãn điều kiện cho trước.

Điều kiện cho trước là:

Vuông góc với đường thẳng \(\displaystyle {\Delta _1}\) cho trước.

Song song với một mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) cho trước.

Phương pháp giải:

Giả sử \(\displaystyle \Delta \) cắt đường thẳng \(\displaystyle d\) tại \(\displaystyle M\) \(\displaystyle \Rightarrow M\) có toạ độ phụ thuộc tham số \(\displaystyle t\) của \(\displaystyle d\).

Từ điều kiện cho trước dẫn đến một phương trình bậc nhất theo tham số \(\displaystyle t\) \(\displaystyle \Rightarrow \) toạ độ \(\displaystyle M\)

Viết phương trình đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) đi qua \(\displaystyle {M_0}\) và có VTCP \(\displaystyle \overrightarrow {M{M_o}} \) .

Ví dụ 1: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho điểm \(\displaystyle A\left( {2;0;1} \right)\) và đường thẳng \(\displaystyle d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\) . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(\displaystyle A\) , vuông góc và cắt đường thẳng \(\displaystyle d\) ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\displaystyle d\) có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow u = \left( {1;2;1} \right)\)

Gọi \(\displaystyle \Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(\displaystyle A\) , vuông góc và cắt \(\displaystyle d\) tại \(\displaystyle M\) \(\displaystyle \Rightarrow M\left( {1 + t;2t;2 + m} \right)\) .

Vì \(\displaystyle d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow {AM} = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow 4t = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow M\left( {1;0;2} \right)\) .

Phương trình \(\displaystyle \Delta \) cần tìm là: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 0\\z = 1 + t\end{array} \right.\)

Ví dụ 2: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}\) ; \(\displaystyle {d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 1 + 2t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\) và điểm \(\displaystyle A(1;2;2)\) .Viết phương trình đường thẳng\(\displaystyle \Delta \) đi qua \(\displaystyle A\) , vuông góc với \(\displaystyle {d_1}\) và cắt \(\displaystyle {d_2}\) có phương trình ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\displaystyle {d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right)\)

Gọi \(\displaystyle \Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(\displaystyle A\) và cắt \(\displaystyle {d_2}\) tại \(\displaystyle M\) \(\displaystyle \Rightarrow M\left( {1 - t;1 + 2t; - 1 + t} \right)\) .

\(\displaystyle \overrightarrow {AM} = \left( { - t;2t - 1;t - 3} \right)\)

Vì \(\displaystyle {d_1} \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow {AM} = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow 2t = 4 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow M\left( { - 1;5;1} \right)\) .

Phương trình \(\displaystyle \Delta \) cần tìm đi qua \(\displaystyle A\left( {1;2;2} \right)\) và nhận \(\displaystyle \overrightarrow {AM} = \left( { - 2;3; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: \(\displaystyle \frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}\)

Ví dụ 3: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) , cho đường thẳng \(\displaystyle d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{1}\) , mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha ):2x + y - z + 3 = 0\) và điểm \(\displaystyle A(1;2; - 1)\) . Viết phương trình đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) qua \(\displaystyle A\) cắt \(\displaystyle d\) và song song với \(\displaystyle mp(\alpha )\) có phương trình ?

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\)

Gọi \(\displaystyle \Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(\displaystyle A\) và cắt \(\displaystyle d\)tại \(\displaystyle M\) \(\displaystyle \Rightarrow M\left( {1 - t;1 + 2t; - 1 + t} \right)\) .

\(\displaystyle \overrightarrow {AM} = \left( { - t;2t - 1;t} \right)\)

Vì \(\displaystyle \left( \alpha \right)\parallel \Delta \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {AM} = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow - t = 1 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow M\left( {2; - 1; - 2} \right)\) .

Phương trình \(\displaystyle \Delta \) cần tìm đi qua \(\displaystyle A\left( {1;2; - 1} \right)\) và nhận\(\displaystyle \overrightarrow {AM} = \left( {1; - 3; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: \(\displaystyle \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\)

 

Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) cắt hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) và thoả mãn điều kiện cho trước.

Điều kiện cho trước là:

Đi qua một điểm \(\displaystyle M\) cho trước không thuộc \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) .

Song song với đường thẳng \(\displaystyle d\) cho trước.

Vuông góc với mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) cho trước.

Phương pháp giải:

Giả sử \(\displaystyle \Delta \) cắt \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) lần lượt tại \(\displaystyle A\) và \(\displaystyle B\) , khi đó \(\displaystyle A \in {d_1},\,B \in {d_2}\) .

