Phương trình mặt phẳng

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ \(\displaystyle \vec n \ne \vec 0\) là véctơ pháp tuyến của \(\displaystyle \left( \alpha \right)\)nếu giá của \(\displaystyle \vec n\) vuông góc với \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) .

Chú ý: Nếu là một VTPT của \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) thì \(\displaystyle k\vec n\) \(\displaystyle \left( {k e 0} \right)\) cũng là VTPT của \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) .

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

\(\displaystyle Ax + By + Cz + D = 0\) với \(\displaystyle {A^2} + {B^2} + {C^2} > 0\)

· Nếu \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) có phương trình \(\displaystyle Ax + By + Cz + D = 0\) thì \(\displaystyle \vec n = (A;B;C)\) là một véctơ pháp tuyến của \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) .

· Phương trình mặt phẳng đi qua \(\displaystyle {M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có một véctơ pháp tuyến \(\displaystyle \vec n = (A;B;C)\) là:

\(\displaystyle A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)

3. Các trường hợp đặc biệt

Chú ý:

· Nếu trong phương trình của \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) không chứa ẩn nào thì \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) song song hoặc chứa trục tương ứng.

· Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: \(\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) cắt các trục toạ độ tại các điểm \(\displaystyle \left( {a;0;0} \right),\left( {0;b;0} \right),\left( {0;0;c} \right)\)

4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) có phương trình: \(\displaystyle \left( \alpha \right):\) \(\displaystyle {A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\)

\(\displaystyle \left( \beta \right):\) \(\displaystyle {A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\)

5. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho điểm \(\displaystyle {M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\)

\(\displaystyle d\left( {{M_0},(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

VÍ DỤ CƠ BẢN

Ví dụ 1: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {1; - 2;4} \right)\) và nhận \(\displaystyle \overrightarrow n \left( {2;3;5} \right)\) làm véctơ pháp tuyến.Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là : \(\displaystyle 2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) + 5\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 5z - 16 = 0\)

Ví dụ 2: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {1;2;3} \right)\) và nhận \(\displaystyle \overrightarrow n \left( {4;5;6} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến.Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\) là : \(\displaystyle 4\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) + 6\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y + 6z - 32 = 0\)

Ví dụ 3: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {2;0;1} \right)\) và nhận \(\displaystyle \overrightarrow n \left( {1;1;1} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến.Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là : \(\displaystyle 1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 3 = 0\)

CÁC DẠNG BÀI VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với một mặt phẳng

Phương pháp giải:

Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\displaystyle \left( \beta \right):Ax + By + Cz + D = 0\) nên phương trình có dạng:

\(\displaystyle \left( \alpha \right):A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

Ví dụ 1: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {2; - 1;2} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\displaystyle (Q):2x - y + 3z + 4 = 0\) . Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( Q \right):2x - y + 3z + 4 = 0\) có véc tơ pháp tuyến là \(\displaystyle \overrightarrow n \left( {2; - 1;3} \right)\) do đó \(\displaystyle \overrightarrow n \left( {2; - 1;3} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) nên có phương trình \(\displaystyle 2x - y + 3z - 11 = 0\) .

Ví dụ 2: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {1; - 2;3} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\displaystyle \left( Q \right):2x - 3y + z + 5 = 0\) . Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( Q \right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\displaystyle \overrightarrow n \left( {2; - 3;1} \right)\) do đó \(\displaystyle \overrightarrow n \left( {2; - 3;1} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) nên có phương trình \(\displaystyle 2x - 3y + z - 11 = 0\) .

Ví dụ 3: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {2;6; - 3} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\displaystyle \left( {Oxy} \right)\) . Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( {Oxy} \right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\displaystyle \overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\) do đó chọn \(\displaystyle \overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\) làm véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) nên có phương trình \(\displaystyle z + 3 = 0\) .

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 mặt phẳng cho trước. (Hoặc viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song hoặc chứa giá của hai véctơ cho trước.)

