LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA

Lũy thừa và công thức lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Cho \(a \in \mathbb{R},{\rm{ }}n \in {\mathbb{N}^*}.\) Khi đó: \({a^n} = \underbrace {a.a.a...a}_{n\text{ số a}}\)

Lũy thừa với số mũ nguyên âm: Cho \(a \in {\mathbb{R}^*},{\rm{ }}n \in {\mathbb{N}^*}.\) Khi đó: \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\) và \({a^0} = 1.\)

Lưu ý: \({0^0}\) và \({0^{ - n}}\) không có nghĩa.

2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho \(a > 0\) và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n};\) trong đó \(m \in \mathbb{Z},n \in \mathbb{N},n \ge 2.\) Khi đó: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.\)

3. Lũy thừa số vô tỉ

Cho \(a > 0,{\rm{ }}\alpha \in \mathbb{R},{\rm{ }}({r_n})\) là dãy số hữu tỉ sao cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {r_n} = \alpha .\) Khi đó: \({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {r_n} = {a^{{r_n}}}.\)

4. Các tính chất của lũy thừa: Cho \(a,{\rm{ }}b\) là các số thực dương, \(x,{\rm{ }}y\) là các số thực tùy ý.

và \({a^{x - y}} = \frac{{{a^x}}}{{{a^y}}} \cdot \) và \({({a^x})^y} = {a^{x.y}}.\)

Nếu \(a > 1\) thì \({a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x > y.\)

Nếu \(0 < a < 1\) thì \({a^x} > {a^y} \Leftrightarrow x < y.\)

Hàm số lũy thừa

1. Định nghĩa: Hàm số \(y = {x^\alpha },\) với \(\alpha \in \mathbb{R},\)được gọi là hàm số lũy thừA..

2. Tập xác định: Tập xác định của hàm số \(y = {x^\alpha }\) là:

\(D = \mathbb{R}\) nếu \(\alpha \) là số nguyên dương.

\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) với \(\alpha \) nguyên âm hoặc bằng \(0.\)

\(D = (0; + \infty )\) với \(\alpha \) không nguyên.

3. Đạo hàm: Hàm số \(y = {x^\alpha },{\rm{ }}(\alpha \in \mathbb{R})\) có đạo hàm với mọi \(x > 0\) và \(({x^\alpha })' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}.\)

4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng \((0; + \infty )\) (khảo sát hàm lũy thừa).

\(y = {x^\alpha },{\rm{ }}\alpha > 0\)

\(y = {x^\alpha },{\rm{ }}\alpha < 0\)

A.. Tập khảo sát: \((0; + \infty ).\)

A.. Tập khảo sát: \((0; + \infty ).\)

B.. Sự biến thiên:

\(y' = \alpha {x^{\alpha - 1}} > 0,{\rm{ }}\forall x > 0.\)

Giới hạn đặc biệt:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = 0,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^\alpha } = + \infty .\)

Tiệm cận: Không có

B.. Sự biến thiên:

\(y' = \alpha {x^{\alpha - 1}} < 0,{\rm{ }}\forall x > 0.\)

Giới hạn đặc biệt:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = + \infty ,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^\alpha } = 0.\)

Tiệm cận:

Trục \(Ox\) là tiệm cận ngang.

Trục \(Oy\) là tiệm cận đứng.

C. Bảng biến thiên:

C. Bảng biến thiên:

D. Đồ thị:

Đồ thị của hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }\) luôn đi qua điểm \(I(1;1).\)

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: \(y = {x^3},{\rm{ }}y = {x^{ - 2}},{\rm{ }}y = {x^\pi }.\)

Dạng toán 1. Tính giá trị của biểu thức và thu gọn biểu thức chứa hàm số lũy thừa

