HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT

HÀM SỐ MŨ

1. Khái niệm hàm số mũ

Cho \(0 < a \ne 1\). Hàm số dạng \(y = {a^x}\) được gọi là hàm số mũ cơ số a.

1. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ

Hàm số mũ liên tục tại mọi điểm mà hàm số xác định, nghĩa là: \(\forall {x_0} \in \mathbb{R},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {a^x} = {a^{{x_0}}}\).

Từ giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^t} = e\), bằng cách đặt \(\frac{1}{t} = x\), ta được: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e\).

Định lí: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1 \to \mathop {\lim }\limits_{u(x) \to 0} \frac{{{e^{u(x)}} - 1}}{{u(x)}} = 1\)

1. Đạo hàm của hàm số mũ

Cho \(0 < a \ne 1\) và J là một khoảng hay hợp của nhiều khoảng nào đó.

+ Hàm số \(y = {a^x}\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \({\left( {{a^x}} \right)^/} = {a^x}.\ln a\) .

Đặc biệt: \({\left( {{e^x}} \right)^/} = {e^x}\)

+ Nếu \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm trên J thì hàm số \(y = {a^{u\left( x \right)}}\) có đạo hàm trên J và \({\left( {{a^{u(x)}}} \right)^/} = u'(x).{a^{u(x)}}.\ln a\)

Đặc biệt: \({\left( {{e^{u(x)}}} \right)^/} = u'(x).{e^{u(x)}}\)

1. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ \(y = {a^x}\)

+ TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}.\)

+ Tập giá trị: \(\left( {0; + \infty } \right)\) (vì \({a^x} > 0,\forall x\))

+ Đạo hàm: \(y' = {\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}.\ln a\)

+ Giới hạn và tiệm cận:

+ Bảng biến thiên:

Với \(a > 1\):

Với \(0 < a < 1\):

+ Đồ thị hàm số luôn cắt trục tung tại điểm \({\rm{M}}\left( {0;1} \right)\) (vì \({a^0} = 1\)) và nằm ở phía trên trục hoành (vì \({a^x} > 0\) với mọi \(x\))

Nhận xét: Đồ thị các hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x},{\rm{ }}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) thì đối xứng với nhau qua trục tung.

HÀM SỐ LOGARIT

1. Khái niệm hàm số logarit

Cho \(0 < a \ne 1\). Hàm số dạng \(y = {\log _a}x\) được gọi là hàm số logarit cơ số a.

1. Một số giới hạn liên quan đến hàm số logarit

Hàm số logarit liên tục tại mọi điểm mà hàm số xác định, nghĩa là: \(\forall {x_0} \in (0: + \infty ),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\log _a}x = {\log _a}{x_0}\)

Định lí: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x)}}{x} = 1 \to \mathop {\lim }\limits_{u(x) \to 0} \frac{{\ln (1 + u(x))}}{{u(x)}} = 1\)

1. Đạo hàm của hàm số logarit

Cho \(0 < a \ne 1\) và J là một khoảng hay hợp của nhiều khoảng nào đó.

+ Hàm số \(y = {\log _a}x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in (0; + \infty )\) và \({\left( {{{\log }_a}x} \right)^/} = \frac{1}{{x.\ln a}}\) .

Đặc biệt: \({\left( {\ln x} \right)^/} = \frac{1}{x}\)

+ Nếu \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm trên J thì hàm số \(y = {\log _a}u(x)\) có đạo hàm trên J và \({\left( {{{\log }_a}u(x)} \right)^/} = \frac{{u'(x)}}{{u(x).\ln a}}\)

Đặc biệt: \({\left( {\ln u(x)} \right)^/} = \frac{{u'(x)}}{{u(x)}}\)

1. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số logarit \(y = {\log _a}x\)

+ TXĐ: \({\rm{D}} = (0; + \infty )\)

+ Tập giá trị: \(\mathbb{R}\)

+ Đạo hàm: \(y' = \frac{1}{{x.\ln a}}\)

+ Giới hạn và tiệm cận:

+ Bảng biến thiên:

Với \(a > 1\):

Với \(0 < a < 1\):

+ Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm \({\rm{M}}\left( {1;0} \right)\)(vì \({\log _a}1 = 0\)) và nằm ở bên phải trục tung (vì \(x > 0\))

Nhận xét: Đồ thị các hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _{\frac{1}{a}}}x,{\rm{ }}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) thì đối xứng với nhau qua trục hoành.

Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {a^x}\) thì đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ I (tức đường thẳng \(y = x\))

C. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ

Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = \sqrt[3]{{x + \sqrt x }}\)\( \Rightarrow y' = \frac{{1 + \frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {x + \sqrt x } \right)}^2}}}}}\)\( = \frac{{2\sqrt x + 1}}{{6\sqrt x .\sqrt[3]{{{{\left( {x + \sqrt x } \right)}^2}}}}}\) .

