CÁC BÀI TOÁN MẶT CẦU - MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG
LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa :
* Mặt cầu là tập hợp những điểm M cách một điểm I cố định một khoảng không đổi .
* Điểm I cố định gọi là tâm của mặt cầu .
* Khoảng cách không đổi là R : Gọi là bán kính của mặt cầu .
2. Phương trình của mặt cầu :
- Giả sử điểm cố định \(\displaystyle I(a;b;c)\) và R là khoảng không đổi \(\displaystyle M = (x;y;z)\) thì theo định nghĩa :
\(\displaystyle IM = R\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2}} = R\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\quad \left( 1 \right)\)
- Nếu khai triển (1) ta có :
\(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{ax}} + 2by + 2c{\rm{z}} + d = 0\)\(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2} = d > 0} \right)\quad \left( 2 \right)\)
- Như vậy (1) và (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt cầu . Riêng trường hợp phương trình (2) muốn là phương trình của mặt cầu thì phải thỏa mãn điều kiện :
\(\displaystyle {R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\quad \left( * \right)\)
3. Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 tiếp xúc với cầu (S) thì :
Khoảng cách từ tâm I của cầu đế mặt phẳng (P) phải bằng bán kính của (S) :
\(\displaystyle \Leftrightarrow h\left( {I;P} \right) \)\(= \frac{{\left| {{\rm{aA}} + bB + cC + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} \)\(= R\quad \left( 3 \right)\)
Khi đó mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của cầu (S) .
BÀI TOÁN 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU .
Để lập được phương trình mặt cầu ta phải biết tọa độ của tâm I của cầu : ( Có ba ẩn số - là ba tọa độ của I ) và biết bán kính của R của mặt cầu , như vậy có bốn ẩn số . Vì thế bài toán đã cho ta phải thiết lập được bốn phương trình thì ta mới giải được .
Đặc biệt khi tâm I của mặt cầu mà nằm trên một đường thẳng d , thì ta chuyển đường thẳng d sang tham số , vì vậy ba tọa độ của I ta biểu diễn qua ẩn t , sau đó ta chỉ cần tìm một phương trình nữa là đủ .
Sau đây chúng ta cùng nhau tham khảo một số dạng toán hay gặp trong các kỳ thi tôt nghiệp cũng như thi đại học trong những năm gần đây .
1. Lập (S) đi qua bốn điểm :
· Bước 1: Viết phương trình của (S) dạng (2).
· Bước 2: Cho (S) đi qua lần lượt bốn điểm ta được bốn phương trình .
· Bước 3: Giải hệ bốn phương trình tìm được , suy ra bốn ẩn là : a,b,c và d .
· Bước 4: Thay bốn ẩn tìm được vào (2) ta suy ra phương trình của (S).
Ví dụ 1: Trong không gian với tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A,B,C,D có tọa độ xác định bởi hệ thức A(2;4;-1) , \(\displaystyle \overrightarrow {OB} = \overrightarrow i + 4\overrightarrow j - \overrightarrow k ;C = (2;4;3);\overrightarrow {O{\rm{D}}} = 2\overrightarrow i + 2\overrightarrow j - \overrightarrow k \) .
1) Chứng minh rằng : \(\displaystyle AB \bot AC,AC \bot A{\rm{D}},A{\rm{D}} \bot AB\) . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
2) Viết phương trình tham số đường vuông góc chung \(\displaystyle \Delta \) của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) và mặt phẳng (ABD) .
3)Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D . Viết phương trình tiếp diện \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) của cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) .
Giải:
1) Chứng minh rằng : AB \(\displaystyle \bot AC,AC \bot A{\rm{D}},A{\rm{D}} \bot AB\) . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Ta có : A(2;4;-1),B(1;4;-1),C(2;4;3) và D(2;2;-1) suy ra :
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;0} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {0;0;4} \right)\\\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \left( {0; - 2;0} \right)\end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} = 0\\\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} = 0\\\overrightarrow {A{\rm{D}}} .\overrightarrow {AB} = 0\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow AB \bot AC;AC \bot A{\rm{D}},A{\rm{D}} \bot AB.\)
2) Viết phương trình tham số đường vuông góc chung \(\displaystyle \Delta \) của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) và mặt phẳng (ABD) .
.png)
Do \(\displaystyle \Delta \) là đường vuông góc chung cho nên :
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\Delta \bot AB\\\Delta \bot C{\rm{D}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {C{\rm{D}}} } \right] \)\(= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0\\{ - 2}&{ - 4}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 4}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&0\\0&{ - 2}\end{array}} \right|} \right)\) \(\displaystyle = \left( {0; - 4;2} \right)//\overrightarrow u = \left( {0;2; - 1} \right) \)\(\Leftrightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4 + 2t\\z = - 1 - t\end{array} \right.\)
Vì : \(\displaystyle \overrightarrow {C{\rm{D}}} = \left( {0; - 2; - 4} \right)\) và \(\displaystyle \Delta \) qua A(2;4;-1).
- Mặt phẳng (ABD) qua A(2;4;-1) có \(\displaystyle \overrightarrow n = \overrightarrow {AC} = \left( {0;0;4} \right)//\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right) \)\(\Rightarrow \left( {AB{\rm{D}}} \right):z + 1 = 0\)
- Gọi \(\displaystyle \varphi = \left( {\Delta ;AB{\rm{D}}} \right) \)\(\Rightarrow \sin \varphi = c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow k } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|\left| {\overrightarrow k } \right|}} \)\(= \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} .1}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)
3) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D . Viết phương trình tiếp diện \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) của cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) .