Ví dụ 1. Không dùng máy tính bỏ túi, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a)\(A = {\left( {\left[ {{3^{\frac{3}{2}}} \cdot {5^{\frac{5}{3}}}:{2^{ - \frac{7}{4}}}} \right]:\left[ {16:\left( {{5^{\frac{1}{3}}} \cdot {3^{\frac{1}{2}}} \cdot {2^{\frac{1}{4}}}} \right)} \right]} \right)^{\frac{1}{2}}} = \) \({\left( {\left[ {{3^{\frac{3}{2}}} \cdot {5^{\frac{5}{3}}}{{.2}^{\frac{7}{4}}}} \right]:\left[ {{2^4}{{.5}^{ - \frac{1}{3}}} \cdot {3^{ - \frac{1}{2}}} \cdot {2^{ - \frac{1}{4}}}} \right]} \right)^{\frac{1}{2}}} = \)\({\left( {\left[ {{3^{\frac{3}{2}}} \cdot {5^{\frac{5}{3}}}{{.2}^{\frac{7}{4}}}} \right].\left[ {{2^{ - 4}}{{.5}^{\frac{1}{3}}} \cdot {3^{\frac{1}{2}}} \cdot {2^{\frac{1}{4}}}} \right]} \right)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {{3^2}{{.5}^2}{{.2}^{ - 2}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = \frac{{15}}{2}\)

b)\(B = \sqrt[3]{{4 \cdot \sqrt[3]{{2 \cdot \sqrt 8 }}}} + {(\sqrt[5]{{3\sqrt[3]{{3\sqrt 3 }}}})^6}\)\( = {2^{\frac{1}{3}(2 + \frac{1}{3}(1 + \frac{3}{2}))}} + {3^{6(\frac{1}{5}(1 + \frac{1}{3}(1 + \frac{1}{2})))}} = {2^{\frac{{17}}{{18}}}} + {3^{\frac{9}{5}}}\)

c)\(C = ({25^{1 + \sqrt 2 }} - {5^{2\sqrt 2 }}) \cdot {5^{ - 1 - 2\sqrt 2 }} + ({8^{1 + \sqrt 2 }} \cdot {4^{1 - \sqrt 2 }}):{2^{4 + \sqrt 2 }} = \) \(({25^{1 + \sqrt 2 }} - {5^{2\sqrt 2 }}) \cdot {5^{ - 1 - 2\sqrt 2 }} + ({8^{1 + \sqrt 2 }} \cdot {4^{1 - \sqrt 2 }}):{2^{4 + \sqrt 2 }}\)\( = {5^{2 + 2\sqrt 2 - 1 - 2\sqrt 2 }} - {5^{2\sqrt 2 - 1 - 2\sqrt 2 }} \)\(+ {2^{3 + 3\sqrt 2 + 2 - 2\sqrt 2 - 4 - \sqrt 2 }}\)\( = 5 - {5^{ - 1}} + 2 = \frac{{34}}{5}\).

Ví dụ 2. Thu gọn các biểu thức sau:

a)\(A = \left( {1 - 2\sqrt {\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = \) \(\left( {1 - 2\sqrt {\frac{b}{a}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}=\) \( {\left( {\frac{{\sqrt b - \sqrt a }}{{\sqrt a }}} \right)^2}:{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} = \frac{1}{a}\)

b)\(B = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}} - {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} - {b^{ - \frac{1}{2}}}}} = \) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}} - {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} - {b^{ - \frac{1}{2}}}}} =\) \( \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}(1 - {a^2})}}{{{a^{\frac{1}{4}}}(1 - a)}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}}(1 - {b^2})}}{{{b^{ - \frac{1}{2}}}(b - 1)}} = 1 + a + 1 + b = a + b + 2\)

c) \(C = \left( {\frac{{a.\sqrt[3]{a} - 2a.\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{{{a^2}{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{ab}}}} + \frac{{\sqrt[3]{{{a^2}b}} - \sqrt[3]{{a{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}}} \right):\sqrt[3]{a}\)\( = \left( {\frac{{{a^{\frac{4}{3}}} - 2a.{b^{\frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}} + \frac{{{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}}}} \right):{a^{\frac{1}{3}}} = \) \(\left( {\frac{{{a^{\frac{2}{3}}}{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}}{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}} + \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}}}} \right):{a^{\frac{1}{3}}}\)

