Phương pháp làm nhanh thể tích đa diện

Tam giác

Tam giác đều

Đường cao: \(\displaystyle \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Diện tích: \(\displaystyle \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Tâm là trọng tâm.

Tam giác vuông cân

Đường chéo (cạnh huyền)

\(\displaystyle a\sqrt 2 \)

Tam giác vuông có góc \(\displaystyle {60^0}\)

Cạnh bé: a

Cạnh huyền: 2a

Cạnh còn lại: \(\displaystyle a\sqrt 3 \)

Tâm đường tròn ngoại tiếp: Trung điểm cạnh huyền

Tứ giác

Hình vuông

Cạnh: a

Đường chéo: \(\displaystyle a\sqrt 2 \)

Diện tích: \(\displaystyle {a^2}\)

Tâm là giao hai đường chéo

Hình chữ nhật

Diện tích: ab

Hình thoi có góc \(\displaystyle {60^0}\) hoặc \(\displaystyle {120^0}\)

Cạnh: a

Đường chéo ngắn: a

Đường chéo dài: a\(\displaystyle \sqrt 3 \)

Diện tích: \(\displaystyle \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Hai đường chéo vuông góc

Hình thang vuông đặc biệt, có đáy lớn gấp 2 đáy nhỏ và đường cao

- Hình vuông ghép với tam giác vuông cân.

- Có nhiều góc vuông.

- Kích thước như hình vẽ.

Hình chóp đều

Chân đường cao trùng với tâm đáy

Cạnh bên vuông với đáy

Đường cao chóp, lăng trụ chính là cạnh bên

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

Mặt bên vuông với đáy

Đường cao chóp, lăng trụ là đường cao tam giác mặt bên vị trí chân đường cao H, độ dài đường cao phụ thuộc vào hình dạng, khích thước mặt bên.

+ Mặt bên cân, đều: H là trung điểm cạnh đáy

+ Mặt bên cho góc, cạnh tính theo \(\displaystyle {\rm{\Delta }}\) vuông.

Lăng trụ

+ Đứng: Đường cao là cạnh bên

+ Nghiêng: Một đỉnh thuộc một đáy (chẳng hạn \(\displaystyle A'\) của \(\displaystyle A'B'C' \ldots \)) cùng với đáy còn lại \(\displaystyle ABC \ldots \) một hình chóp \(\displaystyle A'.ABC \ldots \) rơi vào các hình chóp xác định ở trên.

Hai mặt bên vuông góc với đáy

Đường cao là cạnh bên giao tuyến của hai mặt bên

Góc giữa cạnh bên và đáy (đt và mp)

Là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đó

Góc giữa mặt bên và đáy (mp và mp)

Chiếu 2 lần:

+ Từ một điểmthuộc mặt bên (vd: S) chiếu lên đáy H

+ Từ H chiếu sang giao tuyến của mặt bên vs đáy I

+ Vị trí của I phụ thuộc vào hình dạng đáy

+ Góc cần tìm là \(\displaystyle \widehat {SIH\;}\).

Từ điểm đến mặt phẳng \(\displaystyle d\left( {A,\left( P \right)} \right)\)

Hai đường chéo nhau \(\displaystyle d\left( {AC,SB} \right)\)

(không dựng đường vuông góc chung)

a) Phương pháp dựng khoảng cách từ H lên mặt xiên \(\displaystyle \left( P \right)\)

+ Từ H kẻ HI vuông sang giao giao tuyến

+ Từ H kẻ HK vuông góc với với HI.

+ HK là khoảng cách từ H đến mặt xiên.

Chuyển thành khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

+ Dựng mặt phẳng chứa \(\displaystyle SB\) và song song với \(\displaystyle AC\), với:

- \(\displaystyle AC\) là đường nằm trên đáy.

- Từ \(\displaystyle B\) kẻ \(\displaystyle BE\parallel AC,\;BE = AC\). Khi đó BECA là hình bình hành trên đáy.

- Mặt phẳng \(\displaystyle \left( {SBE} \right)\) là mặt chứa \(\displaystyle SB\) và // \(\displaystyle {\rm{AC}}\).