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) và vuông góc với hai với mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right):{A_0}x + {B_0}y + {C_0}z + {D_0} = 0\) ; \(\displaystyle \left( Q \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\) nên có một véc tơ pháp tuyến : \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = (A;B;C)\)

\(\displaystyle \left( \alpha \right):A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)

1. dụ 1: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(\displaystyle M( - 2;3;1)\) và vuông góc với 2 mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) và \(\displaystyle \left( Q \right)\) có phương trình lần lượt là \(\displaystyle 2x + y + 2z + 5 = 0\) \(\displaystyle ;3x + 2y + z - 3 = 0\) . Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 3;4;1} \right)\)

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) đi qua điểm \(\displaystyle M\left( { - 2;3;1} \right)\) và có một véctơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n \) nên có phương trình :

\(\displaystyle - 3x + 4y + z - 19 = 0\)

Ví dụ 2: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {3; - 1; - 5} \right)\) và vuông góc với 2 mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) và \(\displaystyle \left( Q \right)\) có phương trình lần lượt là \(\displaystyle 3x - 2y + 2z + 7 = 0\) ; \(\displaystyle 5x - 4y + 3z + 1 = 0\) . Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)\)

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {3; - 1; - 5} \right)\) và có một véctơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n \) nên có phương trình:

\(\displaystyle 2x + y - 2z - 15 = 0\)

Ví dụ 3: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {0;2;0} \right)\) và vuông góc với 2 mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) và \(\displaystyle \left( Q \right)\) có phương trình lần lượt là \(\displaystyle z - 3 = 0\) ; \(\displaystyle 3x - 4y + 7z + 1 = 0\).Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {4;3;0} \right)\)

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) đi qua điểm \(\displaystyle M\left( {0;2;0} \right)\) và có một véctơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n \) nên có phương trình:

\(\displaystyle 4x + 3y - 6 = 0\)

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(\displaystyle M;N,P\) nên có một véc tơ pháp tuyến : \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = (A;B;C)\)

\(\displaystyle \left( \alpha \right):A\left( {x - {x_M}} \right) + B\left( {y - {y_M}} \right) + C\left( {z - {z_M}} \right) = 0\)

Ví dụ 1: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua 3 điểm \(\displaystyle A\left( {2; - 1;3} \right)\,;B\left( {4;0;1} \right)\,;\,C\left( { - 10;5;3} \right)\) . Phương trình của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;2;2} \right)\)

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) đi qua điểm \(\displaystyle A\left( {2; - 1;3} \right)\) và có một véctơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n \) nên có phương trình:

\(\displaystyle x + 2y + 2z - 6 = 0\)

Ví dụ 2: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua 3 điểm \(\displaystyle A\left( {1;0;0} \right)\,;B\left( {0; - 2;0} \right)\,;\,C\left( {0;0; - 3} \right)\) . Phương trình của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6; - 3; - 2} \right)\)

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) đi qua điểm \(\displaystyle A\left( {1;0;0} \right)\) và có một véctơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n \) nên có phương trình:

\(\displaystyle 6x - 3y - 2z - 6 = 0\)

Ví dụ 3: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua 3 điểm \(\displaystyle A\left( {1;1;1} \right);B\left( {4;3;2} \right)\,;\,C\left( {5;2;1} \right)\) . Phương trình của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1; - 4;5} \right)\)

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) đi qua điểm \(\displaystyle A\left( {1;1;1} \right)\) và có một véctơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n \) nên có phương trình:

\(\displaystyle x - 4y + 5z - 2 = 0\)

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm và vuông góc với 1 mặt phẳng

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) đi qua ba điểm \(\displaystyle M;N\,\) và vuông góc với mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) nên có một véc tơ pháp tuyến : \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = (A;B;C)\)

\(\displaystyle \left( \alpha \right):A\left( {x - {x_M}} \right) + B\left( {y - {y_M}} \right) + C\left( {z - {z_M}} \right) = 0\)

Ví dụ 1: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua 2 điểm \(\displaystyle A\left( {0;2;0} \right)\,;B\left( {0;0;0} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\displaystyle (Q):\,\,2x + 3y - 4z - 2 = 0\) .Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải.

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2;0;1} \right)\)

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) đi qua điểm \(\displaystyle A\left( {0;2;0} \right)\) và có một véctơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n \) nên có phương trình:

\(\displaystyle 2x + z = 0\)

Ví dụ 2: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua 2 điểm \(\displaystyle A\left( {0;1;0\,} \right);B\left( {2;3;1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\displaystyle (Q):\,x + 2y - z = 0\).Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải.

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {4; - 3; - 2} \right)\)

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) đi qua điểm \(\displaystyle A\left( {0;1;0} \right)\) và có một véctơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n \) nên có phương trình:

\(\displaystyle 4x - 3y - 2z + 3 = 0\)

Ví dụ 3: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua 2 điểm \(\displaystyle A\left( {1;0;1} \right)\,;B\left( {5;2;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\displaystyle \left( Q \right):\,2x - y + z + 7 = 0\) .Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải.

