BÀI TOÁN VẬN TỐC QUÃNG ĐƯỜNG

1. VẤN ĐỀ CỐT LÕI

- Giả sử một chuyển động phụ thuộc theo thời gian với quãng đường \(\displaystyle S = S(t)\) thì vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(\displaystyle t\) là \(\displaystyle v(t) = S'(t)\) và gia tốc \(\displaystyle a(t) = v'(t)\)

- Do đó, trong trường hợp biết gia tốc \(\displaystyle a(t)\), ta có thể tìm ngược được \(\displaystyle v(t) = \int {a(t)dt = f(t) + C} \)

- Khi đó, giả sử ta muốn tính quãng đường đi được từ thời điểm \(\displaystyle {t_1}\) đến thời điểm \(\displaystyle {t_2}\) thì \(\displaystyle \Delta S = S({t_2}) - S({t_1}) = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {v(t)dt} \)

- Vướng mắc thường gặp:

++ Xác định thời điểm ban đầu \(\displaystyle t = 0\): Mỗi chuyển động ta nên chọn một thời điểm ban đầu phù hợp cho mục đích tính toán. Thời điểm ban đầu thường chọn khi chuyển động bắt đầu một hành trình mới.

Ví dụ 1: Một vật đang chuyển động đều với vận tốc \(\displaystyle 30m/s\) thì chuyện động chậm dần đều với gia tốc \(\displaystyle - 70m/{s^2}\).

Thì ta chọn thời điểm ban đầu là lúc bắt đầu chuyển động chậm dần.

Ví dụ 2: Vật A chuyển động đều từ D với vận tốc \(\displaystyle 30m/s\) được \(\displaystyle 10s\) thì chuyển động chậm dần với gia tốc \(\displaystyle - 70m/{s^2}\). Sau khi vật A khởi hành được \(\displaystyle 8s\) thì vật B bắt đầu xuất phát cùng chiều từ nhanh dần đều với gia tốc \(\displaystyle 50m/{s^2}\). Hỏi sau bao lâu hai vật gặp nhau? Khi gặp nhau thì vật A đã dừng lại chưa?

Thì ta chọn thời điểm ban đầu cho A là lúc bắt đầu chuyển động chậm dần.

Thời điểm ban đầu cho B là lúc B khởi hành.

Hai thời điểm khởi đầu này chênh nhau \(\displaystyle 2s\).

++ Xác định \(\displaystyle C\) trong \(\displaystyle v(t)\): Thường dựa vào vận tốc tại thời điểm \(\displaystyle t = 0\) (khởi hành), ta có \(\displaystyle C = v(0) - f(0)\)

++ Các thời điểm đặc biệt: Dừng hẳn \(\displaystyle \Leftrightarrow v(t) = 0 \Leftrightarrow t = ...\) ; \(\displaystyle v(t) = \max v(t) \Leftrightarrow t = ...\) ,….

2. VÍ DỤ MINH HOẠ:

Ví dụ 1: Một vật đang chuyển động đều với vận tốc \(\displaystyle 30m/s\) thì chuyện động chậm dần đều với gia tốc \(\displaystyle - 70m/{s^2}\). Hỏi từ lúc giảm tốc đến khi dừng hẳn thì vật di chuyển được quãng đường bao xa?

Hướng dẫn: Gọi thời điểm ban đầu \(\displaystyle t = 0\) là khi vật bắt dầu chuyển động chậm dần, khi đó vật chuyển động với vận tốc \(\displaystyle v(t) = \int { - 70dt = - 70t + C} \).

Khi \(\displaystyle t = 0\) thì vận tốc đang ở \(\displaystyle 30m/s\) nên \(\displaystyle 30 = v(0) = - 70 \times 0 + C\) \(\displaystyle \Rightarrow C = 30\).

Vậy \(\displaystyle v(t) = - 70t + 30\)

Vật dừng hẳn khi \(\displaystyle v(t) = 0 \Leftrightarrow - 70t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{7}\).

Vậy quãng đường vật chuyển động được từ khi bắt đầu giảm tốc đến khi dừng hẳn là \(\displaystyle \Delta S = \int\limits_0^{\frac{3}{7}} {\left( { - 70t + 30} \right)dt = \frac{{45}}{7} = 6.43} \)(m).

Ví dụ 2: Vật A chuyển động đều từ D với vận tốc \(\displaystyle 30m/s\) được \(\displaystyle 10s\) thì chuyển động chậm dần với gia tốc \(\displaystyle - 10m/{s^2}\). Sau khi vật A khởi hành được \(\displaystyle 8s\) thì vật B bắt đầu xuất phát cùng chiều từ D nhanh dần đều với gia tốc \(\displaystyle 50m/{s^2}\). Hỏi sau bao lâu kể từ lúc B khởi hành hai vật gặp nhau? Khi gặp nhau thì vật A đã dừng lại chưa?

