LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA
| Lũy thừa và công thức lũy thừa | ||||||||
| 1. Lũy thừa với số mũ nguyên Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Cho \(a \in \mathbb{R},{\rm{ }}n \in {\mathbb{N}^*}.\) Khi đó: \({a^n} = \underbrace {a.a.a...a}_{n\text{ số a}}\) Lũy thừa với số mũ nguyên âm: Cho \(a \in {\mathbb{R}^*},{\rm{ }}n \in {\mathbb{N}^*}.\) Khi đó: \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\) và \({a^0} = 1.\) Lưu ý: \({0^0}\) và \({0^{ - n}}\) không có nghĩa. 2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Cho \(a > 0\) và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n};\) trong đó \(m \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N},n \ge 2.\) Khi đó: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.\) 3. Lũy thừa số vô tỉ Cho \(a > 0,{\rm{ }}\alpha \in \mathbb{R},{\rm{ }}({r_n})\) là dãy số hữu tỉ sao cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {r_n} = \alpha .\) Khi đó: \({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {r_n} = {a^{{r_n}}}.\) 4. Các tính chất của lũy thừa: Cho \(a,{\rm{ }}b\) là các số thực dương, \(x,{\rm{ }}y\) là các số thực tùy ý. và \({a^{x - y}} = \frac{{{a^x}}}{{{a^y}}} \cdot \) và \({({a^x})^y} = {a^{x.y}}.\) Nếu \(a > 1\) thì \({a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x > y.\) Nếu \(0 < a < 1\) thì \({a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x < y.\) | ||||||||
| Hàm số lũy thừa | ||||||||
| 1. Định nghĩa: Hàm số \(y = {x^\alpha },\) với \(\alpha \in \mathbb{R},\)được gọi là hàm số lũy thừA.. 2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số \(y = {x^\alpha }\) là: \(D = \mathbb{R}\) nếu \(\alpha \) là số nguyên dương. \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) với \(\alpha \) nguyên âm hoặc bằng \(0.\) \(D = (0; + \infty )\) với \(\alpha \) không nguyên. 3. Đạo hàm: Hàm số \(y = {x^\alpha },{\rm{ }}(\alpha \in \mathbb{R})\) có đạo hàm với mọi \(x > 0\) và \(({x^\alpha })' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}.\) 4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng \((0; + \infty )\) (khảo sát hàm lũy thừa).
| ||||||||
| D. Đồ thị: Đồ thị của hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }\) luôn đi qua điểm \(I(1;1).\) Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: \(y = {x^3},{\rm{ }}y = {x^{ - 2}},{\rm{ }}y = {x^\pi }.\)
|
.png)
.png)
.png)
| Dạng toán 1. Tính giá trị của biểu thức và thu gọn biểu thức chứa hàm số lũy thừa |
Ví dụ 1. Không dùng máy tính bỏ túi, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a)\(A = {\left( {\left[ {{3^{\frac{3}{2}}} \cdot {5^{\frac{5}{3}}}:{2^{ - \frac{7}{4}}}} \right]:\left[ {16:\left( {{5^{\frac{1}{3}}} \cdot {3^{\frac{1}{2}}} \cdot {2^{\frac{1}{4}}}} \right)} \right]} \right)^{\frac{1}{2}}} = \) \({\left( {\left[ {{3^{\frac{3}{2}}} \cdot {5^{\frac{5}{3}}}{{.2}^{\frac{7}{4}}}} \right]:\left[ {{2^4}{{.5}^{ - \frac{1}{3}}} \cdot {3^{ - \frac{1}{2}}} \cdot {2^{ - \frac{1}{4}}}} \right]} \right)^{\frac{1}{2}}} = \)\({\left( {\left[ {{3^{\frac{3}{2}}} \cdot {5^{\frac{5}{3}}}{{.2}^{\frac{7}{4}}}} \right].\left[ {{2^{ - 4}}{{.5}^{\frac{1}{3}}} \cdot {3^{\frac{1}{2}}} \cdot {2^{\frac{1}{4}}}} \right]} \right)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{3^2}{{.5}^2}{{.2}^{ - 2}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = \frac{{15}}{2}\)