Cách 1:
Gọi (S) : \(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{ax - }}2by - 2c{\rm{z}} + d = 0\) \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2} = d > 0} \right)\quad \left( 2 \right)\)
- (S) qua A(2;4;-1) suy ra : 4a +8b-2c-d= 21 (1)
- (S) qua B(1;4;-1) suy ra : 2a +8b-2c-d= 18 (2)
- (S) qua C(2;4;3) suy ra : 4a +8b+6c-d= 29 (3)
- (S) qua D(2;2;-1) suy ra : 4a +4b-2c-d= 9 (4)
Như vậy giải hệ bốn phương trình trên ta có :
\(\displaystyle a = \frac{3}{2};b = 4,c = 1;d = 8 \)\(\Leftrightarrow \left( S \right) = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3{\rm{x}} - 8y - \frac{1}{2}z + 8 = 0\)
Cách 2:
- Tâm của đường tròn đáy của tam giác (ABC) là J là trung điểm của BC , suy ra J( \(\displaystyle \frac{3}{2};4;1\) )
- Lập phương trình đường thẳng d qua J và vuông góc với (ABC) cho nên d có véc tơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow u = \overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right) \)\(\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = 4\\z = 1 + t\end{array} \right.\)
- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua K(2;3;-1) là trung điểm của AD và vuông góc với AD suy ra (P) có véc tơ pháp tuyến là \(\displaystyle \overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right) \Rightarrow \left( P \right):z - 1 = 0\) .
- Tâm I của cầu (S) là giao của d với (P) cho nên I có tọa độ là nghiệm của hệ :
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = 4\\z = 1 + t\\z - 1 = 0\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow 1 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \)\(\leftrightarrow I = \left( {\frac{3}{2};4;1} \right)\)
- Tính bán kính R bằng IA = \(\displaystyle \sqrt {\frac{1}{4} + 4} = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \)\(\Leftrightarrow \left( S \right):{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{5}{4}\)
Ví dụ 2: Trong không gia tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;-1;2),B(1;3;2),C(4;3;2) và D(4;-1;2).
1. Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện .
2. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy . Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’,B,C,D.
3. Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại điểm A’.
Giải:
1. Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện .
- Ta có : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {0;4;0} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {3;4;0} \right)\\\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \left( {3;0;0} \right)\end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\overrightarrow {A{\rm{D}}} \)\(= 3.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&0\\4&0\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow \) A,B,C,D đồng phẳng .
2. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy . Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’,B,C,D.
- Nếu A’ là hình chiếu của A trên (Oxy) thì A’(1;-1;0).
- Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm thì (S):
\(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{ax - }}2by - 2c{\rm{z}} + d = 0\); \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2} = d > 0} \right)\quad \left( * \right)\)
- (S) qua A’(1;-1;0) thì : 1+1-2a+2b+d=0 ; hay : 2a-2b-d=2 (1)
- (S) qua B(1;3;2) thì : 1+9+4-2a-6b-4c+d=0 ; hay : 2a+6b+4c-d=14 (2)
-(S) qua C(4;3;2) thì : 16+9+4-8a-6b-4c+d=0 ; hay : 8a+6b+4c-d=29 (3)
-(S) qua D(4;-1;2) thì : 16+1+4-8a+2b-4c+d=0 ; hay : 8a-2b+4c-d =21 (3).
Từ bốn phương trình trên ta có một hệ .
Giải hệ ta tìm được : a=5/2,b=2,c=1 và d=-1 . Thay vào (*) :
\(\displaystyle \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 5{\rm{x - }}4y - 2{\rm{z - 1}} = 0\;\quad \)
3. Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại điểm A’.
Nếu (P) là tiếp diện của (S) tại A’(1;-1;0) thì : \(\displaystyle \overrightarrow {IA} = \left( {\frac{3}{2};3;1} \right)//\overrightarrow n = \left( {3;6;2} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến . Cho nên (P): 3(x-1)+6(y+1)+2z=0 ; Hay (P): 3x+6y+2z+3=0 .
Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3). Viét phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D ?
Giải:
Gọi phương trình của (S) : \(\displaystyle {{\rm{x}}^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{ax}} - 2by - 2c{\rm{z}} + d = 0\quad \left( * \right)\)
Nếu (S) qua bốn điểm A,B,C,D thì ta thay tọa độ bốn điểm vào (*) ta có hệ :
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}6b + 6c - d = 18\\6{\rm{a}} + 6c - d = 18\\6b + 6c - d = 18\\6{\rm{a}} + 6b + 6c - d = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\d = 0\\6{\rm{a}} = 9\\6b = 9\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = \frac{3}{2}\\c = \frac{3}{2}\\d = 0\end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}\)
BÀI TOÁN 2: LẬP MẶT CẦU (S) CÓ LIÊN QUAN ĐẾ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1) LẬP PHƯƠNG TRÌNH (S) BIẾT (S) QUA BA ĐIỂM A,B,C VÀ TÂM NẰM TRÊN MỘT MẶT PHẲNG (P) CHO SẴN HOẶC TIẾP XÚC VỚI (P).
Phương pháp:
· Bước 1: Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát , sau đó cho (S) đi qua ba điểm A,B,C ta được ba phương trình
· Bước 2: Thay tạo độ tâm I với a,b,c vào phương trình mặt phẳng (P) ta được phương trình thứ tư . Vậy ta có hệ bốn phương trình bốn ẩn .
· Bước 3: Giải hệ , ta suy ra a,b,c và d . Thay vào phương trình tổng quát ta có phương trình của (S) .
Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0) ,C(1;1;1) và mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 . Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A,B,C và có tâm thuộc (P) .
