Tích phân đặc biệt

MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT (ĐỌC THÊM)

Định lý 1. Nếu \(\displaystyle f\left( x \right)\) liên tục và là hàm lẻ trên \(\displaystyle \left[ { - a;a} \right]\) thì

\(\displaystyle I = \mathop \int \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = 0\)

Chứng minh:

\(\displaystyle I = \mathop \int \limits_{ - a}^0 f\left( x \right)dx + \mathop \int \limits_0^a f\left( x \right)dx\)

Tính:

\(\displaystyle \mathop \int \limits_{ - a}^0 f\left( x \right)dx\)

Đặt \(\displaystyle t = - x \Rightarrow dx = - dt\). \(\displaystyle x = - a,\;t = a\) và \(\displaystyle x = 0,t = 0\)

\(\displaystyle \mathop \int \limits_{ - a}^0 f\left( x \right)dx = \mathop \int \limits_a^0 f\left( { - t} \right)\left( { - dt} \right) = \mathop \int \limits_a^0 f\left( t \right)dt = - \mathop \int \limits_0^a f\left( x \right)dx\)

Thế vào \(\displaystyle I\) ta được \(\displaystyle I = 0\).

Ví dụ:

\(\displaystyle I = \mathop \int \limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \cos x.\ln \frac{{1 - x}}{{1 + x}}dx\)

Xét hàm số liên tục trên \(\displaystyle \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) (điều này luôn đúng trong bài toán).

\(\displaystyle f\left( x \right) = \cos x\ln \frac{{1 - x}}{{1 + x}}\)

Có

\(\displaystyle f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right)\ln \frac{{1 + x}}{{1 - x}} = - \cos x.\ln \frac{{1 - x}}{{1 + x}} = - f\left( x \right)\)

Vậy \(\displaystyle f\left( x \right)\) là hàm chẵn, do đó \(\displaystyle I = 0\).

Đinh lý 2. Nếu \(\displaystyle f\left( x \right)\) là hàm chẵn liên tục trên \(\displaystyle \left[ { - a;a} \right]\), thì

\(\displaystyle \mathop \int \limits_{ - a}^a \frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx = \mathop \int \limits_0^a f\left( x \right)dx\)

Chứng minh

\(\displaystyle I = \mathop \int \limits_{ - a}^a \frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx = \mathop \int \limits_{ - a}^0 \frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx + \mathop \int \limits_0^a \frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx\)

Tính

\(\displaystyle \mathop \int \limits_{ - a}^0 \frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx\)

Đặt \(\displaystyle t = - x \Rightarrow dx = - dt\). Đổi cận \(\displaystyle x = - a \Rightarrow t = a;x = 0 \Rightarrow t = 0\)

\(\displaystyle \mathop \int \limits_{ - a}^0 \frac{{f\left( x \right)}}{{{a^x} + 1}}dx = \mathop \int \limits_a^0 \frac{{f\left( { - t} \right)}}{{{a^{ - t}} + 1}}\left( { - dt} \right) = - \mathop \int \limits_a^0 f\left( t \right).\frac{{{a^t}}}{{1 + {a^t}}}dt = \mathop \int \limits_0^a \frac{{f\left( t \right){a^t}}}{{{a^t} + 1}}dt\)

Thay vào \(\displaystyle I\), ta được

\(\displaystyle I = \mathop \int \limits_0^a f\left( x \right).\frac{{{a^x} + 1}}{{{a^x} + 1}}dx = \mathop \int \limits_0^a f\left( x \right)dx\)

Ví dụ:

\(\displaystyle \mathop \int \limits_{ - 1}^1 \frac{{{x^4}}}{{{2^x} + 1}}dx = \mathop \int \limits_0^1 {x^4}dx = \frac{1}{5}\)

3. Đổi biến theo tổng hai cận

Nếu \(\displaystyle f\left( x \right)\) liên tục trên \(\displaystyle \left[ {a;b} \right]\) thì ta có

