ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1. Tính diện tích hình phẳng
a) Hình phẳng giới hạn bởi (đầy đủ nhất):
\(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = f\left( x \right)}\\{y = g\left( x \right)}\\{x = a}\\{x = b}\end{array}} \right.\;\;or\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = f\left( y \right)}\\{x = g\left( y \right)}\\{y = a}\\{y = b}\end{array}} \right.\)
Thì diện tích tương ứng được tính bởi
\(\displaystyle S = \mathop \int \limits_a^b \left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx\;\;\;or\;\;S = \mathop \int \limits_a^b \left| {f\left( y \right) - g\left( y \right)} \right|dy\)
b) Hình phẳng giới hạn bởi
\(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = f\left( x \right)}\\{y = g\left( x \right)}\\{x = a}\end{array}} \right.\;\;or\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = f\left( y \right)}\\{x = g\left( y \right)}\\{y = a}\end{array}} \right.\)
Thì giải phương trình \(\displaystyle f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow x = b\). Tương tự đối với biến \(\displaystyle y\).
c) Hình phẳng giới hạn bởi
\(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = f\left( x \right)}\\{y = g\left( x \right)}\end{array}} \right.\;\;or\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = f\left( y \right)}\\{x = g\left( y \right)}\end{array}} \right.\)
Thì giải phương trình \(\displaystyle f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow x = b;x = b\). Tương tự đối với biến \(\displaystyle y\).
d) Hình phẳng giới hạn bởi (Khó nhất)
\(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = f\left( x \right)}\\{y = g\left( x \right)}\\{y = h\left( x \right)}\end{array}} \right.\;\;or\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = f\left( y \right)}\\{x = g\left( y \right)}\\{x = h\left( y \right)}\end{array}} \right.\)
Gải phương trình \(\displaystyle f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow x = a,\)\(\displaystyle g\left( x \right) = h\left( x \right) \Leftrightarrow x = b,\)\(\displaystyle \;h\left( x \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow x = c\).
Giả sử \(\displaystyle a < b < c\). Thì
\(\displaystyle S = \mathop \int \limits_a^b \left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx + \mathop \int \limits_b^c \left| {f\left( x \right) - h\left( x \right)} \right|dx\)
Cách ghi nhớ: Một tích phân là 2 hàm cho nghiệm nhỏ nhất, một tích phân là 2 hàm cho nghiệm lớn nhất.
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1) \(\displaystyle y = {x^2} - 4x - 6,\;y = 0,\;x = - 2,x = 4\)
\(\displaystyle S = \int\limits_{ - 2}^4 {\left| {{x^2} - 4x - 6} \right|dx} = ...\)
2) \(\displaystyle y = 4 - {x^2},y = {x^2} - 2x\)
Giải phương trình hoành độ giao điểm \(\displaystyle 4 - {x^2} = {x^2} - 2x\)\(\displaystyle \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 4 = 0\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\) .
Vậy \(\displaystyle S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2{x^2} - 2x - 4} \right|dx} \)
3) \(\displaystyle y = {x^2} - 4x + 5,y = - 2x + 4,y = 4x - 11\)
Giải 3 phương trình hoành độ giao điểm: \(\displaystyle {x^2} - 4x + 5 = - 2x + 4 \Leftrightarrow x = 3\); \(\displaystyle {x^2} - 4x + 5 = 4x - 11 \Leftrightarrow x = 4\); \(\displaystyle - 2x + 4 = 4x - 11 \Leftrightarrow x = \frac{{15}}{6}\) . Ta thấy \(\displaystyle x = \frac{{15}}{6}\) và \(\displaystyle x = 4\) là 2 nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất chung nhau hàm số \(\displaystyle y = 4x - 11\) nên:
\(\displaystyle S = \int\limits_{\frac{{15}}{6}}^3 {\left| {6x - 15} \right|dx + \int\limits_3^4 {\left| {{x^2} - 8x + 16} \right|dx = ...} } \)
2. Tính thể tích khối tròn xoay
a) Biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại x: \(\displaystyle S\left( x \right)\)
Và hai mặt phẳng \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a}\\{x = b}\end{array}} \right.\)
Thì \(\displaystyle V = \mathop \int \limits_a^b S\left( x \right)dx\)
b) Được tạo bởi hình phẳng \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = f\left( x \right)}\\{y = g\left( x \right)}\\{x = a}\\{x = b}\end{array}} \right.\)
- quanh Ox. \(\displaystyle V = \left| {\pi \mathop \int \limits_a^b {f^2}\left( x \right)dx - \pi \mathop \int \limits_a^b {g^2}\left( x \right)dx} \right|\)
c) Được tạo bởi hình phẳng \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = f\left( y \right)}\\{x = g\left( y \right)}\\{y = a}\\{y = b}\end{array}} \right.\)
- quanh Oy. \(\displaystyle V = \left| {\pi \mathop \int \limits_a^b {f^2}\left( y \right)dy - \pi \mathop \int \limits_a^b {g^2}\left( y \right)dy} \right|\)
Ví dụ 1: Tính thể tích hình phẳng sau quay quanh Ox
1) \(\displaystyle y = \sin x,\;y = 0,\;x = 0,x = \pi /4\). \(\displaystyle V = \pi \int\limits_0^{\pi /4} {{{\sin }^2}xdx} \)
2) \(\displaystyle y = {x^2},y = \sqrt x \). Giải phương trình hoành độ giao điểm \(\displaystyle {x^2} = \sqrt x \Leftrightarrow x = 0;1\). Vậy: \(\displaystyle V = \left| {\pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} \right)dx} } \right|\)
Ví dụ 2: Tính thể tích khối vật thể biết
1) Giới hạn bởi 2 mặt phẳng \(\displaystyle x = 0;x = \pi \) và thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox là đường tròn bán kính \(\displaystyle \sqrt {\sin x} \).
Thiết diện là đường tròn bán kính \(\displaystyle \sqrt {\sin x} \) nên diện tích thiết diện là \(\displaystyle S(x) = \pi \sin x\). Vậy thể tích vật thể là \(\displaystyle V = \int\limits_0^\pi {\pi \sin xdx} \)
2) Giới hạn bởi 2 mặt phẳng \(\displaystyle x = 0;x = 4\) và thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox là hình vuông có cạnh là \(\displaystyle x.{e^x}\).
Thiết diện là hình vuông có cạnh \(\displaystyle x.{e^x}\) nên diện tích thiết diện là \(\displaystyle S(x) = {x^2}{e^{2x}}\) . Vậy thể tích khối vật thể là \(\displaystyle V = \int\limits_0^4 {{x^2}{e^{2x}}dx} \)