Từ điều kiện cho trước xác định được toạ độ điểm \(\displaystyle A,B\) .

Khi đó đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) là đường thẳng đi qua \(\displaystyle A\) và nhận vectơ\(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {AB} \) làm VTCP.

Cụ thể:

Nếu điều kiện là đi qua điểm \(\displaystyle M\) thì \(\displaystyle A,B,M\) thẳng hàng.

Nếu điều kiện song song với đường thẳng \(\displaystyle d\) thì \(\displaystyle \overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\displaystyle \overrightarrow {{u_d}} \) .

Nếu điều kiện vuông góc với mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) thì \(\displaystyle \overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\displaystyle \overrightarrow {{n_P}} \) .

Ví dụ 1: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai đường thẳng có phương trình \(\displaystyle {d_1}:\frac{{x - 2}}{3} = y + 1 = \frac{{z + 3}}{2}\) và \(\displaystyle {d_2}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y - 7}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\) Viết phương trình đường thẳng cắt \(\displaystyle {d_1}\)và \(\displaystyle {d_2}\) đồng thời đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {3;10;1} \right)\) .

Hướng dẫn giải

Gọi đường thẳng cần tìm là \(\displaystyle d\) và giả sử \(\displaystyle d\) cắt hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) lần lượt tại \(\displaystyle A\left( {2 + 3a; - 1 + a; - 3 + 2a} \right) \in {d_1}\) và \(\displaystyle B\left( {3 + b;7 - 2b;1 - b} \right) \in {d_2}\)

Do đường thẳng \(\displaystyle d\) đi qua \(\displaystyle M\left( {3;10;1} \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \)

\(\displaystyle \overrightarrow {MA} = \left( {3a - 1;a - 11; - 4 + 2a} \right)\) ; \(\displaystyle \overrightarrow {MB} = \left( {b; - 2b - 3; - b} \right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 1 = kb\\a - 11 = - 2kb - 3k\\ - 4 + 2a = - kb\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\k = 2\\b = 1\end{array} \right.\)

Phương trình đường thẳng \(\displaystyle d\) là: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 10 - 10t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\)

Ví dụ 2: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) , viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \(\displaystyle {d_1}\) và cắt cả hai đường thẳng \(\displaystyle {d_2}\) và \(\displaystyle {d_3}\) , biết phương trình của \(\displaystyle {d_1},{d_2},{d_3}\) là:

\(\displaystyle {d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2 + 6t\\z = 1 - t\end{array} \right.\) \(\displaystyle {d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{{z - 2}}{3}\) \(\displaystyle {d_3}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t'\\y = 3 + t'\\z = t'\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\displaystyle {d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow u = \left( {0;6; - 1} \right)\)

Gọi đường thẳng cần tìm là \(\displaystyle d\) và giả sử \(\displaystyle d\) cắt hai đường thẳng \(\displaystyle {d_2}\) và \(\displaystyle {d_3}\) lần lượt tại \(\displaystyle A\left( {1 + a; - 2 + 4a;2 + 3a} \right) \in {d_2}\) và \(\displaystyle B\left( { - 1 + 2b;3 + b;b} \right) \in {d_3}\)

\(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( {2b - a - 2;b - 4a + 5;b - 3a - 2} \right)\)

Do đường thẳng \(\displaystyle d\) song song với \(\displaystyle {d_1}\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow u \) \(\displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b - a - 2 = k.0\\b - 4a + 5 = k.6\\b - 3a - 2 = - k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\k = 1\\b = 1\end{array} \right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow A\left( {1; - 2;2} \right),\) \(\displaystyle B\left( {1;4;1} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(\displaystyle d\) đi qua \(\displaystyle A\) và có vectơ chỉ phương là \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( {0;6; - 1} \right)\) nên có phương trình \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2 + 6t\\z = 2 + t\end{array} \right.\)

Ví dụ 3: Trong không gian toạn độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right):x - 6y - 3z + 1 = 0\) và hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{1}\) và \(\displaystyle {d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{5} = \frac{z}{{ - 2}}\) . Viết phương trình đường thẳng \(\displaystyle d\) vuông góc với \(\displaystyle \left( P \right)\) đồng thời cắt hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}.\)

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {1; - 6; - 3} \right)\)

Gọi đường thẳng cần tìm là \(\displaystyle d\) và giả sử \(\displaystyle d\) cắt hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) lần lượt tại \(\displaystyle A\left( { - 1 + 2a;1 + 3a;2 + a} \right) \in {d_1}\) và \(\displaystyle B\left( {2 + b; - 2 + 5b; - 2b} \right) \in {d_2}\)