Giải:
Mặt cầu (S) có dạng : \(\displaystyle {{\rm{x}}^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{ax}} - 2by - 2c{\rm{z}} + d = 0\quad \left( * \right)\)
(S) qua A,B,C ta thay tọa độ của A,B,C vào (*) ta được hệ ba phương trình :
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}4a + 2c - d = 5\\2{\rm{a}} - d = 1\\2{\rm{a}} + 2b + 2c - d = 3\\a + b + c = 2\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{a}} + 2c = 4\\d = 2{\rm{a}} - 1\\b + c = 1\\a = 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\d = 1\\b = 0\\a = 1\end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\)
Ví dụ 2: Lập mặt cầu (S) qua ba điểm A(-2;4;1) ,B(3;1;-3),C(-5;0;0) và có tâm thuộc mặt phẳng (P) : 2x+y-z+3=0 .
Giải:
Gọi (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R .
Nếu (S) qua A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) thì ta có hệ :
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} - 4{\rm{a + 8b + 2c - d = 21}} \Leftrightarrow {\rm{A}} \in \left( S \right)\\{\rm{6a}} + 2b - 6c - d = 0 \Leftrightarrow B \in \left( S \right)\\ - 10{\rm{a}} - d = 25 \Leftrightarrow C \in \left( S \right)\\2{\rm{a}} + b - c + 3 = 0 \Leftrightarrow I \in \left( P \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{\rm{a + 8b + 2c - d = 21}}\\10{\rm{a}} - 6b - 8c = - 21\\3{\rm{a}} + 4b + c = 2\\6{\rm{a}} - 7b - 3c = - 24\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{\rm{a + 8b + 2c - d = 21}}\\3{\rm{a}} + 4b + c = 2\\3b + c = 4\\34{\rm{a = 34}}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 3\\d = - 35\end{array} \right.\)
Vậy mặt cầu (S) có phương trình \(\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} + 4y - 6{\rm{z}} - 35 = 0\)
2) LẬP MẶT CẦU (S) CÓ TÂM I VÀ TIẾP XÚC VỚI (P).
Phương pháp:
· Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} \)
· Bước 2: Tìm tọa độ H là giao của d với (P) ( H chính là tiếp diểm ).
· Bước 3: Tính độ dài IH = R
.png)
Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x+y-z+5=0 và các điểm A(0;0;4), B(2;0;0) . Viết phương trình mặt cầu đi qua O,A,B và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Giải:
Cách 1:
Gọi (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R có dạng tổng quát :
Nếu (S) qua O,A,B thì ta có hệ ba phương trình :
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}d = 0\\8c - d = 16\\4{\rm{a - d = 4}}\\\frac{{\left| {2{\rm{a}} + b - c + 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 1} }} = R\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 2\\a = 1\\{\left( {2 + b - 2 + 5} \right)^2} = 6\left( {{1^2} + {b^2} + {2^2} - 0} \right)\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 2\\a = 1\\5{b^2} - 10b + 5 = 0\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 2\\d = 0\end{array} \right.\)
Vậy (S) : \(\displaystyle {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 6\) .
Cách 2:
Nhận xét : A ,B nằm trên hai trục Ox và Oz , cho nên OAB thuộc mặt phẳng (Oxz) vuông góc với trục Oy . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là trung điểm M(1;0;2) của AB
Lập đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(OAB) ( Là trục của đường tròn qua OAB ) thì d song song với Oy \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow u = \overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right) \Leftrightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = t\\z = 2\end{array} \right.\) . Tâm I của mặt cầu thuộc d cho nên tọa độ của I(1; t; 2) .
Vì (S) tiếp xúc với (P) cho nên : h(I,P)=R =IO
\(\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt {5 + {t^2}} = \frac{{\left| {2 + t - 2 + 5} \right|}}{{\sqrt 6 }} \)\(\Leftrightarrow 5\left( {{t^2} - 2t + 1} \right) = 0 \)\(\Rightarrow t = 1 \leftrightarrow I = \left( {1;1;2} \right)\)
Do đó mặt cầu (S) có phương trình là : \(\displaystyle {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 6\)
Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x+2y-2z+2=0 , và điểm I có tọa độ là I(1;2;2) .
a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
b) Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1;2;1);N(2;1;1).
c) Lập phương trình mặt phẳng qua M,N và tiếp xúc với (S).
Giải:
a) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
- Lập đường thẳng d qua I(1;2;2) và vuông góc với (P) cho nên \(\displaystyle \overrightarrow u = \overrightarrow n = \left( {1;2; - 2} \right)\) . Cho nên d có phương trình : x=1+t ; y=2+2t;z=2-2t .
- Tìm tọa độ H là giao của d với (P) , tọa độ H là nghiệm của hệ :
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 2 - 2t\\x + 2y - 2{\rm{z}} + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {1 + t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - 2\left( {2 - 2t} \right) + 2 = 0 \)\(\leftrightarrow 9t = - 3 \to t = - \frac{1}{3} \)\(\Leftrightarrow H = \left( { - \frac{1}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)\)
Vậy : \(\displaystyle IH = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{3} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{3} + 2} \right)}^2}} = \frac{1}{3}\sqrt {216} \)
Cho nên : \(\displaystyle \left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \frac{{216}}{9} = 24\) (*)
b)Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1;2;1);N(2;1;1).
- Đường thẳng (MN) qua M(1;2;1) có véc tơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right) \)\(\Rightarrow (MN):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 1\end{array} \right.\) .
- Nếu (MN) cắt (S) thì : thay giao điểm A của (MN) với cầu (S) vào (*) A(t+1;2-t;1) ta có : \(\displaystyle {\left( {t + 1 - 1} \right)^2} + {\left( {2 - t - 2} \right)^2} + {\left( {1 + 2} \right)^2} = 24 \)\(\Leftrightarrow 2{t^2} = 24 - 9 = 15 \leftrightarrow t = \pm \frac{{\sqrt {30} }}{2}\) .
- Do đó có hai điểm : \(\displaystyle {A_1} = \left( {1 - \frac{{\sqrt {30} }}{2};2 - \frac{{\sqrt {30} }}{2};1} \right);{A_2} \)\(= \left( {1 + \frac{{\sqrt {30} }}{2};2 + \frac{{\sqrt {30} }}{2};1} \right)\)
c)Lập mặt phẳng (P) qua (MN) và tiếp xúc với (S) .
