VÍ DỤ VỀ TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
Dạng 1: Số phức liên hệ giữa $z$ và $\overline{z}$
Tìm số phức $z$ thỏa mãn $z_1z+z_2\overline z=z_3$ với $z_1,z_2$ và $z_3$ là các số phức đã biết.
Cách giải:
Cách 1:
· Gọi $z=a+bi$ ($a,b\in\mathbb R$).
· Từ $z_1(a+bi)+z_2(a-bi)=z_3$ $\Leftrightarrow $ Hệ phương trình 2 ẩn $a,b$.
· Giải hệ phương trình được $a,b$.
Cách 2:
· Liên hợp 2 vế được $\overline{z_2}.z+\overline{z_1}.\overline{z}=\overline{z_3}$.
· Kết hợp với $z_1z+z_2\overline z=z_3$ và khử $\overline{z}$.
· Từ đó $z=\cfrac{\overline{z_1}.z_3-z_2.\overline{z_3}}{\left|z_1\right|^2 \left|z_2\right|^2}$ (*).
Để dễ nhớ, công thức (*), ta có thể xây dựng quy trình tìm $z$ trong $z_1z+z_2\overline z=z_3$ như sau:
· Thêm "trừ trên" $z_1$, "trừ dưới" $z_2$ ở vế trái được $\overline{z_1}.z-z_2\overline z$.
· Thay $z$ bởi $z_3$, được $\overline{z_1}.z_3-z_2\overline z_3$.
· Chia cho $\left|z_1\right|^2-\left|z_2\right|^2$.
Ví dụ 1.1: Tìm số phức $z$ thỏa mãn $(1-2i)z+(2+3i)\overline{z}=5+i$.
Hướng dẫn:
Cách 1:
Trong bài này $z_1=1-2i,z_2=2+3i$ và $z_3=5+i$.
- "trừ trên" $z_1$ "trừ dưới" $z_2$ được: $(1+2i)z-(2+3i)\overline{z}$.
- Thay $z$ bởi $z_3$ ta được $(1+2i)(5+i)-(2+3i)(5-i)=-10-2i$.
- Chia cho $\left|z_1\right|^2-\left|z_2\right|^2=-8$.
Vậy $z=\cfrac{10+2i}{8}=\cfrac{5}{4}+\cfrac{1}{4}i$.
Cách 2:
Gọi $z=a+bi$ ($a,b\in\mathbb R$), thay vào phương trình
$(1-2i)(a+bi)+(2+3i)(a-bi)=5+i$
$\Leftrightarrow (3a+5b)+(a-b)i=5+i$ $\Leftrightarrow \begin{cases}{3a+5b=5\\a-b=1}\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}{a=\cfrac{5}{4}\\ b=\cfrac{1}{4}}\end{cases}$. Vậy $z=\cfrac{5}{4}+\cfrac{1}{4}i$.
Ví dụ 1.2: Tìm số phức $z$ thỏa mãn $\cfrac{z+2-3i}{\overline{z}+i}=4+3i\; (1)$.
Hướng dẫn:
Phương trình $(1)\Leftrightarrow z+2-3i=(4+3i)\overline{z}-3+4i$
$\Leftrightarrow z+(-4-3i)\overline{z}=-5+7i$.
Áp dụng công thức (*), ta được
$z=\cfrac{(-5+7i)-(-4-3i)(-5-7i)}{1-25}=\cfrac{1}{6}+\cfrac{3}{2}i$.
Ví dụ 1.3: Số phức $z$ thỏa mãn $\cfrac{\left|z\right|^2}{z} + 2iz + \cfrac{2(z + i)}{1 - i} + 6 - 4i = 0$ có dạng $a+bi$ ($a,b\in\mathbb R$), khi đó tính $\cfrac{a}{b}$.
Hướng dẫn:
Do $\left|z\right|^2=z.\overline{z}$ nên giả thiết tương đương với
$\overline{z}+2iz+(1+i)z+5-3i=0$ $\Leftrightarrow (1+3i).z+\overline{z}=-5+3i$.
Áp dụng công thức (*), ta có $z=\cfrac{(1-3i)(-5+3i)-(-5-3i)}{10-1}=1+\cfrac{7}{3}i$.
Vậy $\cfrac{a}{b}=\cfrac{3}{7}$.
Dạng 2: Số phức thỏa mãn hệ thức chứa cả $\overline z$ và $\left|z\right|$
Tìm số phức $z$ thỏa mãn $f(z,\overline{z},\left|z\right|)=0\; (**)$
Cách giải:
· Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in\mathbb R$.
· Thay vào $(*)$, rút gọn, và cho phần thực và phần ảo bằng 0 ta được hệ phương trình 2 ẩn $a,b$.
· Giải hệ phương trình tìm được $a,b$ $\Leftrightarrow $ tìm được $z$.
Ví dụ 2.1: Tìm tất cả các số phức $z$, biết ${z^2} = {\left| z \right|^2} + \overline z \,\,\,(1)$.
Hướng dẫn:
$(1) \Leftrightarrow \left( {a + b{i}} \right)^2 = {a^2} + {b^2} + a - bi $
$\Leftrightarrow {a^2} + {b^2}{i^2} + 2abi = {a^2} + {b^2} + a - bi$
$ \Leftrightarrow 2{b^2} + a - bi - 2abi = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{b^2} + a = 0\\b + 2ab = 0\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - \cfrac{1}{2};\,b = \cfrac{1}{2}\\b = 0;a = 0\\a = \cfrac{{ - 1}}{2};b = \cfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z=0\\ z=-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}i\\ z=-\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}i\end{array} \right. $.