Hướng dẫn: Gọi \(\displaystyle t = 0\) là khi vật B khởi hành và hai vật gặp nhau sau \(\displaystyle {t_0} > 0\). Khi đó vật A chuyển động đều trong 2(s) và chậm dần đều trong \(\displaystyle \left( {{t_0} - 2} \right)\;(s)\) nếu \(\displaystyle {t_0} > 2\)

- Xét vật A:

Vật A chuyển động thành 2 chặng: chặng 1 là chuyển động đều với vận tốc \(\displaystyle 30m/s\) trong 10s, quãng đường chặng này là \(\displaystyle \int\limits_0^{10} {30dt} = 300(m)\). Chặng thứ 2 là chuyển động chậm dần đều với thời gian \(\displaystyle {t_0} - 2\) cho đến khi gặp B, quãng đường mà A di chuyển được ở chặng này là \(\displaystyle \int\limits_0^{{t_0} - 2} {\left( { - 10t + 30} \right)dt = - 5{{\left( {{t_0} - 2} \right)}^2} + 30\left( {{t_0} - 2)} \right)} \). Vậy tổng quãng đường mà vật A đi được từ D đến khi gặp nhau là \(\displaystyle - 5{\left( {{t_0} - 2} \right)^2} + 30\left( {{t_0} - 2)} \right) + 300\).

- Xét vật B: Vì vật B chuyển động nhanh dần với gia tốc \(\displaystyle 50m/{s^2}\) nên vận tốc của B là \(\displaystyle v(t) = 50t + C\). Vì lúc bắt đầu khởi hành B có vận tốc bằng 0 nên \(\displaystyle C = 0\). Vậy từ D đến khi gặp A, vật B đi được \(\displaystyle \int\limits_0^{{t_0}} {50tdt} = 25t_0^2\).

Hai vật gặp nhau khi quảng đường đi được như nhau:

Trường hợp 1: Gặp nhau khi \(\displaystyle {t_0} \le 2\), lúc này vât A vẫn đang chuyển động đều, tương đương với phương trình:

\(\displaystyle 25t_0^2 = 30 \times 8 + \int\limits_0^{{t_0}} {30dt} \Leftrightarrow 25t_0^2 - 30{t_0} - 240 = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_0} = 3.756 > 2\\{t_0} = - 2.556 < 0\end{array} \right.\). Cả 2 giá trị này không thoả mãn.

Trường hợp 2: Gặp nhau khi \(\displaystyle {t_0} > 2\), ta có phương trình

\(\displaystyle 25t_0^2 = - 5{({t_0} - 2)^2} + 30({t_0} - 2) + 300\) \(\displaystyle \Leftrightarrow x = 3.66666 = \frac{{11}}{3}\). Vậy hai vật thể gặp nhau sau 3.666 (s) kể từ khi vật B khởi hành.

- Vật A dừng lại khi \(\displaystyle v(t) = 0 \Leftrightarrow - 10t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3\)(s) kể từ khi bắt A bắt đầu chuyển động chậm dần đều, tương đương với 5(s) kể từ khi vật B chuyển động. Vậy khi hai vật gặp nhau, vật A vẫn chưa dừng lại do \(\displaystyle 5 > 3.6666\).

Ví dụ 3: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \(\displaystyle {v_1}(t) = 7t\;(m/s)\). Đi được 5(s) người lái xe gặp chướng ngại vật nên phải phanh gấp cho xe chạy chậm dần đều với gia tốc \(\displaystyle - 70\;(m/{s^2})\). Tính quãng đường đi được của o tô từ lúc chuyển bánh đến khi dừng hẳn.

Hướng dẫn:

Chiếc ô tô thực hiện hai chặng:

Chặng 1: Chuyển động nhanh dần đều với vận tốc \(\displaystyle {v_1}(t) = 7t\;(m/s)\) trong 5(s), do đó quãng đường chặng 1 của ô tô là \(\displaystyle {S_1} = \int\limits_0^5 {7tdt} = 87.5\) (m). Lúc này, ô tô đang đạt vận tốc \(\displaystyle {v_1}(5) = 7 \times 5 = 35\) (m/s).