\(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( {b - 2a + 3;5b - 3a - 3; - 2b - a - 2} \right)\)

Do đường thẳng \(\displaystyle d\) vuông góc với \(\displaystyle \left( P \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow n \) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - 2a + 3 = k\\5b - 3a - 3 = - 6k\\ - 2b - a - 2 = - 3k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\k = 1\end{array} \right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow A\left( {1;4;3} \right),B\left( {2; - 2;0} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(\displaystyle d\) đi qua \(\displaystyle A\) và có vectơ chỉ phương là \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( {1; - 6; - 3} \right)\) nên có phương trình \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 4 - 6t\\z = 3 - 3t\end{array} \right.\)

 

Dạng 13: Viết phương trình đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) và cắt hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}.\)

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) và cắt đường thẳng \(\displaystyle {d_1}\) tại \(\displaystyle A \Rightarrow A = \left( P \right) \cap {d_1}\)

Đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) và cắt đường thẳng \(\displaystyle {d_2}\) tại \(\displaystyle B \Rightarrow B = \left( P \right) \cap {d_2}\)

Tìm toạ độ điểm \(\displaystyle A\) và \(\displaystyle B\) , tính \(\displaystyle \overrightarrow {AB} \)

Đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) đi qua \(\displaystyle A\) và nhận \(\displaystyle \overrightarrow {AB} \) làm VTCP.

Ví dụ 1: Viết phương trình của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right):x + y - 2z + 1 = 0\) và cắt hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và \(\displaystyle {d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t'\\y = 1 + 2t'\\z = 4\end{array} \right.\) ?

Hướng dẫn giải

Gọi \(\displaystyle A\) là giao điểm của \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle \left( \alpha \right)\)nên toạ độ điểm \(\displaystyle A\) thoả hệ

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = t\\z = 1 + t\\x + y - 2{\rm{z}} + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\x = 1\\y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;0;1} \right)\)

Gọi \(\displaystyle B\) là giao điểm của \(\displaystyle {d_2}\) và \(\displaystyle \left( \alpha \right)\)nên toạ độ điểm \(\displaystyle B\) thoả hệ

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t'\\y = 1 + 2t'\\z = 4\\x + y - 2{\rm{z}} + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 4\\x = - 2\\y = 9\\z = 4\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 2;9;4} \right)\)

\(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( { - 3;9;3} \right)\)

Đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) thoả mãn bài toán đi qua \(\displaystyle A\left( {1;0;1} \right)\)và có VTCP \(\displaystyle \overrightarrow {{u_\Delta }} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3; - 1} \right)\)

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) là: \(\displaystyle \frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\) .

Ví dụ 2: Trong không gian toạn độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}\) , \(\displaystyle {d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\) và mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right):2x - y + z + 2 = 0\) . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) nằm trong \(\displaystyle \left( P \right)\) và cắt cả hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1},{d_2}\) ?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) có phương trình tham số là \(\displaystyle {d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và \(\displaystyle {d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = 2 + t'\\z = - 1 - 2t'\end{array} \right.\) .

Gọi \(\displaystyle A\) là giao điểm của \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle \left( \alpha \right)\)nên toạ độ điểm \(\displaystyle A\) thoả hệ

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + t\\2x - y + {\rm{z}} + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\x = - 1\\y = 1\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 1;1;1} \right)\)

Gọi \(\displaystyle B\) là giao điểm của \(\displaystyle {d_2}\) và \(\displaystyle \left( \alpha \right)\)nên toạ độ điểm \(\displaystyle B\) thoả hệ

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = 2 + t'\\z = - 1 - 2t'\\2x - y + {\rm{z}} + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = 2\\y = 3\\z = - 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;3; - 3} \right)\)

Đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) thoả mãn bài toán đi qua \(\displaystyle A\left( { - 1;1;1} \right)\) và có VTCP \(\displaystyle \overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {AB} = \left( {3;2; - 4} \right)\) nên có phương trình chính tắc là: \(\displaystyle \frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}\) .

Ví dụ 3: Trong không gian toạn độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right):x - 3y + 2z + 7 = 0\) và hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1}:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{3}\) và \(\displaystyle {d_2}:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 3}}{2}\) . Viết phương trình đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) nằm trong \(\displaystyle \left( P \right)\) cắt cả \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) ?