- Đường thẳng (MN) là giao của hai mặt phẳng : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\z - 1 = 0\end{array} \right.\) .
- Suy ra (P) qua (MN) thì (P) thuộc chùm : x+y-1+m(z-1)=0 hay : x+y+mz-1-m=0 (*)
- Nếu (P) tiếp xúc với (S) thì : \(\displaystyle h\left( {I,P} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 2 + 2m - 1 - m} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} \)\(= \sqrt {24} \Leftrightarrow \left| {m + 2} \right| = 3\sqrt {24} \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2 - 6\sqrt 6 \\m = - 2 + 6\sqrt 6 \end{array} \right.\)
- Thay vào (*) ta có hai mặt phẳng : \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}x + y - \left( {2 + 6\sqrt 6 } \right)z + 1 + 6\sqrt 6 = 0\\x + y + \left( {6\sqrt 6 - 2} \right)z + \left( {1 - 6\sqrt 6 } \right) = 0\end{array} \right.\)
3. LẬP (S) CÓ TÂM I ĐỒNG THỜI CẮT (P) THEO MỘT ĐƯỜNG TRÒN XÁC ĐỊNH
.png)
Phương pháp:
· Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) khi đó \(\displaystyle \overrightarrow u = {\overrightarrow n _P}\) .
· Bước 2: Tìm tọa độ tâm K của đường tròn giao tuyến là giao của d với (P) . Từ đó tìm được IK .
· Bước 3:Dựa vào giả thiết cho biết đường tròn (C ) ta tính được r .
· Bước 4: Tính \(\displaystyle {R^2} = I{K^2} + {r^2}\) . Thay vào phương trình mặt cầu .
Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm I(1;2;-2) và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x-y-5=0 và y-z+3=0 .
1.Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ,đồng thời mặt phẳng (P): 2x+2y+z+5=0 cắt (S) theo một giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng \(\displaystyle 8\pi \) .
2.Viết phương trình tiếp diện của (S) qua d ?
Giải:
1. Tính h(I,P)= \(\displaystyle \frac{{\left| {2 + 4 - 2 + 5} \right|}}{3} = d = 3\) . Theo giả thiết : \(\displaystyle 8\pi = 2\pi r \Rightarrow r = 4\) ( là bán kính của đường tròn C ). Vậy : \(\displaystyle {{\rm{R}}^2} = {d^2} + {r^2} = 9 + 16 = 25\)\( \Leftrightarrow R = 5 \)\(\Leftrightarrow \left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25\) .
2. Mặt phẳng tiếp diện của (S) gọi là (Q) . Do mp(Q) qua d cho nên (Q) thuộc chùm mặt phẳng : m(2x-y-5)+n(y-z+3)=0 ; hay : 2mx-(m-n)y-nz+3n-5m =0 (*).
H(I,Q)= \(\displaystyle \frac{{\left| {7n - 5m} \right|}}{{\sqrt {4{m^2} + {{\left( {m - n} \right)}^2} + {n^2}} }} \)\(= 5 \Leftrightarrow {\left( {7n - 5m} \right)^2} = 25\left( {5{m^2} - 2mn + 2{n^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow {\left( {10m + n} \right)^2} = 0\)
Nếu chọn : m=1, thì n=-10 , thay vào phương trình (*) ta có phương trình tiếp diện là :
2x-11y+10z-35=0 .
Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-1) và định ra trên đường thẳng d có phương trình là giao tuyến của hai mặt phẳng : 5x-4y+3z+20=0, 3x-4y+z-8=0 một dây cung có độ dài bằng 16.
Giải:
.png)
- Đường thẳng d viết lại : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 5 + t\\z = - 15 - 2t\end{array} \right.\) . Gọi H là một điểm bất kỳ thuộc d thì H(1+2t;-5+t;-15-2t) \(\displaystyle \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {2t - 1;t - 8; - 2t - 14} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \overrightarrow {IH} .\overrightarrow {u'} = 0\)\( \Leftrightarrow 2\left( {2t - 1} \right) + \left( {t - 8} \right) - 2\left( { - 2t - 14} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow 9t = - 18 \to t = - 2\)
Vậy : \(\displaystyle H = \left( { - 5; - 10; - 10} \right) \)\(\Leftrightarrow I{H^2} = 25 + 100 + 100 = 225 \)\(\Rightarrow {R^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} + I{H^2} = 64 + 225 = 269\)
Vậy : \(\displaystyle {\rm{S:}}{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 269\) .
Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = - 1 + 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\) và mp (P): 2x-y-2z-2=0
1) Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tâm I cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 .đồng thời (S) cắt (P) theo đường tròn có bán kính bằng 3.
2) Viết phương trình mặt phẳng (R ) qua d và tạo với (P) một góc nhỏ nhất .
Giải:
1)Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tâm I cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 .