+ Vậy \(\displaystyle d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {A,\left( {SBE} \right)} \right)\).

b) Chuyển thành khoảng cách của điểm khác

+ Nếu đường AB cắt (P) tại M

\(\displaystyle \frac{{d\left( {A,\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( P \right)} \right)}} = \frac{{MA}}{{MB}}\)

+ Đặc biệt, M là trung điểm của AB:

\(\displaystyle d\left( {A,\left( P \right)} \right) = d\left( {B,\left( P \right)} \right)\)

c) Phương pháp thể tích

\(\displaystyle d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{BCD}}}}\)

Trong tam giác vuông

+ \(\displaystyle AS.AB = AH.SB\)

+ \(\displaystyle SH.SB = S{A^2}\)

+ \(\displaystyle \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}\)

+ \(\displaystyle \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\)

+ \(\displaystyle SA = AB.\tan B\)

+ \(\displaystyle SA = SB.\sin B\)

+ \(\displaystyle {S_{SAB}} = \frac{1}{2}AS.AB\)

Trong tam giác thường

\(\displaystyle \cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\)

\(\displaystyle \sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} \)

\(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\)

Thể tích hình chóp

\(\displaystyle V = \frac{1}{3}{ S_{\text{đáy}}}.h\)

Thể tích lăng trụ

\(\displaystyle V = { S_{\text{đáy}}}.h\)

Thể tích hình nón

\(\displaystyle V = \frac{1}{3}{ S_{\text{đáy}}}.h\)

Tỉ số thể tích

\(\displaystyle A',B',C'\) là 3 điểm bất kỳ trên \(\displaystyle SA,SB,SC\) của chóp tam giác (tứ diện \(\displaystyle S.ABC\).

\[\displaystyle \frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\]

Thể tích hình trụ

\(\displaystyle V = { S_{\text{đáy}}}.h\)

Thể tích khối cầu

\(\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\)

Cách chọn hệ trục

+ Chọn hai đường vuông góc trên đáy làm Ox, và Oy (yếu tố quyết định).

+ Từ O kẻ đường song song với đường cao làm Oz (không quan trọng).

+ Xác định tọa độ các điểm thuộc đáy

+ Xác định tọa độ đỉnh của chóp hoặc mặt còn lại của lăng trụ.

Cách xác định tọa độ cơ sở (các đỉnh của hình)

+ Đỉnh:

Quy tắc vàng: Dựa vào hình chiếu

Nếu H là hình chiếu của S lên đáy (Oxy) và \(\displaystyle H\left( {a;b;0} \right)\). Còn S ở độ cao \(\displaystyle h\), thì \(\displaystyle S\left( {a;b;h} \right)\).

Vì vậy: Chỉ cần xác định tọa độ các điểm trên đáy là xác định được tọa độ tất cả các đỉnh.

Quy tắc hình bình hành

+ ABCD là hình bình hành

+ Vì vậy: Một hình bình hành biết tọa độ 3 đỉnh thì dễ dàng tìm được đỉnh còn lại.

+ Ngoài ra lưu ý công thức tọa độ của trung điểm và trọng tâm.

1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

V= B.h

với B: diện tích đáy

h: chiều cao

Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = a.b.c

với a,b,c là ba kích thước

Thể tích khối lập phương:

\(\displaystyle V = {a^3}\)

với a là độ dài cạnh

2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

\(\displaystyle V=\frac{1}{3}.B.h\)

với B: diện tích đáy

h: chiều cao

3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:

Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:

\(\displaystyle \frac{{{V_{SABC}}}}{{{V_{SA'B'C'}}}} = \frac{{SA}}{{SA'}}\frac{{SB}}{{SB'}}\frac{{SC}}{{SC'}}\)

4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:

\(\displaystyle V = \frac{h}{3}\left( {B + B' + \sqrt {BB'} } \right)\)

với \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}B,{\rm{ B'}}:\text{diện tích hai đáy}\\h:{\text{chiều cao}}\end{array} \right.\)