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1;0; - 2} \right)\)

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) đi qua điểm \(\displaystyle A\left( {1;0;1} \right)\) và có một véctơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n \) nên có phương trình:

\(\displaystyle x - 2z + 1 = 0\)

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(\displaystyle MN\) .

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm I của hai điểm \(\displaystyle M;N\,\) và vuông góc với \(\displaystyle MN\) nên có một véc tơ pháp tuyến : \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \overrightarrow {MN} = (A;B;C)\)

\(\displaystyle \left( \alpha \right):A\left( {x - {x_I}} \right) + B\left( {y - {y_I}} \right) + C\left( {z - {z_I}} \right) = 0\)

Ví dụ 1: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(\displaystyle AB\) với \(\displaystyle A\left( {2;3;7} \right)\,;B\left( {4;1;3} \right)\) . Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2; - 4} \right)\)

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) đi qua điểm trung điểm \(\displaystyle I\left( {3;2;5} \right)\) của \(\displaystyle AB\) và có một véctơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n \) nên có phương trình : \(\displaystyle x - y - 2z + 9 = 0\)

Ví dụ 2: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(\displaystyle AB\) với \(\displaystyle A\left( {1; - 2;4} \right)\,;B\left( {3;6;2} \right)\) . Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \overrightarrow {AB} = \left( {2;8; - 2} \right)\)

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) đi qua điểm trung điểm \(\displaystyle I\left( {2;2;3} \right)\) của \(\displaystyle AB\) và có một véctơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n \) nên có phương trình: \(\displaystyle x + 4y - z - 7 = 0\)

Ví dụ 3: Gọi \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(\displaystyle AB\) với \(\displaystyle A\left( { - 2;3; - 7} \right)\,;B\left( {4; - 1;3} \right)\) . Phương trình mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Gọi \(\displaystyle \overrightarrow n \) là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow n = \overrightarrow {AB} = \left( {6; - 4;10} \right)\)

Mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) đi qua điểm trung điểm \(\displaystyle I\left( {1;1; - 2} \right)\) của \(\displaystyle AB\) và có một véctơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n \) nên có phương trình: \(\displaystyle 3x - 2y + 5z + 9 = 0\)

Dạng 6: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Cho hai mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) có phương trình: \(\displaystyle \left( \alpha \right):\) \(\displaystyle {A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\)

\(\displaystyle \left( \beta \right):\) \(\displaystyle {A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\)

· \(\displaystyle \left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) cắt nhau \(\displaystyle \Leftrightarrow {A_1}:{B_1}:{C_1} e {A_2}:{B_2}:{C_2}\)

· \(\displaystyle \left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} e \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}}\)

· \(\displaystyle \left( \alpha \right) \equiv \left( \beta \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} = \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}}\)

· \(\displaystyle \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right) \Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0\)

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right):2x + 3y - 2z + 5 = 0\) và

\(\displaystyle \left( \beta \right):3x + 4y - 8z - 5 = 0\) . Khi đó vị trí tương đối của \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) và \(\displaystyle \left( \beta \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Vì \(\displaystyle \frac{2}{3} e \frac{3}{4} e \frac{{ - 2}}{{ - 8}}\) \(\displaystyle \Rightarrow \left( \alpha \right)\) cắt \(\displaystyle \left( \beta \right)\) .

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right):5x + 5y - 5z - 1 = 0\) và

\(\displaystyle \left( \beta \right):3x + 3y - 3z + 7 = 0\) . Khi đó vị trí tương đối của \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) và \(\displaystyle \left( \beta \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Vì \(\displaystyle \frac{5}{3} = \frac{5}{3} = \frac{{ - 5}}{{ - 3}} e \frac{{ - 1}}{7}\) \(\displaystyle \Rightarrow \left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right).\)

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right):x - 2y - 4z + 6 = 0\) và

\(\displaystyle \left( \beta \right):2x + 3y - z + 5 = 0\) . Khi đó vị trí tương đối của \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) và \(\displaystyle \left( \beta \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Vì \(\displaystyle 1.2 + \left( { - 2} \right).3 + \left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) = 0\) \(\displaystyle \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right).\)

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right):2x - 2y - 4z + 5 = 0\) và

\(\displaystyle \left( \beta \right):5x - 5y - 10z + \frac{{25}}{2} = 0\) . Khi đó vị trí tương đối của \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) và \(\displaystyle \left( \beta \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Vì \(\displaystyle \frac{2}{5} = \frac{{ - 2}}{{ - 5}} = \frac{{ - 4}}{{ - 10}} = \frac{5}{{\frac{{25}}{2}}}\) \(\displaystyle \Rightarrow \left( \alpha \right) \equiv \left( \beta \right).\)

Dạng 7: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng. Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Giả sử mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right):Ax + By + Cz + D = 0\) có VTPT là \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) .