· Nếu I \(\displaystyle \in d \Rightarrow I = \left( { - t; - 1 + 2t;2 + t} \right) \) \( \Leftrightarrow h\left( {I,P} \right) = \frac{{\left| { - 2\left( t \right) - \left( {2t - 1} \right) - 2\left( {2 + t} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2\) \( \Leftrightarrow \left| { - 6t - 5} \right| = 6\)
· \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6t + 5 = 6\\6t + 5 = - 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{6}\\t = - \frac{{11}}{6}\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{I_1} = \left( { - \frac{1}{6}; - \frac{2}{3};\frac{{13}}{6}} \right)\\{I_2} = \left( {\frac{{11}}{6}; - \frac{{14}}{3};\frac{1}{6}} \right)\end{array} \right.\) . Tính khoảng cách từ hai tâm đến (P)
· \(\displaystyle h\left( {{I_1},P} \right) = \frac{{\left| {2\left( { - \frac{1}{6}} \right) + \frac{2}{3} - 2\left( {\frac{{13}}{6}} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2;\) \( h\left( {{I_2},P} \right) = \frac{{\left| {2\left( {\frac{{11}}{6}} \right) + \frac{{14}}{3} - 2\left( {\frac{1}{6}} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2\) . Do đó :
· \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}R_1^2 = {\left( 2 \right)^2} + 9 = 13 \to \left( {{S_1}} \right):{\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{{13}}{6}} \right)^2} = 13\\R_2^2 = {\left( 2 \right)^2} + 9 = 13 \to \left( {{S_2}} \right):{\left( {x - \frac{{11}}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{{14}}{3}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{6}} \right)^2} = 13\end{array} \right.\)
2) Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2}\\\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} + y + 1 = 0\\x + z - 2 = 0\end{array} \right.\) .
Do vậy mặt phẳng (R ) qua d thì (R ) thuộc chùm : 2x+y+1+m(x+z-2)=0 .
Hay mp( R) : (2+m)x+y+mz+1-2m=0 (*). Mp( R) có \(\displaystyle {\overrightarrow n _1} = \left( {m + 2;1;m} \right);\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) .
Vậy : \(\displaystyle \cos\alpha = \frac{{\overrightarrow {{n_1}.} \overrightarrow {{n_P}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\left| {{n_P}} \right|}} \) \(= \frac{{2\left( {m + 2} \right) + 1 - 2m}}{{\sqrt {{{\left( {m + 2} \right)}^2} + 1 + {m^2}} \sqrt {4 + 1 + 4} }} \) \(= \frac{5}{{3\sqrt {2{m^2} + 4m + 5} }} = \frac{5}{3}\frac{1}{{\sqrt {2{{\left( {m + 1} \right)}^2}3} }} \le \frac{5}{{3\sqrt 3 }}\)
Do \(\displaystyle \alpha \) nhỏ nhất cho nên \(\displaystyle c{\rm{os}}\alpha \) lớn nhất khi m=-1 .
Vậy thay vào (*) ta có mp( R): x+y-z+3=0 .
BÀI TOÁN 3: LẬP MẶT PHẲNG-ĐƯỜNG THẲNG KHI CHO PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU (S)
I. LẬP MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CẦU
Chú ý :
- Giả sử cần lập mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (S) có tâm I(a;b;c;) và bán kính R
Mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 được xác định khi tối thiểu phải biết được ba ẩn số . Trong khi đó điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (S) thì chỉ có một dữ kiện là h(I,P)=R . \(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{\left| {{\rm{aA}} + bB + cC + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = R\) .
- Vì thế cho nên bài ra bao giờ cũng cho thêm tối thiểu hai dự kiện nữa .
1. Lập mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d cho sẵn ( hoặc song song với một mặt phẳng (Q) cho sẵn ) và tiếp xúc với cầu (S) .
Phương pháp:
· Bước 1: Nếu (P) vuông góc với d thì \(\displaystyle \overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {A;B;C} \right) \Rightarrow \left( P \right):A{\rm{x}} + By + C{\rm{z}} + m = 0\quad \left( * \right)\)
· Bước 2: Nếu (P) tiếp xúc với cầu (S) thì : \(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{\left| {{\rm{aA}} + bB + cC + m} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = R\quad \left( 1 \right)\)
· Bước 3: Giải (1) ta tìm được ẩn m thay vào (*) ta có mặt phẳng (P)
· Trường hợp (P) song song với (Q) thì véc tơ pháp tuyến của (Q) cũng là của (P).
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} + 3y - 4{\rm{z}} + 1 = 0\\ - x - y + 2{\rm{z}} - 9 = 0\end{array} \right.\) và mặt cầu (S) có phương trình là :
\(\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4{\rm{x}} + 2y - 6{\rm{z}} - 6 = 0\) . Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với d và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Giải:
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] \) \(= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) \) \(= \left( {2;0;1} \right) = \overrightarrow {{n_P}} \) .
Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;3) và có bán kính là R= \(\displaystyle \sqrt {20} \) .
Do vậy (P) vuông góc với d có dạng : 2x+z+m=0 (*)
Nếu (P) tiếp xúc với (S) thì : \(\displaystyle h\left( {I,P} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 3 + m} \right|}}{{\sqrt {4 + 1} }} = \sqrt {20} \) \(\Leftrightarrow \left| {m + 7} \right| = 10\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 17\end{array} \right.\)
Vậy có hai mặt phẳng : \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left( {{P_1}} \right):2{\rm{x}} + z + 3 = 0\\\left( {{P_2}} \right):2{\rm{x}} + z - 17 = 0\end{array} \right.\)
Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu : \(\displaystyle \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 10{\rm{x}} + 2y + 26{\rm{z}} - 113 = 0\)
Và hai đường thẳng \(\displaystyle {\rm{d}}:\frac{{x + 5}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z + 13}}{2};\) \( d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 7 + 3t\\y = - 1 - 2t\\z = 8\end{array} \right.\)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d .
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d ,d’.
Giải:
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d .
Mặt cầu (S) có tâm I(5;-1;-13) và có bán kính R= \(\displaystyle \sqrt {308} \)
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương \(\displaystyle \overrightarrow u = \left( {2; - 3;2} \right) = \overrightarrow {{n_P}} \)
Do (P) vuông góc với d nên PT(P): 2x-3y+2z+m=0 (*).
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) thì :
\(\displaystyle h\left( {I,P} \right) = \frac{{\left| {10 + 3 - 26 + m} \right|}}{{\sqrt {4 + 9 + 4} }} = \sqrt {308} \) \(\Leftrightarrow \left| {m - 13} \right| = \sqrt {17.308}\) \( \Rightarrow m = \pm 13 + \sqrt {5236} \)
Vậy có hai mặt phẳng (P) : 2x-3y+2z \(\displaystyle \pm 13 + \sqrt {5236} \) =0 .