Lời giải:

Ta có

vuông cân tại A nên AB = AC = a

ABC A'B'C' là lăng trụ đứng \(\displaystyle \Rightarrow AA' \bot AB\)

\(\Delta AA'B \Rightarrow AA{'^2} = A'{B^2} - A{B^2} = 8{a^2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow AA' = 2a\sqrt 2 \)

Vậy V = B.h = S(ABC) .AA' = \(\displaystyle {a^3}\sqrt 2 \)

Lời giải:

ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên

\(\displaystyle B{D^2} = B{D'^2} - {\rm{DD}}{'^2} = 9{a^2}\) \(\displaystyle \Rightarrow BD = 3a\)

ABCD là hình vuông \(\displaystyle \Rightarrow AB = \frac{{3a}}{{\sqrt 2 }}\)

Suy ra B = SABCD = \(\displaystyle \frac{{9{a^2}}}{4}\)

Vậy V = B.h = SABCD.AA' = \(\displaystyle 9{a^3}\)

Lời giải:

Gọi I là trung điểm BC. Ta có

ABC đều nên

\(\displaystyle \begin{array}{l}AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt {3\,} \,\& \,AI \bot BC\\ \Rightarrow A'I \bot BC\,(dl3 \bot )\end{array}\)

\(\displaystyle {S_{A'BC}} = \frac{1}{2}BC.A'I \Rightarrow A'I = \frac{{2{S_{A'BC}}}}{{BC}} = 4\)

\(\displaystyle AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot AI\).

\(\Delta A'AI \Rightarrow AA' = \sqrt {A'{I^2} - A{I^2}} = 2\)

Vậy \(V_{ABC.A’B’C’}\) = \(\displaystyle {S_{ABC}}\;.AA'\)= \(\displaystyle 8\sqrt 3 \)

Lời giải:

Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a

và \(\displaystyle {S_{ABCD}}\) = \(\displaystyle 2{S_{ABD}}\) = \(\displaystyle \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Theo đề bài \(\displaystyle BD'\) = \(\displaystyle AC\) = \(\displaystyle 2\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

\(\Delta DD'B \Rightarrow DD' = \sqrt {BD{'^2} - B{D^2}} = a\sqrt 2 \)

Vậy \(\displaystyle V = {S_{ABCD}}.DD'\) = \(\displaystyle \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\)

Lời giải:

Ta có \(\displaystyle A'A \bot (ABC) \Rightarrow A'A \bot AB\,\& AB\)là hình chiếu của A'B trên đáy ABC .

Vậy

\(\Delta ABA' \Rightarrow AA' = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)

SABC = \(\displaystyle \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Vậy V = SABC.AA' = \(\displaystyle \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

.Ta có:

\(\displaystyle AB \bot AC\,;AB \bot AA' \Rightarrow AB \bot (AA'C'C)\)

nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).

Vậy góc [BC';(AA"C"C)] = \(\widehat {BC'A}\) = \(\displaystyle {30^0}\)

\(\displaystyle \Delta AC'B \Rightarrow AC' = \frac{{AB}}{{\tan {{30}^o}}} = 3a\)

V =B.h = \(\displaystyle {S_{ABC}}.AA'\)

\(\Delta AA'C' \Rightarrow AA' = \sqrt {AC{'^2} - A'C{'^2}} = 2a\sqrt 2 \)

\(\Delta ABC\) là nửa tam giác đều nên \(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).Vậy V = \(\displaystyle {a^3}\sqrt 6 \)

Lời giải:

Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có: \(\displaystyle DD' \bot (ABCD) \Rightarrow DD' \bot BD\) và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD.