· \(\displaystyle H\left( {x;y;z} \right)\) là hình chiếu của \(\displaystyle M\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)\) lên mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MH} = t.\overrightarrow n \\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = At + {x_M}\\y = Bt + {y_M}\\z = Ct + {z_M}\\Ax + By + Cz + D = 0\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình trên ta có \(\displaystyle t\) rồi suy ra \(\displaystyle x,y,z\) .

· \(\displaystyle M'\left( {{x^\prime };{y^\prime };{z^\prime }} \right)\) là điểm đối xứng của \(\displaystyle M\) qua mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow H\) là trung điểm của \(\displaystyle MM'\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^\prime } = 2{x_H} - {x_M}\\{y^\prime } = 2{y_H} - {y_M}\\{z^\prime } = 2{z_H} - {z_M}\end{array} \right.\)

Từ đó xác định được tọa độ của điểm \(\displaystyle M'\) .

Ví dụ 1: Tọa độ hình chiếu \(\displaystyle H\) của điểm \(\displaystyle M\left( {1; - 1;2} \right)\) lên mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right):x + 3y - z + 2 = 0\) là:

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) có VTPT là \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {1;3; - 1} \right)\) .

Gọi \(\displaystyle H\left( {x;y;z} \right)\) là hình chiếu của \(\displaystyle M\left( {1; - 1;2} \right)\)lên mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MH} = t.\overrightarrow n \\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t + 1\\y = 3t - 1\\z = - t + 2\\x + 3y - z + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{2}{{11}}\\x = t + 1\\y = 3t - 1\\z = - t + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13}}{{11}}\\y = - \frac{5}{{11}}\\z = \frac{{20}}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{13}}{{11}}; - \frac{5}{{11}};\frac{{20}}{{11}}} \right).\)

Ví dụ 2: Tọa độ \(\displaystyle {M^\prime }\) là điểm đối xứng của điểm \(\displaystyle M\left( {1;2;3} \right)\) qua mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right):x + y - z + 5 = 0\) là:

Hướng dẫn giải

\(\displaystyle \left( \alpha \right)\) có VTPT là \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\) .

Gọi \(\displaystyle H\left( {x;y;z} \right)\) là hình chiếu của \(\displaystyle M\left( {1;2;3} \right)\) lên mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MH} = t.\overrightarrow n \\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t + 1\\y = t + 2\\z = - t + 3\\x + y - z + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - \frac{5}{3}\\x = t + 1\\y = t + 2\\z = - t + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{2}{3}\\y = \frac{1}{3}\\z = \frac{{14}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - \frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{{14}}{3}} \right).\)

\(\displaystyle {M^\prime }\left( {{x^\prime };{y^\prime };z'} \right)\) là điểm đối xứng của \(\displaystyle M\) qua mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow H\) là trung điểm của \(\displaystyle MM'\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^\prime } = 2{x_H} - {x_M} = 0\\{y^\prime } = 2{y_H} - {y_M} = 1\\{z^\prime } = 2{z_H} - {z_M} = 3\end{array} \right. \Rightarrow {M^\prime }\left( {0;1;3} \right).\)

Ví dụ 3: Tọa độ \(\displaystyle H\) là hình chiếu của điểm \(\displaystyle M\left( {2; - 3;1} \right)\)qua mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right): - x + 2y + z + 1 = 0\) là:

Hướng dẫn giải

\(\displaystyle \left( \alpha \right)\) có VTPT là \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( { - 1;2;1} \right)\) .