b)\(B = \sqrt[3]{{4 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot \sqrt 8 }}}} + {(\sqrt[5]{{3\sqrt[3]{{3\sqrt 3 }}}})^6}\)\( = {2^{\frac{1}{3}(2 + \frac{1}{3}(1 + \frac{3}{2}))}} + {3^{6(\frac{1}{5}(1 + \frac{1}{3}(1 + \frac{1}{2})))}} = {2^{\frac{{17}}{{18}}}} + {3^{\frac{9}{5}}}\)
c)\(C = ({25^{1 + \sqrt 2 }} - {5^{2\sqrt 2 }}) \cdot {5^{ - 1 - 2\sqrt 2 }} + ({8^{1 + \sqrt 2 }} \cdot {4^{1 - \sqrt 2 }}):{2^{4 + \sqrt 2 }} = \) \(({25^{1 + \sqrt 2 }} - {5^{2\sqrt 2 }}) \cdot {5^{ - 1 - 2\sqrt 2 }} + ({8^{1 + \sqrt 2 }} \cdot {4^{1 - \sqrt 2 }}):{2^{4 + \sqrt 2 }}\)\( = {5^{2 + 2\sqrt 2 - 1 - 2\sqrt 2 }} - {5^{2\sqrt 2 - 1 - 2\sqrt 2 }} \)\(+ {2^{3 + 3\sqrt 2 + 2 - 2\sqrt 2 - 4 - \sqrt 2 }}\)\( = 5 - {5^{ - 1}} + 2 = \frac{{34}}{5}\).
Ví dụ 2. Thu gọn các biểu thức sau:
a)\(A = \left( {1 - 2\sqrt {\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = \) \(\left( {1 - 2\sqrt {\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}=\) \( {\left( {\frac{{\sqrt b - \sqrt a }}{{\sqrt a }}} \right)^2}:{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} = \frac{1}{a}\)
b)\(B = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}} - {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} - {b^{ - \frac{1}{2}}}}} = \) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}} - {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} - {b^{ - \frac{1}{2}}}}} =\) \( \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}(1 - {a^2})}}{{{a^{\frac{1}{4}}}(1 - a)}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}}(1 - {b^2})}}{{{b^{ - \frac{1}{2}}}(b - 1)}} = 1 + a + 1 + b = a + b + 2\)
c) \(C = \left( {\frac{{a.\sqrt[3]{a} - 2a.\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{{{a^2}{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{ab}}}} + \frac{{\sqrt[3]{{{a^2}b}} - \sqrt[3]{{a{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}}} \right):\sqrt[3]{a}\)\( = \left( {\frac{{{a^{\frac{4}{3}}} - 2a.{b^{\frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}} + \frac{{{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}}}} \right):{a^{\frac{1}{3}}} = \) \(\left( {\frac{{{a^{\frac{2}{3}}}{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}}{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}} + \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}}}} \right):{a^{\frac{1}{3}}}\)
\( = \left( {{a^{\frac{1}{3}}}({a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}) + {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}} \right):{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{a}\)