\( = \left( {{a^{\frac{1}{3}}}({a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}) + {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}} \right):{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{a}\)

d) \(D = \left( {\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}b}} - \sqrt[3]{{a{b^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - 2\sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}}} - \frac{{a + b}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}} \right){(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})^{ - 1}} + \sqrt[6]{a}\)\( = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}} - \frac{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)\left( {{a^{\frac{2}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}} \right){(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})^{ - 1}} + \sqrt[6]{a}\)\( = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}} - \frac{{\left( {{a^{\frac{2}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} + {b^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}} \right){(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})^{ - 1}} + \sqrt[6]{a}\)\( = \frac{{ - {{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}^2}}}{{\left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})^{ - 1}} + \sqrt[6]{a} = \) \( - \left( {{a^{\frac{1}{3}}} - {b^{\frac{1}{3}}}} \right){(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})^{ - 1}} + \sqrt[6]{a}\)\( = - \left( {{a^{\frac{1}{6}}} - {b^{\frac{1}{6}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{6}}} + {b^{\frac{1}{6}}}} \right){({a^{\frac{1}{6}}} - {b^{\frac{1}{6}}})^{ - 1}} + \sqrt[6]{a} = - \sqrt[6]{b}\)

Ví dụ 3. Hãy so sánh các cặp số sau:

a)\({4^{ - \sqrt 3 }}\) và \({4^{ - \sqrt 2 }}:\) Vì 4 > 1 và \( - \sqrt 3 < - \sqrt 2 \) nên \({4^{ - \sqrt 3 }}\) < \({4^{ - \sqrt 2 }}\)

b) \({2^{\sqrt 3 }}\) và \({2^{1,7}}:\) Vì 2 > 1 và \(\sqrt 3 > 1.7\) nên \({2^{\sqrt 3 }}\) > \({2^{1,7}}\)

c) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{1,4}}\) và \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\sqrt 2 }}\): Vì ½ < 1 và 1.4 < \(\sqrt 2 \) nên \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{1,4}}\) > \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\sqrt 2 }}\)

e) \(\sqrt[3]{{10}}\) và \(\sqrt[5]{{20}}\): Có \(\begin{array}{l}\sqrt[3]{{10}} > \sqrt[3]{8} = 2;\;\sqrt[5]{{20}} < \sqrt[5]{{32}} = 2\\ \Rightarrow \sqrt[3]{{10}} > \sqrt[5]{{20}}\end{array}\)

f) \(\sqrt[4]{5}\) và \(\sqrt[3]{7}\): Có \(\sqrt[4]{5} < \sqrt[4]{7};\;\;\sqrt[4]{7} = {7^{\frac{1}{4}}} < {7^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{7}\)

Dạng toán 2. Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa và tính đạo hàm

Ví dụ 3. Tìm tập xác định và tính đạo hàm cấp 1 của các hàm số lũy thừa sau:

a) \(y = {({x^2} - 4x + 3)^{ - 2}}:\) TXĐ: \(\mathbb{R}{\rm{\backslash \{ 1;3\} }}\)

Đạo hàm: \(y' = - 2{({x^2} - 4x + 3)^{ - 3}}.(2x - 4)\)

b) \(y = {({x^3} - 8)^{\frac{\pi }{3}}}:\) TXĐ: \((2; + \infty )\) vì \(\frac{\pi }{3} \notin \mathbb{Z}\)

Đạo hàm: \(y' = \frac{\pi }{3}{({x^3} - 8)^{\frac{\pi }{3} - 1}}.(3{x^2}) = \pi {x^2}{({x^3} - 8)^{\frac{\pi }{3} - 1}}\)

c) \(y = \sqrt[4]{{{x^2} - 3x - 4}}:\) TXĐ: \(( - \infty ; - 1] \cup [4; + \infty )\)

Đạo hàm: \(y' = \frac{{2x - 3}}{{4\sqrt[4]{{{{({x^2} - 3x - 4)}^3}}}}}\)

d) \(y = {({x^2} - 3x - 4)^{\frac{1}{4}}}\): TXĐ: \(( - \infty ; - 1) \cup (4; + \infty )\)

Đạo hàm: \(y' = \frac{1}{4}{({x^2} - 3x - 4)^{ - \frac{3}{4}}}.(2x - 3)\)

e) \(y = {({x^2} + x - 6)^{\frac{1}{3}}}\) : TXĐ: \(( - \infty ; - 3) \cup (2; + \infty )\)

Đạo hàm: \(y' = \frac{1}{3}{({x^2} + x - 6)^{ - \frac{2}{3}}}.(2x + 1)\)

f) \(y = \sqrt[3]{{{x^2} + x - 6}}\) : TXĐ: \(\mathbb{R}\)

Đạo hàm: \(y' = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{{({x^2} + x - 6)}^2}}}}}.(2x + 1)\)