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d ,d’.
Ta có : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 3;2} \right)\\\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {3; - 2;0} \right)\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&2\\{ - 2}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\0&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\3&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) \) \(= \left( {4;6;5} \right) = \overrightarrow {{n_Q}} \)
Vậy (Q) có dạng : 4x+5y+6z+m=0 (*)
Nếu (Q) tiếp xúc với (S) thì : \(\displaystyle h\left( {I,Q} \right) = \frac{{\left| {20 - 6 - 65 + m} \right|}}{{\sqrt {16 + 36 + 25} }} = \sqrt {308}\) \( \Leftrightarrow \left| {m - 51} \right| = 154 \) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 103\\m = 205\end{array} \right.\)
Vậy có hai mặt phẳng (Q) : \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left( {{Q_1}} \right):4{\rm{x}} + 5y + 6{\rm{z}} - 103 = 0\\\left( {{Q_2}} \right):4{\rm{x}} + 5y + 6{\rm{z}} + 205 = 0\end{array} \right.\)
2. Lập mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tiếp xúc với cầu (S)
Phương pháp:
Bước 1: Chuyển đường thẳng d sang dạng là giao tuyến của hai mặt phẳng .
· Bước 2: Nếu (P) chứa d thì (P) thuộc chùm mặt phẳng . Viết phương trình chùm mặt phẳng sau đó chuyển về dạng mẫu mực .
· Bước 3: Sử dụng điều kiện : (P) tiếp xúc với (S) thì h(I,P) = R , ta sẽ thu được phương trình của mặt phẳng (P)
Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : \(\displaystyle \frac{{x - 13}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}\) và mặt cầu (S) có phương trình : \(\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y - 6{\rm{z}} - 67 = 0\) . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tiếp xúc với (S) .
.png)
Giải:
Đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 13}}{{ - 1}} = \frac{z}{4}\\\frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\rm{x}} + z - 52 = 0\\4y - z + 4 = 0\end{array} \right.\) .
Nếu (P) chứa d thì (P) thuộc chùm : 4x+z-52+m(4y-z+4)=0 ;
\(\displaystyle \Leftrightarrow \) 4x+4my+(1-m)z+4m-52=0 (*) .
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kính R=9. Cho nên (P) tiếp xúc với (S) thì :
Khoảng cách từ tâm I đến (P) bằng bán kính :
\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{\left| {4 + 8m + 3(1 - m) + 4m - 52} \right|}}{{\sqrt {16 + 16{m^2} + {{\left( {1 - m} \right)}^2}} }} = 9 \) \(\Leftrightarrow {\left( {9m - 45} \right)^2} = 9\left( {17{m^2} - 2m + 17} \right) \) \(\Leftrightarrow 2{m^2} + m - 1 = 0 \) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Thay vào (*) ta có hai mặt phẳng : \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}\left( {{P_1}} \right):2{\rm{x}} - 2y + z - 28 = 0\\\left( {{P_2}} \right):8{\rm{x}} + 4y + z - 100 = 0\end{array} \right.\) .
Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}8{\rm{x}} - 11y + 8{\rm{z}} - 30 = 0\\x - y - 2{\rm{z}} = 0\end{array} \right.\) và mặt cầu (S) có phương trình : \(\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2{\rm{x}} - 6y + 4{\rm{z}} - 15 = 0\) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tiếp xúc với cầu (S) .
Giải:
Cầu (S) có tâm I(-1;3;-2) và có bán kính R= \(\displaystyle \sqrt {29} \) .
Mặt phẳng (P) chứa d cho nên (P) thuộc cùm mặt phẳng :
8x-11y+8z-30+m(x-y-2z)=0 ; hay : (8+m)x-(11+m)y+(8-2m)z-30=0 (*)
Néu (P) tiếp xúc với (S) thì :
\(\displaystyle h\left( {I,P} \right) = \frac{{\left| { - \left( {8 + m} \right) - 3\left( {11 + m} \right) - 2\left( {8 - 2m} \right) - 30} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {8 + m} \right)}^2} + {{\left( {11 + m} \right)}^2} + {{\left( {8 - 2m} \right)}^2}} }} = \sqrt {29}\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| {87} \right|}}{{\sqrt {6{m^2} + 6m + 249} }} = \sqrt {29} \)
\(\displaystyle 6.{m^2} + 6.m + 249 = 3.87 \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right.\)
Nếu m=1: (P) : 9x-12y+6z-30=0 ; hay : 3x-4y+2z-10=0 .
Nếu m=-2 thì (P): 6x-9y+12z-30=0 , hay (P): 2x-3y+4z-10=0 .
Như vậy có hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với (S) .
II. MẶT PHẲNG CẮT MẶT CẦU – TÌM TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN GIAO TUYẾN .
BÀI TOÁN :
Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R . Mặt phẳng (P) Ax+By +Cz+D=0 . Chứng minh (P) cắt (S) . Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến
.png)
Phương pháp:
· Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua tâm cầu I và vuông góc với mặt phẳng (P) : \(\displaystyle \overrightarrow u = \overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\)
· Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm K của d với (P) . ( Đó chính là tâm của đường tròn giao tuyến ). Sau đó tính độ dài đoạn thẳng d=IK
· Bước 3: Để tính bán kính của đường tròn ( C) ta sử dụng công thức : \(\displaystyle {r^2} = {R^2} - {d^2} = {R^2} - I{K^2}\)
Ví dụ 1: Trong không gian cho bốn điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1) và D(1;1;0)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D /
b) xác định tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng(ACD) với mặt cầu (S)
Giải:
.png)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D
Từ hình vẽ, dễ dàng tìm được tọa độ tâm cầu (S) là I :
- Gọi J là trung điểm của AB \(\displaystyle J = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right)\)
- Kẻ đường thẳng m qua J và song song với Oz cắt CD tại I ( I là trung điểm của CD ) . Do vậy : \(\displaystyle I = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}\frac{1}{2}} \right)\) . Bán kính của cầu (S) bằng đoạn thẳng OI= \(\displaystyle \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) .