\(\displaystyle \mathop \int \limits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \int \limits_a^b f\left( {a + b - x} \right)dx\)

Chứng minh

Đặt \(\displaystyle t = a + b - x \Rightarrow dx = - dt\)

Vậy

\(\displaystyle \mathop \int \limits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \int \limits_b^a f\left( {a + b - t} \right)\left( { - dt} \right) = \mathop \int \limits_a^b f\left( {a + b - t} \right)dt\)

Ứng dụng 1: Lượng giác

\(\displaystyle \mathop \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)dx = \mathop \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\cos x} \right)dx\)

Ví dụ

\(\displaystyle I = \mathop \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{{{\sin }^{10}}x}}{{{{\sin }^{10}}x + {{\cos }^{10}}x}}dx\)

Ta có

\(\displaystyle I = \mathop \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{{{\sin }^{10}}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}}{{{{\sin }^{10}}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + {{\cos }^{10}}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}}dx = \mathop \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{{{\cos }^{10}}x}}{{{{\cos }^{10}}x + {{\sin }^{10}}x}}dx\)

Mà ban đầu

\(\displaystyle I = \mathop \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{{{\sin }^{10}}x}}{{{{\sin }^{10}}x + {{\cos }^{10}}x}}dx\)

Vậy cộng lại ta có

\(\displaystyle 2I = \mathop \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{{{\sin }^{10}}x + {{\cos }^{10}}x}}{{{{\sin }^{10}}x + {{\cos }^{10}}x}}dx = \mathop \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} dx = \frac{\pi }{2}\)

Ứng dụng 2: Lượng giác và \(\displaystyle x\)

\(\displaystyle \mathop \int \limits_0^\pi x.f(\sin x)dx = \frac{\pi }{2}\mathop \int \limits_0^\pi f(\sin x)dx\)

Ví dụ

\(\displaystyle I = \mathop \int \limits_0^\pi x.\frac{{\sin x}}{{4 - {{\cos }^2}x}}dx = \frac{\pi }{2}\mathop \int \limits_0^\pi \frac{{\sin x}}{{4 - {{\cos }^2}x}}dx = \frac{\pi }{2}\mathop \int \limits_{ - 1}^1 \frac{{dt}}{{4 - {t^2}}}\)

Ứng dụng 3: Mũ và logarithm

Ví dụ 1

\(\displaystyle I = \mathop \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \ln \frac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}}dx = \mathop \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \ln \frac{{1 + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}}{{1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)}}dx = \mathop \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \ln \frac{{1 + \cos x}}{{1 + \sin x}}dx = - I\)

Vậy \(\displaystyle I = 0\).

Ví dụ 2:

\(\displaystyle I = \mathop \int \limits_{ - 1}^1 \frac{{{e^x}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}dx = \mathop \int \limits_{ - 1}^1 \frac{{{e^{ - x}}}}{{{e^{ - x}} - {e^x}}}dx = \mathop \int \limits_{ - 1}^1 \frac{{ - {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}dx\)

Suy ra

\(\displaystyle 2I = \mathop \int \limits_{ - 1}^1 \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}dx = \mathop \int \limits_{ - 1}^1 dx = 2 \Rightarrow I = 1\)

Ứng dụng 4: Hàm ẩn

Ví dụ : Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0;1]$ và thỏa mãn $f(x)+2f(1-x)=3x,\forall x \in \Bbb R$. Tính $\displaystyle I=\int_{0}^{1}{f(x)dx}$

Áp dụng công thức, ta có

$$I=\int_{0}^{1}{f(1-x)dx}$$

Do vậy

$$3I=\int_{0}^{1}{\left[f(x)+2f(1-x)\right]dx}=\int_{0}^{1}{3xdx}=\dfrac{3}{2}\Bigg|_0^1=\dfrac{3}{2}$$

Suy ra $I=\dfrac{1}{2}$.