Vậy góc [BD';(ABCD)] = \(\widehat {DBD'} = {30^0}\)

\[\Delta BDD' \Rightarrow DD' = BD.\tan {30^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\]

Vậy V = \(\displaystyle {S_{ABCD}}.DD'\) = \(\displaystyle \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\); S = 4\(\displaystyle {S_{ADD'A'}}\) = \(\displaystyle \frac{{4{a^2}\sqrt 6 }}{3}\)

Lời giải:

Tam giác ABD đều cạnh a \(\displaystyle \Rightarrow {S_{ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\(\displaystyle \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác ABB’ vuông tại B \(\displaystyle \Rightarrow BB' = AB\tan {\rm{3}}{{\rm{0}}^o} = a\sqrt 3 \)

Vậy \(\displaystyle V = B.h = {S_{ABCD}}.BB' = \frac{{3{a^3}}}{2}\)

Lời giải:

Ta có \(\displaystyle A'A \bot (ABC)\,\& BC \bot AB \Rightarrow BC \bot A'B\,\)

Vậy \([(A'BC),(ABC)] = \widehat {ABA'} = {60^0}\)

\(\Delta ABA' \Rightarrow AA' = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)

SABC = \(\displaystyle \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Vậy V = \(\displaystyle {S_{ABC}}AA'\) = \(\displaystyle \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

Lời giải:

Tam giác ABC đều \(\displaystyle \Rightarrow AI \bot BC\) mà AA'\(\displaystyle \bot (ABC)\) nên A'I\(\displaystyle \bot BC\)(đl 3\(\displaystyle \bot \)).

Vậy [(A'BC);)ABC)] = \(\widehat{A’IA}\)= \(\displaystyle {30^0}\)

Giả sử BI = x \(\displaystyle \Rightarrow AI = \frac{{2x\sqrt 3 }}{2} = x\sqrt 3 \) . Ta có

\(\displaystyle A'I = \frac{{AI}}{{\cos {{30}^0}}} = \frac{{2AI}}{{\sqrt 3 }} = 2x\)

A’A = AI.\(\displaystyle \tan {30^0}\) =\(\displaystyle x\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{3} = x\)

Vậy \(\displaystyle V = CI.IA.AA' = {x^3}\sqrt 3 \)

Mà \(\displaystyle {S_{A'BC}} = BI.A'I = 2{x^2} = 8 \Rightarrow x = 2\)

Do đó \(\displaystyle V = 8\sqrt 3 \)

Lời giải:

Gọi O là tâm của ABCD . Ta có

ABCD là hình vuông nên\(\displaystyle OC \bot BD\)

CC'\(\displaystyle \bot \)(ABCD) nên OC'\(\displaystyle \bot \)BD (đl 3\(\displaystyle \bot \)). Vậy [(BDC');(ABCD)] = \(\widehat{COC’}\) = \(\displaystyle {60^0}\)

Ta có V = B.h = \(\displaystyle {S_{ABCD}}.CC'\)

ABCD là hình vuông nên \(\displaystyle {S_{ABCD}} = {a^2}\)

Tam giác OCC’ vuông nên CC' = OC.\(\displaystyle \tan {60^0}\) =\(\displaystyle \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Vậy V = \(\displaystyle \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\)

Ta có AA' \(\displaystyle \bot (ABCD) \Rightarrow \)AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD)

Vậy góc[A'C,(ABCD)] = \(\widehat {A'CA} = {30^0}\)

BC \(\displaystyle \bot \)AB \(\displaystyle \Rightarrow \)BC \(\displaystyle \bot \)A'B (đl 3\(\displaystyle \bot \)) .

Vậy [(A'BC),(ABCD)] = \(\widehat {A'BA} = {30^0}\)

AC = AA'.\(\displaystyle \cot {30^0}\) = \(\displaystyle 2a\sqrt 3 \)

AB = AA'.\(\displaystyle \cot {60^0}\) = \(\displaystyle \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

\(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \frac{{4a\sqrt 6 }}{3}\)

Vậy V = \(\displaystyle \frac{{16{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

Lời giải:

Ta có \(\displaystyle C'H \bot (ABC)\, \Rightarrow CH\) là hình chiếu của CC' trên (ABC)

Vậy \([CC',(ABC)] = \widehat {C'CH} = {60^o}\)

\(C'H = CC'.\sin {60^0} = \frac{{3a}}{2}\)