 

 

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) có phương trình tham số là \(\displaystyle {d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 2 + 2t\\z = 3t\end{array} \right.\) và \(\displaystyle {d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t'\\y = t'\\z = 3 + 2t'\end{array} \right.\)

Gọi \(\displaystyle A\) là giao điểm của \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle \left( \alpha \right)\)nên toạ độ điểm \(\displaystyle A\) thoả hệ

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 2 + 2t\\z = 3t\\x - 3y + 2z + 7 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = - 1\\y = 4\\z = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 1;4;3} \right)\)

Gọi \(\displaystyle B\) là giao điểm của \(\displaystyle {d_2}\) và \(\displaystyle \left( \alpha \right)\)nên toạ độ điểm \(\displaystyle B\) thoả hệ

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t'\\y = 2 + t'\\z = - 1 - 2t'\\x - 3y + 2{\rm{z}} + 7 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\x = 1\\y = 2\\z = - 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1;2; - 1} \right)\)

\(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2; - 4} \right)\)

Đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) thoả mãn bài toán đi qua \(\displaystyle A\left( { - 1;4;3} \right)\) và có VTCP \(\displaystyle \overrightarrow {{u_\Delta }} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1; - 2} \right)\) nên có phương trình chính tắc là: \(\displaystyle \frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\) .

 

Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) đi qua điểm \(\displaystyle A \in \left( P \right)\) , nằm trong mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\displaystyle d.\)

Phương pháp giải:

Tìm VTCP của \(\displaystyle d\) là \(\displaystyle \overrightarrow {{u_d}} \) và VTPT của \(\displaystyle \left( P \right)\) là \(\displaystyle \overrightarrow {{n_P}} \) .

Đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) có VTCP là \(\displaystyle \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right]\) .

Viết phương trình đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) đi qua \(\displaystyle A\) và có VTCP vừa tìm được ở trên.

Ví dụ 1: Trong không gian toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right):2x + y - 2z - 2 = 0\) và đường thẳng \(\displaystyle d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = - 1\end{array} \right.\) . Viết phương trình đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) đi qua \(\displaystyle M\left( {1;2;1} \right)\) nằm trong \(\displaystyle \left( P \right)\) và vuông góc với \(\displaystyle d\)?

 

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\displaystyle d\) có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;0} \right)\) , mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)\) .

Đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) nằm trong \(\displaystyle \left( P \right)\) và vuông góc với \(\displaystyle d\) nên có VTCP \(\displaystyle \overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow n } \right] = \left( { - 4;2; - 3} \right) = - \left( {4; - 2;3} \right)\)

\(\displaystyle \Delta \) đi qua \(\displaystyle M\left( {1;2;1} \right)\) và có VTCP \(\displaystyle \overrightarrow u = \left( {4; - 2;3} \right)\) nên có phương trình \(\displaystyle \frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}\) .

Ví dụ 2: Trong không gian toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right):2x + y + z + 2 = 0\) và đường thẳng \(\displaystyle d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = t\\z = - 2 - 3t\end{array} \right.\) . Viết phương trình đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) đi qua giao điểm của \(\displaystyle \left( P \right)\) và \(\displaystyle d\) , vuông góc với \(\displaystyle d\) nằm trong \(\displaystyle \left( P \right)\) ?

Hướng dẫn giải

Gọi \(\displaystyle M\) là giao điểm của \(\displaystyle d\) và \(\displaystyle \left( P \right)\) suy ra toạ độ \(\displaystyle M\) thoả hệ: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = t\\z = - 2 - 3t\\2x + y + z + 2 = 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = - 1\\y = - 1\\z = 1\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Rightarrow M\left( { - 1; - 1;1} \right)\)

Đường thẳng \(\displaystyle d\) có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1; - 3} \right)\) , mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\) .

Đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) nằm trong \(\displaystyle \left( P \right)\) và vuông góc với \(\displaystyle d\) nên có VTCP \(\displaystyle \overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow n } \right] = \left( {4; - 8;0} \right) = 4\left( {1; - 2;0} \right)\)

\(\displaystyle \Delta \) đi qua \(\displaystyle M\left( { - 1; - 1;1} \right)\) và có VTCP \(\displaystyle \overrightarrow u = \left( {1; - 2;0} \right)\) nên có phương trình \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 1 - 2t\\z = 1\end{array} \right.\)

 

 

Dạng 15: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Cho mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\) và đường thẳng \(\displaystyle d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.,\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)