Ví dụ 2.2: Tìm số phức $z$ thỏa điều kiện $\cfrac{{z - 3i}}{{z + i}}$ là số thuần ảo và $\left|z\right|=\sqrt 5$.
Hướng dẫn:
Ta có $\cfrac{{z - 3i}}{{z + i}}$ là số thuần ảo $$ \Leftrightarrow \cfrac{z - 3i}{z + i}+\overline{\left(\cfrac{z - 3i}{z + i}\right)}=0 \Leftrightarrow \cfrac{z - 3i}{z + i}+\cfrac{\overline z + 3i}{\overline z - i}=0$$ $$ \Leftrightarrow z.\overline{z}+iz-i\overline{z}-3=0,\; (*)$$
Đặt $z=a+bi$ ($a,b\in\mathbb R$), $(*)\Rightarrow a^2+b^2-2b-3=0$
Mặt khác $a^2+b^2=5$. Vậy $b=1$ và $a=\pm 2$.
Vậy có 2 số phức thỏa mãn là $z=2+i$ và $z=-2+i$.
Ví dụ 2.3: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa hệ thức $\left| {z^2 + \overline z } \right| = 2$ và $\left| z \right| = 2$.
Hướng dẫn:
Gọi $z=a+bi$, ($a,b\in\mathbb R$) thì từ giả thiết ta có
$$ \begin{cases}(a^2-b^2+a)^2+(2ab-b)^2=4\\ a^2+b^2=4\end{cases}$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases}{b^2=4-a^2\\ (2a^2+a-4)^2+(4-a^2)(2a-1)^2=4}\end{cases} $$
$$ \Leftrightarrow \begin{cases}{b^2=4-a^2\\a^3-3a+2=0}\end{cases}$$
$$ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}{a=1;b=\pm\sqrt 3\\ a=-2;b=0}\end{array}\right. $$
Vậy có 3 số phức thỏa mãn đề bài.
Dạng 3: Số phức thỏa mãn hệ thức chứa $z$ và $u(\left|z\right|)$
Dạng tổng quát $F(z,u(\left|z\right|))=0$ với $u(\left|z\right|)$ là một hàm phức ẩn $\left|z\right|$.
Cách giải:
Cách 1:
· Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in\mathbb R$.
· Thay vào phương trình và đồng nhất phần thực, phần ảo bằng 0 được hệ phương trình 2 ẩn $a,b$.
Cách 2:
· Cô lập $z$ và $\overline{z}$ dạng $z=f(\left|z\right|)$.
· Lấy mô-đun 2 vế được phương trình ẩn $\left|z\right|$.
· Tìm được $\left|z\right|$ thay vào $F$ tìm được $z$.
Ví dụ 3.1: Cho số phức \(z\) khác 0 thỏa mãn \(z\sqrt {3z.\overline z + 1} = \left| z \right|\left( {2 + 6iz} \right)\).
Hướng dẫn:
Ta thấy trong phương trình chỉ có bậc nhất với \(z\), còn lại là \(\left| z \right|\) (chú ý là \(z.\overline z = {\left| z \right|^2}\)). Vậy đây là dạng toán đang tìm hiểu!.
Chuyển hết \(z\) sang một vế ta được:
\(z\left( {\sqrt {3{{\left| z \right|}^2} + 1} - 6\left| z \right|i} \right) = 2\left| z \right|\) (*).
Lấy mô đun 2 vế của (*) ta được:
\(\left| z \right|\sqrt {(3{{\left| z \right|}^2} + 1) + 36{{\left| z \right|}^2}} = 2\left| z \right|\)
\( \Leftrightarrow \) \(\sqrt {39{{\left| z \right|}^2} + 1} = 2\) (do \(z e 0\))
\( \Leftrightarrow \left| z \right| = \cfrac{1}{{\sqrt {13} }}\).
Ví dụ 3.2: Cho số phức \(z\) thỏa mãn \((2 + i)\left| z \right| = \cfrac{{\sqrt {10} }}{z} + 1 - 2i\). Tìm \(\left| z \right|\).
Hướng dẫn:
Điều kiện \(z e 0\), quy đồng ta được
\((2 + i)\left| z \right|z = \sqrt {10} + z - 2iz\)
\( \Leftrightarrow \left( {2\left| z \right| - 1 + \left( {\left| z \right| + 2} \right)i} \right)z = \sqrt {10} \)
\( \Rightarrow \sqrt {{{\left( {2\left| z \right| - 1} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| + 2} \right)}^2}} .\left| z \right| = \sqrt {10} \)
\( \Rightarrow 5{\left| z \right|^4} + 5{\left| z \right|^2} = 10\) \( \Rightarrow \left| z \right| = 1\) .
Ví dụ 3.3: Tìm \(\left| z \right|\) biết \((1 + i)z - \cfrac{1}{{\left| z \right|}} = i - 2\).
Hướng dẫn:
Quy đồng và dồn \(z\) về một vế ta được
\tab \((1 + i)\left| z \right|z = \left( {1 - 2\left| z \right|} \right) + \left| z \right|i\) .
Lấy mô đun 2 vế ta được
\(\sqrt 2 {\left| z \right|^2} = \sqrt {{{\left( {1 - 2\left| z \right|} \right)}^2} + {{\left| z \right|}^2}} \)
\( \Leftrightarrow 2{\left| z \right|^4} = 5{\left| z \right|^2} - 4\left| z \right| + 1\) (chú ý \(\left| z \right| > 0\) ).
Nhẩm thấy phương trình có nghiệm \(\left| z \right| = 1\), phương trình bậc 3 còn lại vô nghiệm với \(\left| z \right| > 0\).
Vậy $\left|z\right|=1$.