\(\displaystyle {S_{ABC}}\) \(\displaystyle = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).Vậy V = \(\displaystyle {S_{ABC}}.C'H\) = \(\displaystyle \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Lời giải:

1) Ta có \(\displaystyle A'O \bot (ABC)\, \Rightarrow OA\) là hình chiếu của AA' trên (ABC)

Vậy \([AA',(ABC)] = \widehat {OAA'} = {60^o}\)

Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)

\(\displaystyle AO \bot BC\) tại trung điểm H của BC nên \(\displaystyle BC \bot A'H\)(đl 3 \(\displaystyle \bot \))

\(\displaystyle \Rightarrow BC \bot (AA'H) \Rightarrow BC \bot AA'\) mà AA'//BB' nên \(\displaystyle BC \bot BB'\) Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.

2) Tam giác ABC đều nên \(\displaystyle AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(A'O = AO\tan {\rm{6}}{{\rm{0}}^0} = a\)

Vậy V = \(\displaystyle {S_{ABC}}.A'O\) = \(\displaystyle \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

Lời giải:

Kẻ A’H \(\displaystyle \bot (ABCD)\), HM \(\displaystyle \bot AB\), \(\displaystyle HN \bot AD\)

\(\displaystyle \Rightarrow A'M \bot AB,A'N \bot AD\) (đl 3\(\displaystyle \bot \))

\( \Rightarrow \widehat {A'MH} = {45^o},\widehat {A'NH} = {60^o}\)

Đặt A’H = x . Khi đó

\(\displaystyle A'N = x:\sin {60^0} = \frac{{2x}}{{\sqrt 3 }}\)

AN = \(\displaystyle \sqrt {AA{'^2} - A'{N^2}} = \sqrt {\frac{{3 - 4{x^2}}}{3} = HM} \)

Mà HM = x.cot \(\displaystyle {45^0}\) = x

Nghĩa là x = \(\displaystyle \sqrt {\frac{{3 - 4{x^2}}}{3}} \Rightarrow x = \sqrt {\frac{3}{7}} \)

Vậy V = AB.AD.x =\(\displaystyle \sqrt 3 .\sqrt 7 .\sqrt {\frac{3}{7}} = 3\)

Lời giải:

Ta có

\(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(ABC) \bot (SBC)}\\{(ASC) \bot (SBC)}\end{array}} \right.\)\(\displaystyle \Rightarrow AC \bot (SBC)\)

Do đó \(\displaystyle V = \frac{1}{3}{S_{SBC}}.AC = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Lời giải:

1) \(\displaystyle SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot AB\,\,\& \,SA \bot AC\)

mà \(\displaystyle BC \bot AB \Rightarrow BC \bot SB\) ( đl 3 \(\displaystyle \bot \)).

Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông.

2) Ta có\(\displaystyle SA \bot (ABC) \Rightarrow AB\) là hình chiếu của SB trên (ABC).

Vậy [SB,(ABC)] = \(\widehat {SAB} = {60^0}\).

ABC vuông cân nên BA = BC = \(\displaystyle \frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

\(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^2}}}{4}\)

\(SA = AB.\tan {\rm{6}}{0^o} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Vậy \(\displaystyle V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}}}{4}\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\)

Lời giải: M là trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên

AM \(\displaystyle \bot \)BC\(\displaystyle \Rightarrow \)SA\(\displaystyle \bot \)BC (đl3\(\displaystyle \bot \)) .

Vậy [(SBC);(ABC)] = \(\widehat{SMA}=60^0\).

Ta có V = \(\displaystyle \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA\)

\(SA = AM\tan {60^o} = \frac{{3a}}{2}\)

Vậy V = \(\displaystyle \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Lời giải:

1) Ta có \(\displaystyle SA \bot (ABC)\) và \(\displaystyle CD \bot AD \Rightarrow CD \bot SD\) ( đl 3 \(\displaystyle \bot \)).(1)

Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = = 60o .