Xét hệ phương trình \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\quad \quad \quad \quad \quad {\rm{ }}\left( 1 \right)\\y = {y_0} + bt\quad \quad \quad \quad \quad {\rm{ }}\left( 2 \right)\\z = {z_0} + ct\quad \quad \quad \quad \quad {\rm{ }}\left( 3 \right)\\Ax + By + Cz + D = 0\quad {\rm{ }}\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Thay \(\displaystyle \left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\) vào \(\displaystyle \left( 4 \right)\)ta có phương trình : \(\displaystyle \;A\left( {{x_0} + at} \right) + B\left( {{y_0} + bt} \right) + C\left( {{z_0} + ct} \right) + D = 0 \left( * \right)\)

TH1: \(\displaystyle \left( * \right)\) vô nghiệm thì \(\displaystyle d\) và \(\displaystyle \left( P \right)\) không có giao điểm hay \(\displaystyle d\) và \(\displaystyle \left( P \right)\) song song

TH2: \(\displaystyle \left( * \right)\) có 1 nghiệm \(\displaystyle t\) duy nhất thì \(\displaystyle d\) và \(\displaystyle \left( P \right)\) có 1 giao điểm hay \(\displaystyle d\) và \(\displaystyle \left( P \right)\)cắt nhau tại 1 điểm

TH3: \(\displaystyle \left( * \right)\) có vô số nghiệm thì \(\displaystyle d\) và \(\displaystyle \left( P \right)\) có vô số giao điểm hay \(\displaystyle d\) nằm trong mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\)

Chú ý:

Trong trường hợp \(\displaystyle d \parallel \left( P \right)\) hoặc \(\displaystyle d \subset \left( P \right)\) thì VTCP của \(\displaystyle d\) và VTPT của \(\displaystyle \left( P \right)\) vuông góc

Khi \(\displaystyle d //\left( P \right)\) thì khoảng cách giữa d và \(\displaystyle \left( P \right)\) chính là khoảng cách từ một điểm trên \(\displaystyle d\) đến mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\)

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right):2x + y + 3z + 1 = 0\) và đường thẳng \(\displaystyle d\) có phương trình tham số: \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 3 + t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1}\end{array}} \right..\)

Xét vị trí tương đối của d và (P)?

Hướng dẫn giải

Cách 1: Xét phương trình \(\displaystyle 2\left( { - 3 + t} \right) + 2 - 2t + 3.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0\) (luôn đúng với mọi \(\displaystyle t\) ) vậy \(\displaystyle d\) và \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) có vô số điểm chung hay \(\displaystyle d \subset \left( \alpha \right).\)

Cách 2: Ta có vectơ pháp tuyến của \(\displaystyle \left( \alpha \right):2x + y + 3z + 1 = 0\) là \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)\) ,vectơ chỉ phương đường thẳng \(\displaystyle d\) là \(\displaystyle \overrightarrow u = \left( {1; - 2;0} \right)\) mà \(\displaystyle \overrightarrow n .\overrightarrow u = 2 - 2 = 0 \Rightarrow \overrightarrow n \bot \overrightarrow u \) (loại A và B).

Trên đường thẳng \(\displaystyle d\) lấy \(\displaystyle M\left( { - 3;2;1} \right)\) , thay tọa độ \(\displaystyle M\) vào phương trình \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) ta được \(\displaystyle - 6 + 2 + 3 + 1 = 0\) đúng vậy \(\displaystyle d \subset \left( \alpha \right).\)

Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm \(\displaystyle M\) của đường thẳng \(\displaystyle d:\frac{{x - 12}}{4} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right):3x + 5y - z - 2 = 0\) ?

 

Hướng dẫn giải

Phương trình tham số của \(\displaystyle d\) là: \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 12 + 4t}\\{y = 9 + 3t}\\{z = 1 + t.}\end{array}} \right.\)

Thay \(\displaystyle x,y,z\) ở phương trình trên vào phương trình tổng quát của \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) ta được:

\(\displaystyle 3\left( {12 + 4t} \right) + 5\left( {9 + 3t} \right) - \left( {1 + t} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow 26t = - 78 \Leftrightarrow t = - 3\) .

Vậy \(\displaystyle d\) cắt \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) và giao điểm là \(\displaystyle {M_0}\left( {0;0; - 2} \right).\)

 

Dạng 16: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng:

\(\displaystyle {\Delta _1}\) đi qua \(\displaystyle A\) và có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \vec a\).

\(\displaystyle {\Delta _2}\) đi qua \(\displaystyle B\) và có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \vec b\).