Ta có : \(\displaystyle \overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right),\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \left( {0;1;0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&0\\0&1\end{array}} \right|} \right) \) \(= \left( { - 1;0; - 1} \right)//\overrightarrow n = \left( {1;0;1} \right)\)
Mặt phẳng (ACD) qua A(1;0;0) và có véc tơ pháp tuyến là \(\displaystyle \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right] = \left( { - 1;0; - 1} \right) \) \(\Rightarrow \left( {AC{\rm{D}}} \right):x + z - 1 = 0\)
b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng(ACD) với mặt cầu (S)
Gọi d là đường thẳng qua tâm cầu I và vuông góc với (ACD) thì \(\displaystyle d:\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2} + t\\y = \frac{1}{2}\\z = \frac{1}{2} + t\end{array} \right.\)
Đường thẳng d cắt ACD) tại điểm H thì tọa độ H là nghiệm của hệ :
\(\displaystyle \frac{1}{2} + t + \frac{1}{2} + t - 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow t = 0 \) \(\Rightarrow H = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)
trùng với I . Vì thế (ACD) cắt (S) theo đường tròn lớn có bán kính bằng bán kính của (S) \(\displaystyle r = R = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) .
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): 2x-3y+4z-5=0 và mạt cầu (S): \(\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} + 3{\rm{x}} + 4y - 5{\rm{z}} + 6 = 0\)
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
b) Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt
mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta ký hiệu là (C ). Xác định bán kính r và tâm H của đường tròn (C ).
Giải:
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
Mặt cầu (S) có tâm I= \(\displaystyle \left( { - \frac{3}{2}; - 2;\frac{5}{2}} \right);R = \sqrt {\frac{9}{4} + 4 + \frac{{25}}{4} - 6} = \frac{{\sqrt {26} }}{2}\)
b) Ta có khoảng cách từ tâm I đến (P) : \(\displaystyle h(I,P) = \frac{{\left| {2\left( { - \frac{3}{2}} \right) - 3\left( { - 2} \right) + 4\left( {\frac{5}{2}} \right) - 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 9 + 16} }} = \frac{8}{{\sqrt {29} }}\) \( < \sqrt {29} = R\) .
Chứng tỏ : (P) cắt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn .
Tìm tâm và bán kính của ( C).
· Đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2} + 2t\\y = - 2 - 3t\\z = \frac{5}{2} + 4t\end{array} \right.\)
· Đường thẳng d cắt (P) tại H ( là tâm của đường tròn ) : Tọa độ của H là nghiệm của hệ : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2} + 2t\\y = - 2 - 3t\\z = \frac{5}{2} + 4t\\2{\rm{x}} - 3y + 4{\rm{z}} - 5 = 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow 2\left( { - \frac{3}{2} + 2t} \right) - 3\left( { - 2 - 3t} \right) + 4\left( {\frac{5}{2} + 4t} \right) - 5 = 0 \) \(\Leftrightarrow t = - \frac{8}{{29}} \) \(\leftrightarrow H = \left( {\frac{{119}}{{58}}; - \frac{{34}}{{29}};\frac{{81}}{{58}}} \right)\). Bán kính r của ( C) : \(\displaystyle {r^2} = {R^2} - {h^2}\left( {I,P} \right) = \frac{{26}}{4} - \frac{{64}}{{26}} = \frac{{249}}{{58}} \Rightarrow r = \sqrt {\frac{{249}}{{58}}} \)
Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm I(0;1;2) ,A(1;2;3) ,B(0;1;3)
1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua A ?
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B có véc tơ pháp tuyến \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\)
3) Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường tròn ( C) . Tìm tâm và bán kính của ( C) ?
Giải:
1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua A ?
Nếu (S) qua A(1;2;3) , thì IA=R \(\displaystyle \Leftrightarrow {R^2} = I{A^2} = {\left( {1 - 0} \right)^2} + {\left( {2 - 1} \right)^2} + {\left( {3 - 2} \right)^2} = 3\) .
Vậy (S) : \(\displaystyle {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3\) .
2) Lập mặt phẳng (P) qua B(0;1;3) có \(\displaystyle \overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\) , (P) : x+y+z-4=0 (*).
3) Chứng minh (P) cắt (S) : Ta có \(\displaystyle h\left( {I,P} \right) = \frac{{\left| {0 + 1 + 2 - 4} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} < \sqrt 3 = R \) \(\Rightarrow \left( P \right) \cap \left( S \right)\)
· Tìm tọa độ tâm : Lập d qua I ( 0;1;2) và vuông góc với (P) : \(\displaystyle {\rm{d}}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + t\\z = 2 + t\end{array} \right.\)
· Tâm H của ( C) là d cắt (P) , \(\displaystyle {\rm{d}}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + t\\z = 2 + t\\x + y + z - 4 = 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow 3t = 1 \to t = \frac{1}{3} \) \(\Leftrightarrow H = \left( {\frac{1}{3};\frac{4}{3};\frac{7}{3}} \right)\)
· Bán kính r của ( C) : \(\displaystyle {r^2} = {R^2} - {h^2}\left( {I,P} \right) = 3 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3} \Rightarrow r = \sqrt {\frac{8}{3}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\)
BÀI TOÁN 4: TÌM ĐIỂM TRÊN CẦU (S) THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – (S) CHỨA THAM SỐ
BÀI TOÁN : Cho mặt cầu (S) : F(x,y,z)=0 (1) hoặc F(x,y,z,m)=0 (2) . Mặt phẳng (P) hay đường thẳng d ( cho phương trình )
1) Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là nhỏ nhất , lớn nhất .