SAD vuông nên SA = AD.\(\displaystyle \tan {60^0}\) = \(\displaystyle a\sqrt 3 \)

Vậy \(\displaystyle V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}{a^2}a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

2) Ta dựng AH \(\displaystyle \bot SD\),vì CD\(\displaystyle \bot \)(SAD) (do (1) ) nên CD \(\displaystyle \bot \)AH\(\displaystyle \Rightarrow \)\(\displaystyle AH \bot (SCD)\)

Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}}\)

Vậy AH = \(\displaystyle \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB.

SAB đều \(\displaystyle \Rightarrow SH \bot AB\)

mà \(\displaystyle (SAB) \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot (ABCD)\)

Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

Ta có tam giác SAB đều nên SA =\(\displaystyle \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

suy ra \(\displaystyle V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của BC.

Ta có tam giác ABC đều nên AH\(\displaystyle \bot \)(BCD) , mà (ABC) \(\displaystyle \bot \) (BCD) \(\displaystyle \Rightarrow \) AH \(\displaystyle \bot (BCD)\).

Ta có AH\(\displaystyle \bot \)HD\(\displaystyle \Rightarrow \)AH = AD.\(\displaystyle \tan {60^0}\) =\(\displaystyle a\sqrt 3 \)

và HD = AD.\(\displaystyle \cot {60^0}\) =\(\displaystyle \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

BC = 2HD = \(\displaystyle \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)suy ra

V = \(\displaystyle \frac{1}{3}{S_{BCD}}.AH = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}BC.HD.AH = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)

a) Kẻ SH\(\displaystyle \bot \) BC vì mp(SAC) \(\displaystyle \bot \)mp(ABC) nên SH\(\displaystyle \bot \)mp(ABC).

Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC

Ta có: \(\displaystyle \Delta SHI = \Delta SHJ \Rightarrow HI = HJ\) nên BH là đường phân giác của tam giác ABC , từ đó suy ra H là trung điểm của AC.

b) HI = HJ = SH =\(\displaystyle \frac{a}{2}\) \(\displaystyle \Rightarrow \)\(\displaystyle {V_{SABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}SH = \frac{{{a^3}}}{{12}}\)

\

Lời giải:

Dựng SO\(\displaystyle \bot \)(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = = OC

Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.

Ta có tam giác ABC đều nên

AO = \(\displaystyle \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\Delta SAO \Rightarrow S{O^2} = S{A^2} - O{A^2} = \frac{{11{a^2}}}{3}\)

\(\displaystyle \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt {11} }}{{\sqrt 3 }}\).Vậy \(\displaystyle V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\)

Lời giải:

Dựng SO \(\displaystyle \bot \) (ABCD)

Ta có SA = SB = SC = SD nên

OA =OB = OC = OD

Ta có \(\displaystyle S{A^2} + S{B^2} = A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\) nên vuông tại S \(\displaystyle \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \)\(\displaystyle V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}{a^2}\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

Vậy \(\displaystyle V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

Lời giải:

a) Gọi O là tâm của \(\displaystyle \Delta ABC \Rightarrow DO \bot (ABC)\)

\(\displaystyle V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.DO\)

\(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) , \(\displaystyle OC = \frac{2}{3}CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\displaystyle \Delta DOC\) vuông có: \(\displaystyle DO = \sqrt {D{C^2} - O{C^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\(\displaystyle \Rightarrow V = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

b) Kẻ , khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH

\(\displaystyle MH = \frac{1}{2}DO = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\) .

\(\displaystyle \Rightarrow {V_{MABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.MH = \frac{1}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)

Vậy \(\displaystyle V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)

Lời giải:

a) Ta cos: \(\displaystyle {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA\) và \(\displaystyle SA = a\)

Tam giác \(\displaystyle ABC\) cân có: \(\displaystyle AC = a\sqrt 2 \Rightarrow AB = a\)

\(\displaystyle \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{{a^2}}}{2}\) . Vậy \(\displaystyle {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.a = \frac{{{a^3}}}{6}\)

b) Gọi I là trung điểm BC.