Ta có các trường hợp sau:

\(\displaystyle {\Delta _1}\) và \(\displaystyle {\Delta _2}\) cùng nằm trong một mp \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow {AB} = 0\)

\(\displaystyle {\Delta _1}\) và \(\displaystyle {\Delta _2}\) cắt nhau Û \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\vec a\,\,,\,\,\vec b} \right] \ne \vec 0\\\left[ {\vec a\,\,,\,\,\vec b} \right].\,\,\overrightarrow {AB} = 0\end{array} \right.\)

\(\displaystyle {\Delta _1}\) và \(\displaystyle {\Delta _2}\) song song với nhau Û \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\vec a\,\,,\,\,\vec b} \right] = \vec 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} \,\,,\,\,\vec b} \right] \ne \vec 0\end{array} \right.\)

\(\displaystyle {\Delta _1}\) và \(\displaystyle {\Delta _2}\) trùng nhauÛ \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\vec a\,\,,\,\,\vec b} \right] = \vec 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} \,\,,\,\,\vec b} \right] = \vec 0\end{array} \right.\)

\(\displaystyle {\Delta _1}\) và \(\displaystyle {\Delta _2}\) chéo nhau \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow {AB} \ne 0\)

 

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai đường thẳng \(\displaystyle {\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{{ - 4}}\) và \(\displaystyle {\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - 2t\\z = - 1 - 8t\end{array} \right.\) . Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng?

Hướng dẫn giải

Ta có : \(\displaystyle {\Delta _1}\) đi qua điểm \(\displaystyle A\left( {1;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow u \left( {1; - 1; - 4} \right)\)

\(\displaystyle {\Delta _2}\) đi qua điểm \(\displaystyle B(0;1; - 1)\) và có vectơ chỉ phương

Vì \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB} } \right] \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\) nên \(\displaystyle {\Delta _1}//{\Delta _2}\) . \(\displaystyle \overrightarrow u \left( {2; - 2; - 8} \right)\)

 

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) cắt nhau có phương trình \(\displaystyle {d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 7}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\) và \(\displaystyle {d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + 3t\\y = - 1 - 2t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\) . Tìm tọa độ giao điểm của \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) ?

Hướng dẫn giải

Phương trình tham số của đường thẳng \(\displaystyle {d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2s\\y = 7 + s\\z = 3 + 4s\end{array} \right.;\left( {s \in \mathbb{R}} \right)\)

Xét hệ phương trình: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2s - 3t = 5\;(1)\\s + 2t = - 8\;(2)\\4s - t = - 5\;(3)\end{array} \right.\) . Từ (1) và (2) ta có: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}s = - 2\\t = - 3\end{array} \right.\) thỏa mãn (3), tức là \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) cắt nhau. Khi đó thế \(\displaystyle t = - 3\) vào phương trình \(\displaystyle {d_2}\) ta được \(\displaystyle \left( { - 3;5; - 5} \right)\) .

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai đường thẳng: \(\displaystyle \left( {{d_1}} \right):\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{z}{m}\) và \(\displaystyle \left( {{d_2}} \right):\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 5}}{2} = \frac{z}{1}\) . Tìm m để \(\displaystyle \left( {{d_1}} \right)\) và \(\displaystyle \left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau?

Hướng dẫn giải

Phương trình tham số của \(\displaystyle \left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2s\\y = - 3s\\z = ms\end{array} \right.,\left( {s \in \mathbb{R}} \right)\) và \(\displaystyle \left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = - 5 + 2t\\z = t\end{array} \right.,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

Để \(\displaystyle \left( {{d_1}} \right)\) và \(\displaystyle \left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau thì hệ phương trình sau có nghiệm: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3t - 2s = 1\;(1)\\2t + 3s = 5\;(2)\\ms = t\;{\rm{ }}(3)\end{array} \right.\) .

Từ (1) và (2) ta có: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\s = 1\end{array} \right.\) . Thế \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\s = 1\end{array} \right.\) vào (3) ta được \(\displaystyle m = 1.\)

 

 

Dạng 17: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Phương pháp giải:

Cho điểm \(\displaystyle M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và đường thẳng \(\displaystyle \Delta :\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) . Khoảng cách từ \(\displaystyle M\)đến \(\displaystyle d\) . Ký hiệu : \(\displaystyle d\left( {M,\Delta } \right)\) .

\(\displaystyle d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_0}{M_1}} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\)

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho điểm \(\displaystyle M\left( {2;0;1} \right)\) và đường thẳng \(\displaystyle d\) có phương trình \(\displaystyle \frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\) . Tính khoảng cách từ điểm \(\displaystyle M\) tới đường thẳng \(\displaystyle d\) ?

Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận:

Gọi \(\displaystyle H\) là hình chiếu của \(\displaystyle M\) trên đường thẳng \(\displaystyle d\) thì \(\displaystyle H \in d \Rightarrow H(1 + t;2t;2 + t)\) .

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {MH} = (t - 1;2t;t + 1)\) và \(\displaystyle \overrightarrow u = (1;2;1)\) là một VTCP của \(\displaystyle d\) .

Vì \(\displaystyle MH \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} \bot \overrightarrow u \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow t - 1 + 4t + t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0\) nên \(\displaystyle H(1;0;2)\) .

Khoảng cách từ điểm \(\displaystyle M\) tới đường thẳng \(\displaystyle d\) bằng độ dài đoạn \(\displaystyle MH\) .

Ta có \(\displaystyle MH = \left| {\overrightarrow {MH} } \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \) .

Phương pháp trắc nghiệm :

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ \(\displaystyle M\) tới \(\displaystyle d\) là: \(\displaystyle h = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_0}M} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) , với \(\displaystyle {M_0} \in d\) .

 

Dạng 18: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng chéo nhau : \(\displaystyle {\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + at\\y = {y_1} + bt\\z = {z_1} + ct\end{array} \right.\) và \(\displaystyle {\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_2} + a't\\y = {y_2} + b't\\z = {z_2} + c't\end{array} \right.\) .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\displaystyle {\Delta _1}\) và \(\displaystyle {\Delta _2}\) . Ký hiệu là \(\displaystyle d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right)\) .

Ta có :

\(\displaystyle {\Delta _1}\) qua \(\displaystyle {M_1} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) có \(\displaystyle \overrightarrow {{u_1}} = \left( {a;b;c} \right)\) , \(\displaystyle {\Delta _2}\) qua \(\displaystyle {M_2} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) có \(\displaystyle \overrightarrow {{u_2}} = \left( {a';b';c'} \right)\) .

Khi đó: \(\displaystyle d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\)

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai đường đường thẳng \(\displaystyle \left( {{\Delta _1}} \right):\frac{{x - 3}}{{ - 4}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{1}\) , \(\displaystyle \left( {{\Delta _2}} \right):\frac{x}{{ - 6}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\) . Khoảng cách giữa \(\displaystyle \left( {{\Delta _1}} \right)\) và \(\displaystyle \left( {{\Delta _2}} \right)\) ?

Hướng dẫn giải

\(\displaystyle {\Delta _1}\) qua điểm \(\displaystyle A(3; - 2; - 1)\) và có véctơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow {{u_1}} ( - 4;1;1)\)

\(\displaystyle {\Delta _2}\) qua điểm \(\displaystyle B(0;1;2)\) và có véctơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow {{u_2}} ( - 6;1;2)\)

\(\displaystyle \overrightarrow {AB} = ( - 3;3;3),\;\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = (1;2;2)\)

\(\displaystyle d\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].AB} \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = 3.\)

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1}:\frac{{x + 7}}{3} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 9}}{4}\) , \(\displaystyle {d_2}:\frac{x}{3} = \frac{{y + 4}}{{ - 1}} = \frac{{z + 18}}{4}\) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) ?

Hướng dẫn giải

Gọi \(\displaystyle M\left( { - 7;5;9} \right) \in {d_1},{\rm{ }}H\left( {0; - 4; - 18} \right) \in {d_2}\) . Ta có \(\displaystyle \overrightarrow {MH} = \left( {7; - 9; - 27} \right)\) , \(\displaystyle \overrightarrow {{a_{{d_2}}}} = \left( {3; - 1;4} \right)\)

Suy ra \(\displaystyle \left| {\left[ {\overrightarrow {MH} ,\overrightarrow {{a_{{d_2}}}} } \right]} \right| = \left( { - 63; - 109;20} \right)\) . Vậy \(\displaystyle d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d\left( {M,{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MH} ,\overrightarrow {{a_{{d_2}}}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{a_{{d_2}}}} } \right|}} = 25\) .

 

Dạng 20: Góc giữa hai đường thẳng.

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng : \(\displaystyle d:\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) và \(\displaystyle d':\frac{{x - {x_1}}}{{a'}} = \frac{{y - {y_1}}}{{b'}} = \frac{{z - {z_1}}}{{c'}}\) .