d) \(D = \left( {\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}b}} - \sqrt[3]{{a{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - 2\sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}}} - \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}} \right){(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})^{ - 1}} + \sqrt[6]{a}\)\( = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)\left( {{a^{\frac{2}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}} \right){(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})^{ - 1}} + \sqrt[6]{a}\)\( = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}} - \frac{{\left( {{a^{\frac{2}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}} \right){(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})^{ - 1}} + \sqrt[6]{a}\)\( = \frac{{ - {{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}}{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})^{ - 1}} + \sqrt[6]{a} = \) \( - \left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right){(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})^{ - 1}} + \sqrt[6]{a}\)\( = - \left( {{a^{\frac{1}{6}}} - {b^{\frac{1}{6}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}} \right){({a^{\frac{1}{6}}} - {b^{\frac{1}{6}}})^{ - 1}} + \sqrt[6]{a} = - \sqrt[6]{b}\)
Ví dụ 3. Hãy so sánh các cặp số sau:
a)\({4^{ - \sqrt 3 }}\) và \({4^{ - \sqrt 2 }}:\) Vì 4 > 1 và \( - \sqrt 3 < - \sqrt 2 \) nên \({4^{ - \sqrt 3 }}\) < \({4^{ - \sqrt 2 }}\)
b) \({2^{\sqrt 3 }}\) và \({2^{1,7}}:\) Vì 2 > 1 và \(\sqrt 3 > 1.7\) nên \({2^{\sqrt 3 }}\) > \({2^{1,7}}\)
c) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{1,4}}\) và \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\sqrt 2 }}\): Vì ½ < 1 và 1.4 < \(\sqrt 2 \) nên \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{1,4}}\) > \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\sqrt 2 }}\)
e) \(\sqrt[3]{{10}}\) và \(\sqrt[5]{{20}}\): Có \(\begin{array}{l}\sqrt[3]{{10}} > \sqrt[3]{8} = 2;\;\sqrt[5]{{20}} < \sqrt[5]{{32}} = 2\\ \Rightarrow \sqrt[3]{{10}} > \sqrt[5]{{20}}\end{array}\)
f) \(\sqrt[4]{5}\) và \(\sqrt[3]{7}\): Có \(\sqrt[4]{5} < \sqrt[4]{7};\;\;\sqrt[4]{7} = {7^{\frac{1}{4}}} < {7^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{7}\)
| Dạng toán 2. Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa và tính đạo hàm |
Ví dụ 3. Tìm tập xác định và tính đạo hàm cấp 1 của các hàm số lũy thừa sau:
a) \(y = {({x^2} - 4x + 3)^{ - 2}}:\) TXĐ: \(\mathbb{R}{\rm{\backslash \{ 1;3\} }}\)
Đạo hàm: \(y' = - 2{({x^2} - 4x + 3)^{ - 3}}.(2x - 4)\)
b) \(y = {({x^3} - 8)^{\frac{\pi }{3}}}:\) TXĐ: \((2; + \infty )\) vì \(\frac{\pi }{3} \notin \mathbb{Z}\)
Đạo hàm: \(y' = \frac{\pi }{3}{({x^3} - 8)^{\frac{\pi }{3} - 1}}.(3{x^2}) = \pi {x^2}{({x^3} - 8)^{\frac{\pi }{3} - 1}}\)
c) \(y = \sqrt[4]{{{x^2} - 3x - 4}}:\) TXĐ: \(( - \infty ; - 1] \cup [4; + \infty )\)
Đạo hàm: \(y' = \frac{{2x - 3}}{{4\sqrt[4]{{{{({x^2} - 3x - 4)}^3}}}}}\)
d) \(y = {({x^2} - 3x - 4)^{\frac{1}{4}}}\): TXĐ: \(( - \infty ; - 1) \cup (4; + \infty )\)
Đạo hàm: \(y' = \frac{1}{4}{({x^2} - 3x - 4)^{ - \frac{3}{4}}}.(2x - 3)\)
e) \(y = {({x^2} + x - 6)^{\frac{1}{3}}}\) : TXĐ: \(( - \infty ; - 3) \cup (2; + \infty )\)
Đạo hàm: \(y' = \frac{1}{3}{({x^2} + x - 6)^{ - \frac{2}{3}}}.(2x + 1)\)
f) \(y = \sqrt[3]{{{x^2} + x - 6}}\) : TXĐ: \(\mathbb{R}\)
Đạo hàm: \(y' = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{{({x^2} + x - 6)}^2}}}}}.(2x + 1)\)