G là trọng tâm,ta có :\(\displaystyle \frac{{SG}}{{SI}} = \frac{2}{3}\)

Có

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{4}{9}\)

Vậy \(\displaystyle {V_{S.AMN}} = \frac{4}{9}{V_{S.ABC}} = \frac{{2{a^3}}}{{27}}\)

Lời giải:

a) Tính \(\displaystyle {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.CD = \frac{{{a^3}}}{6}\)

b) Tacó: \(\displaystyle AB \bot AC,AB \bot CD \Rightarrow AB \bot (ACD)\) \(\displaystyle \Rightarrow AB \bot EC\). Mà \(\displaystyle BD \bot EC \Rightarrow EC \bot (ABD)\)

c) Tính \(\displaystyle {V_{DCEF}}\). Ta có: \(\displaystyle \frac{{{V_{DCEF}}}}{{{V_{DABC}}}} = \frac{{DE}}{{DA}}.\frac{{DF}}{{DB}}\;(*)\)

Mà \(\displaystyle DE.DA = D{C^2}\), chia cho \(\displaystyle D{A^2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{{DE}}{{DA}} = \frac{{D{C^2}}}{{D{A^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{2{a^2}}} = \frac{1}{2}\)

Tương tự: \(\displaystyle \frac{{DF}}{{DB}} = \frac{1}{3}\)

Từ (*) \(\displaystyle \Rightarrow \frac{{{V_{DCEF}}}}{{{V_{DABC}}}} = \frac{1}{6}\) . Vậy \(\displaystyle {V_{DCEF}} = \frac{{{a^3}}}{{36}}\)

Lời giải:

Kẻ (\(\displaystyle N \in SD\)) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

Có \(\displaystyle \frac{{{V_{SAND}}}}{{{V_{SADB}}}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{SAND}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\)

\(\displaystyle \frac{{{V_{SBMN}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{SBMN}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\)

Mà \(\displaystyle {V_{S.ABMN}} = {V_{SANB}} + {V_{SBMN}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\)

Suy ra \(\displaystyle \frac{{{V_{SABNM}}}}{{{V_{ABMN.ABCD}}}} = \frac{3}{5}\)

Lời giải:

a) Gọi \(\displaystyle I = SO \cap AM\). Ta có (AEFM)

b) \(\displaystyle {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO\) với \(\displaystyle {S_{ABCD}} = {a^2}\)

+ Tam giác SOA có: \(\displaystyle SO = AO.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Vậy : \(\displaystyle {V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\)

c) Phân chia chóp tứ giác ta có

\(\displaystyle {V_{S.AEMF}} = {V_{SAMF}} + {V_{SAME}} = 2{V_{SAMF}}\)

\(\displaystyle {V_{S.ABCD}} = 2{V_{SACD}} = 2{V_{SABC}}\)

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD

Ta có : \(\displaystyle \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{2}\)

\(\displaystyle \Delta SAC\) có trọng tâm \(\displaystyle I\), nên:

\(\displaystyle \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SF}}{{SD}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{{V_{SAMF}}}}{{{V_{SACD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SF}}{{SD}} = \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle \Rightarrow {V_{SAMF}} = \frac{1}{3}{V_{SACD}} = \frac{1}{6}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{36}}\)

Vậy \(\displaystyle {V_{S.AEMF}} = 2.\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{36}} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{18}}\)

a) Ta có: \(\displaystyle {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\)

b) Ta có \(\displaystyle BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AB'\) và \(\displaystyle SB \bot AB'\) suy ra \(\displaystyle AB' \bot (SBC) \Rightarrow AB' \bot SC\)

Tương tự \(\displaystyle AD' \bot SC\).

Vậy \(\displaystyle SC \bot (AB'D')\)

c) Tính \(\displaystyle {V_{S.AB'C'D'}}\)

+ Tính \(\displaystyle {V_{S.AB'C'}}\). Ta có: \(\displaystyle \frac{{{V_{SAB'C'}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}.\frac{1}{2} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle \Rightarrow {V_{SAB'C'}} = \frac{1}{6}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{18}}\)

\(\displaystyle {V_{S.AB'C'D'}} = 2{V_{S.AB'C'}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{9}\)