Gọi \(\displaystyle \alpha = \left( {d,d'} \right)\) . Thì : \(\displaystyle c{\rm{os}}\alpha = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} = \frac{{{\rm{aa'}} + bb' + cc'}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {a{'^2} + b{'^2} + c{'^2}} }}\)

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , tính số đo của góc tạo bởi hai đường thẳng \(\displaystyle \left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2\\z = 2 + t\end{array} \right.\) và \(\displaystyle \left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 8 - 2t\\y = t\\z = 2t\end{array} \right.\) ?

Hướng dẫn giải

Véctơ chỉ phương của \(\displaystyle {d_1}:\overrightarrow {{u_1}} = (1;0;1)\)

Véctơ chỉ phương của \(\displaystyle {d_2}:\overrightarrow {{u_2}} = ( - 2;1;2)\)

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}\)

Vậy số đo của góc tạo bởi \(\displaystyle {d_1}\) và \(\displaystyle {d_2}\) là: \(\displaystyle {90^{\rm{o}}}\)

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai đường thẳng \(\displaystyle \left( {{\Delta _1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = \sqrt 2 t\\z = 2 + t\end{array} \right.\)và \(\displaystyle \left( {{\Delta _2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + \sqrt 2 t\\z = 2 + mt\end{array} \right.\) . Tìm \(\displaystyle m\) để \(\displaystyle \left( {{\Delta _1}} \right)\) và \(\displaystyle \left( {{\Delta _2}} \right)\) hợp với nhau một góc 60^o?

Hướng dẫn giải

Véctơ chỉ phương của \(\displaystyle {\Delta _1}:\overrightarrow {{u_1}} = (1;\sqrt 2 ;1)\)

Véctơ chỉ phương của \(\displaystyle {\Delta _2}:\overrightarrow {{u_2}} = (1;\sqrt 2 ;m)\)

Ta có: \(\displaystyle \cos {60^o} = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {m + 3} \right| = \sqrt {{m^2} + 3} \Leftrightarrow m = - 1\) .

 

Dạng 21: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu.

Phương pháp giải

Cho mặt cầu \(\displaystyle S\left( {I;R} \right)\) và đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) .

Gọi \(\displaystyle H\) là hình chiếu của \(\displaystyle I\) trên \(\displaystyle \Delta \)

\(\displaystyle d = IH\) là khoảng cách từ \(\displaystyle I\) đến \(\displaystyle \Delta \)

Ta có:

\(\displaystyle d < R\) suy ra \(\displaystyle \Delta \) cắt \(\displaystyle S\left( {I;R} \right)\)

\(\displaystyle d = R\) suy ra \(\displaystyle \Delta \) tiếp xúc với \(\displaystyle S\left( {I;R} \right)\)

\(\displaystyle d > R\) suy ra \(\displaystyle \Delta \) không cắt \(\displaystyle S\left( {I;R} \right)\)

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng \(\displaystyle d\) và mặt cầu \(\displaystyle \left( S \right)\) có phương trình là \(\displaystyle d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - t}\\{y = 3 + t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.,(S):{x^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} = 6\) . Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu có tọa độ?

Hướng dẫn giải

Thay \(\displaystyle x,y,z\) từ phương trình tham số của \(\displaystyle d\) vào phương trình mặt cầu\(\displaystyle \left( S \right)\) ta được:
\(\displaystyle {(1 - t)^2} + {(2 + t)^2} + {(2t + 1)^2} = 6 \Leftrightarrow 6{t^2} + 6t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0 \Rightarrow \left( {1;2;3} \right)}\\{t = - 1 \Rightarrow \left( {2;2;0} \right)}\end{array}} \right.\)

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng \(\displaystyle d\) và mặt cầu \(\displaystyle \left( S \right)\) có phương trình là \(\displaystyle d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = t}\\{z = t}\end{array}} \right.,(S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 11\) . Gọi \(\displaystyle A,B\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(\displaystyle d\) và mặt cầu \(\displaystyle \left( S \right)\) . Tính độ dài đoạn thẳng \(\displaystyle AB\) ?

Hướng dẫn giải

Thay \(\displaystyle x,y,z\) từ phương trình tham số của \(\displaystyle d\) vào phương trình mặt cầu\(\displaystyle \left( S \right)\) ta được: \(\displaystyle {(3t)^2} + {(t)^2} + {(t)^2} = 11 \Leftrightarrow 11{t^2} - 11 = 0 \Leftrightarrow \) \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}t = 1 \Rightarrow A\left( {4;1;1} \right)\\t = - 1 \Rightarrow B\left( { - 2; - 1; - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB = \sqrt {36 + 4 + 4} = 2\sqrt {11} \)