Chặng 2: Ô tô chuyển động với gia tốc \(\displaystyle - 70\;(m/{s^2})\) nên phương trình vận tốc của xe là \(\displaystyle {v_2}(t) = \int { - 70dt = - 70t + C} \). Khi \(\displaystyle t = 0\) của chặng 2 thì xe có vận tốc \(\displaystyle {v_1}(5) = 35\) nên \(\displaystyle {v_2}(0) = 35 \Leftrightarrow C = 35\). Vậy \(\displaystyle {v_2}(t) = - 70t + 35\). Ô tô dừng hẳn khi \(\displaystyle {v_2}(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0.5\). Vậy quãng đường ô tô di chuyển trong chặng 2 là \(\displaystyle {S_2} = \int\limits_0^{0.5} {\left( { - 70t + 35} \right)dt} = \frac{{35}}{4} = 8.75\) (m)

Vậy tổng quãng đường ô tô đi được từ khi khởi hành đến khi dừng hẳn là

\(\displaystyle S = {S_1} + {S_2} = 87.5 + 8.75 = 96.25\) (m)

Ví dụ 4: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian \(\displaystyle v(t) = 3t + 2\) (m/s). Tại thời điểm \(\displaystyle t = 2\) (s) vật đã đi được quãng đường là \(\displaystyle 10\) (m). Hỏi tại thời điểm \(\displaystyle t = 30\) (s) thì vật đã đi được quãng đường bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Cách 1:

Quãng đường mà vật đã đi được tại thời điểm \(\displaystyle t = 30\) bằng tổng quãng đường vật đã đi được tài thời điểm \(\displaystyle t = 2\) với quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian \(\displaystyle t = 2\) đến \(\displaystyle t = 30\).

Mà quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian \(\displaystyle t = 2\) đến \(\displaystyle t = 30\) được tính bởi \(\displaystyle \int\limits_2^{30} {v(t)dt} = \int\limits_2^{30} {\left( {3t + 2} \right)dt = 1400} \) (m).

Vậy tại thời điểm \(\displaystyle t = 30\)(s) vật đã đi được quãng đường 10 + 1400 = 1410 (m).

Cách 2:

Phương trình quãng đường là \(\displaystyle S(t) = \int {v(t)dt = \int {(3t + 2)dt = \frac{3}{2}{t^2} + 2t + C} } \).

Do \(\displaystyle t = 2,S = 10 \Rightarrow C = 0\). Vậy \(\displaystyle v(t) = \frac{3}{2}{t^2} + 2t\) .

Tại thời điểm \(\displaystyle t = 30\) có \(\displaystyle S(30) = 1410\) (m)

Ví dụ 5: Một vật đang chuyển động với vận tốc \(\displaystyle 10\)(m/s) thì tăng tốc với gia tốc \(\displaystyle a(t) = {t^2} + t\) (\(\displaystyle m/{s^2}\)). Hỏi sau \(\displaystyle 10\)(s) kể từ thời điểm tăng tốc, vật đã di chuyển được quãng đường bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Ta có \(\displaystyle v(t) = \int {({t^2} + t)dt = \frac{{{t^3}}}{3} + \frac{{{t^2}}}{2} + C} \). Khi \(\displaystyle t = 0\) thì \(\displaystyle v = 10\) nên \(\displaystyle C = 10\). Vậy \(\displaystyle v(t) = \frac{1}{3}{t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 10\) .

Quãng đường đi được của vật thể sau 10 (s) từ khi tăng tốc là

\(\displaystyle S = \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{1}{3}{t^3} + \frac{1}{2}{t^2} + 10} \right)dt} = 1100\) (m)

Ví dụ 6: Một vật đang chuyển động với vận tốc \(\displaystyle 10\) (m/s) thì giảm tốc với gia tốc \(\displaystyle a(t) = 4 - t\;(m/{s^2})\). Tính quãng vật đi được thi khi thay đổi chuyển động đến khi vật tốc đạt giá trị lớn nhất?

Hướng dẫn:

Vận tốc của chuyển động là \(\displaystyle v(t) = \int {(4 - t)dt = 4t - \frac{{{t^2}}}{2} + C} \).

Do khi \(\displaystyle t = 0\) thì \(\displaystyle v = 10\) nên \(\displaystyle C = 10\). Vậy \(\displaystyle v(t) = 4t - \frac{{{t^2}}}{2} + 10\)

Khi vấn tốc đạt giá trị lớn nhất, \(\displaystyle v(t)\) max \(\displaystyle \Leftrightarrow t = 4\) .

Vậy quãng đường cần tính là: \(\displaystyle S = \int\limits_0^4 {\left( {4t - \frac{{{t^2}}}{2} + 10} \right)dt} = 61.333\) (m)