Gọi \(\displaystyle H\left( {x;y;z} \right)\) là hình chiếu của \(\displaystyle M\left( {2; - 3;1} \right)\)lên mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MH} = t.\overrightarrow n \\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - t + 2\\y = 2t - 3\\z = t + 1\\ - x + 2y + z + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\x = - t + 2\\y = 2t - 3\\z = t + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1; - 1;2} \right).\)

Dạng 8: Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ điểm \(\displaystyle {M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right):{\rm{ }}Ax + By + Cz + D = 0\)

\(\displaystyle d\left( {{M_0},(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Chú ý:

● Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

● Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho điểm \(\displaystyle M(2; - 3;5)\)và mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) có phương trình: \(\displaystyle 2x - y + 2z - 6 = 0\) . Khoảng cách từ điểm \(\displaystyle M\) mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức \(\displaystyle d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1.\left( { - 3} \right) + 2.5 - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{11}}{3}.\)

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho điểm \(\displaystyle A(2;1; - 1)\)và mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) có phương trình: \(\displaystyle x - y + z - 4 = 0\) . Khoảng cách từ điểm \(\displaystyle A\) mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức \(\displaystyle d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.2 - 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.\)

Ví udj 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai mặt phẳng:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\left( \alpha \right):2x + 3y - z + 2 = 0\\\left( \beta \right):2x + 3y - z + 16 = 0\end{array}\)

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) và \(\displaystyle \left( \beta \right)\) là:

Hướng dẫn giải

Vì \(\displaystyle \frac{2}{2} = \frac{3}{{3 - 1}} = \frac{{ - 1}}{{ - 1}} e \frac{2}{{16}} \Rightarrow \) \(\displaystyle \left( \alpha \right){\rm{//}}\left( \beta \right)\)

Chọn \(\displaystyle M\left( {0;0;2} \right) \in \left( \alpha \right)\) thì khoảng cách giữa \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) và \(\displaystyle \left( \beta \right)\) là:

\(\displaystyle d\left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = d\left( {M,\left( \beta \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 3.0 - 2 + 16} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt {14} .\)

Dạng 9: Tìm góc giữa hai mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Cho hai mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) có phương trình \(\displaystyle \left( \alpha \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0\)

\(\displaystyle \left( \beta \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0\)

Vì góc giữa \(\displaystyle \left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT \(\displaystyle {\vec n_1},\,{\vec n_2}\) nên

\(\displaystyle \cos \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1}.{{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right|.\left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\)

Chú ý:

· \(\displaystyle (\alpha ) \bot (\beta ) \Leftrightarrow {A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2} = 0\)

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai mặt phẳng có phương trình:

\(\displaystyle \left( \alpha \right):x + y - z + 1 = 0\) và \(\displaystyle \left( \beta \right):x - y + z - 5 = 0\) .

Gọi \(\displaystyle \varphi \) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) và \(\displaystyle \left( \beta \right)\) , \(\displaystyle \cos \varphi \) là số nào?

Hướng dẫn giải

\(\displaystyle \left( \alpha \right)\) có VTPT là \(\displaystyle \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1; - 1} \right)\)

\(\displaystyle \left( \beta \right)\) có VTPT là \(\displaystyle \overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 1;1} \right)\)

\(\displaystyle \cos \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1}.{{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right|.\left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{3}\)

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai mặt phẳng có phương trình:

\(\displaystyle \left( \alpha \right):2x--y + 2z - 4 = 0\) và \(\displaystyle \left( \beta \right):x - 2y - 2z + 4 = 0\) .

Góc giữa hai mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) bằng:

Hướng dẫn giải

\(\displaystyle \left( \alpha \right)\) có VTPT là \(\displaystyle \overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1;2} \right)\)

\(\displaystyle \left( \beta \right)\) có VTPT là \(\displaystyle \overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\)

\(\displaystyle \cos \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1}.{{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right|.\left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = 90^\circ \) .

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(\displaystyle Oxyz\) , cho hai mặt phẳng có phương trình:

\(\displaystyle \left( \alpha \right):x--2y + 3z + 6 = 0\) và \(\displaystyle \left( \beta \right):x - 3z + 1 = 0\) .

Gọi \(\displaystyle \varphi \) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) và \(\displaystyle \left( \beta \right)\) , \(\displaystyle \cos \varphi \) là số nào?

Hướng dẫn giải

\(\displaystyle \left( \alpha \right)\) có VTPT là \(\displaystyle \overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;3} \right)\)

\(\displaystyle \left( \beta \right)\) có VTPT là \(\displaystyle \overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;0; - 1} \right)\)

\(\displaystyle \cos \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1}.{{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right|.\left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 2} \right).0 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 9} .\sqrt {1 + 1} }} = \frac{{\sqrt 7 }}{7}.\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = 90^\circ \) .