2) Tìm m để d cắt (S) : F(x,y,z,m) =0 tại hai điểm M,N sao cho MN=a ( hằng số )
3) Tìm quỹ tích tâm I của (S) ....
Phương pháp:
1) Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là nhỏ nhất , lớn nhất .
· Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (P)
· Bước 2: Tìm tọa độ H ,K là giao của d với (Q) . Sau đó tính IH và IK . H,K là các điểm cần tìm .
2) Tìm m để d cắt (S) : F(x,y,z,m) =0 tại hai điểm M,N sao cho MN=a ( hằng số )
· Bước 1: Chuyển d sang tham số . Lập hệ để tìm giao của d và (S) suy ra g(t,m)=0
· Bước 2: Lấy trên d một điểm H , tính IH theo công thức .(1)
· Bước 3: Sử dụng \(\displaystyle I{H^2} = {R^2} - {\left( {\frac{{MN}}{2}} \right)^2}\quad \left( 2 \right)\) . Từ (1) và (2) suy ra m cần tìm .
3) Tìm quỹ tích tâm I của (S) ....
* Sử dụng phương pháp tìm quỹ tích trong hàm số .
Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho (S) : \(\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} + 2{\rm{z}} - 2 = 0\) và mặt phẳng (P) : 2x-2y+z+6=0 . Tìm điểm A trên (S) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất , nhỏ nhất ?
Giải:
· Mặt cầu (S) : \(\displaystyle {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4 \Rightarrow I = \left( {1;0; - 1} \right),R = 2\) .
· Đường thẳng d qua I(1;0;-1) và vuông góc với (P) : \(\displaystyle d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2t\\z = 1 + t\end{array} \right.\)
· Đường thẳng d cắt (S) thông qua phương trình : \(\displaystyle {\left( {1 + 2t - 1} \right)^2} + {\left( { - 2t} \right)^2} + {\left( { - 1 + t - 1} \right)^2} = 4\) \( \Leftrightarrow 9{t^2} = 4\)
\(\displaystyle \Rightarrow t = \pm \frac{2}{3} \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{2}{3} \to A = \left( {\frac{7}{3}; - \frac{4}{3}; - \frac{1}{3}} \right) \Leftrightarrow h(A,P) = \frac{{13}}{3}\\t = - \frac{2}{3} \to A = \left( { - \frac{1}{3};\frac{4}{3}; - \frac{5}{3}} \right) \Leftrightarrow h(A,P) = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 2y - z + 1 = 0\\x + 2y - 2{\rm{z}} - 4 = 0\end{array} \right.\) và mặt cầu (S) : \(\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} + 4{\rm{x}} - 6y + m = 0\) . Tìm m để d cắt (S) tại hai điểm M,N sao cho MN=8 .
Giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(-2;3;0) và bán kính R= \(\displaystyle \sqrt {4 + 9 - m} = \sqrt {13 - m} > 0 \Leftrightarrow m < 13\quad \left( * \right)\)
Mặt khác ta có : \(\displaystyle I{H^2} = {R^2} - {r^2} = \left( {13 - m} \right) - {\left( {\frac{{MN}}{2}} \right)^2} \) \(= 13 - m - {\left( {\frac{8}{2}} \right)^2} = - m - 3 \) \(\Leftrightarrow IH = \sqrt { - m - 3} \) (1)
Lại có IH=h(I,d) . Ta có d qua M(0;1;-1) và có véc tơ chỉ phương là tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng : \(\displaystyle \overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 1}\\2&1\end{array}} \right|;\left\| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\1&{ - 2}\end{array}} \right\|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 2}\\{ - 2}&2\end{array}} \right|} \right) \) \(= \left( {6;3;6} \right)//\overrightarrow {u'} = \left( {2;1;2} \right);\overrightarrow {MI} = \left( { - 2;2;1} \right)\) .
Do đó : \(\displaystyle h\left( {I,P} \right) = \frac{{\left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {u'} } \right]}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}} \) \(= \frac{{\sqrt {9 + 36 + 36} }}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 3\) (2)
Từ (1) và (2) : \(\displaystyle \sqrt { - m - 3} = 3 \Leftrightarrow m = - 12\) . Vậy với m=-12 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 3:Trong không gian tọa độ Oxyz , cho họ :
\(\displaystyle \left( {{S_m}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4m{\rm{x}} - 2my - 6{\rm{z}} + {m^2} + 4m = 0\)
1) Tìm m để \(\displaystyle \left( {{S_m}} \right)\) là phương trình của một mặt cầu ?
2) Chứng minh rằng tâm I của \(\displaystyle \left( {{S_m}} \right)\) luôn nằm trên một đường thẳng cố định ( với các giá trị của m tìm được )
Giải:
1)Tìm m để \(\displaystyle \left( {{S_m}} \right)\) là phương trình của một mặt cầu ?
\(\displaystyle \left( {{S_m}} \right):{\left( {x - 2m} \right)^2} + {\left( {y - m} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4{m^2} - 4m + 9\) (*)
Để \(\displaystyle \left( {{S_m}} \right)\) là phương trình của mặt cầu thì : \(\displaystyle 4{m^2} + 4m + 9 > 0 \Rightarrow \Delta ' = 4 - 36 = - 32 < 0\) . Do đó với mọi m (*) luôn là phương trình của (S) .
2) Ta có tọa độ tâm I của \(\displaystyle \left( {{S_m}} \right)\) là : \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = 2m\\y = m\\z = 3\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\z = 3\end{array} \right.\) . Đây chính là giao của hai mặt phẳng. Do đó giao tuyến của chúng là một đường thẳng cố định (vì không phụ thuộc vào m).