Lưu ý: Ở đây ta đã áp dụng công thức đạo hàm cho hàm số căn bậc n là \({\left( {\sqrt[n]{u}} \right)^/} = \frac{{u'}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}}}}}\) .

b) \(y = \sqrt {{e^x}} + {e^{3x + 1}} - {5^{\sqrt x }}\)\( \Rightarrow y = {e^{\frac{x}{2}}} + {e^{3x + 1}} - {5^{\sqrt x }}\) .

Vậy \(y' = \frac{1}{2}{e^{\frac{x}{2}}} + 3{e^{3x + 1}} - {5^{\sqrt x }}.\ln 5.\frac{1}{{2\sqrt x }}\)

c) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x}\)\( \Rightarrow y' = (2x - 2){e^x} + ({x^2} - 2x + 2){e^x} = {x^2}{e^x}\)

d) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\)\( \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\)

e) \(y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\)\( \Rightarrow y' = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}\)

f) \(y = {\log _2}\left( {\frac{{x - 4}}{{x + 4}}} \right)\)\( \Rightarrow y' = \frac{{{{\left( {\frac{{x - 4}}{{x + 4}}} \right)}^/}}}{{\left( {\frac{{x - 4}}{{x + 4}}} \right).\ln 2}}\)\( = \frac{8}{{(x - 4)(x + 4).\ln 2}}\)

Cách 2: \(y = {\log _2}(x - 4) - {\log _2}(x + 4)\;\;(x > 4)\)\( \Rightarrow y' = \frac{1}{{(x - 4).\ln 2}} - \frac{1}{{(x + 4).\ln 2}} = \frac{8}{{(x - 4)(x + 4).\ln 2}}\)

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số

a) \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{{x - 1}}{{x + 5}}} \).

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{x + 5}} > 0\\{\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{x - 1}}{{x + 5}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in ( - \infty ; - 5) \cup (1; + \infty )\\\frac{{x - 1}}{{x + 5}} < 1\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in ( - \infty ; - 5) \cup (1; + \infty )\\ \frac{{ - 6}}{{x + 5}} < 0 \Leftrightarrow x > - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\) .

Vậy tập xác định của hàm số là \((1; + \infty )\)

b) \(y = \lg \left( { - {x^2} + 3x + 4} \right) + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - x - 6} }}\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 3x + 4 > 0\\{x^2} - x - 6 > 0\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in ( - 1;4)\\x \in ( - \infty ; - 2) \cup (3; + \infty )\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \in ( - 1; - 2) \cup (3;4)\)

c) \(y = {({x^2} - 2x)^{\frac{1}{3}}}\)

Vì \(\frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}\) nên \({x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty ;0) \cup (2; + \infty )\)

d) \(y = \sqrt[3]{{{x^2} - 2x}}\)

Vì hàm số là hàm căn bậc 3 nên tập xác định là \(\mathbb{R}\) .

e) \(y = {({x^2} - 2x)^{ - 3}}\)

Vì \( - 3 \in {\mathbb{Z}^ - }\) nên \({x^2} - 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0;2\) . Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R} \setminus \{ 0;2\} \)

Ví dụ 3:

a) Tìm GTNN của hàm số \(y = {2^{x - 1}} + {2^{3 - x}}\)

Cách 1: Theo BĐT Cô-si có \({2^{x - 1}} + {2^{3 - x}} \ge 2\sqrt {{2^{x - 1}}{{.2}^{3 - x}}} = 4\) . Đẳng thức đạt được khi \({2^{x - 1}} = {2^{3 - x}} \Leftrightarrow x - 1 = 3 - x \Leftrightarrow x = 2\) . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(4\) khi \(x = 2\).

Cách 2: \(y' = {2^{x - 1}}\ln 2 - {2^{3 - x}}\ln 2\) . \(y' = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 3 - x \Leftrightarrow x = 2\) . Lập bảng biến thiên được giá trị nhỏ nhất của hàm số là\(4\) khi \(x = 2\).

Cách 3: Đặt \(t = {2^x} \Rightarrow t > 0\) . Khi đó \(y = \frac{t}{2} + \frac{8}{t},\;\;(t > 0)\) . Khảo sát hàm \(f(t)\) trên \((0; + \infty )\) được đáp số như trên.

b) Tìm cực trị của hàm số \(y = {e^{ - {x^2} + 2x}}\)

Ta có \(y' = {e^{ - {x^2} + 2x}}.( - 2x + 2)\) . Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\) . Và dễ thấy \(y'\) đổi dấu từ \( + \) sang \( - \) qua \(x = 1\) tính từ trái qua phải nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), giá trị cực đại là \(y_{\text{CĐ}}=e\)

c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\ln x}}{x}\) trên đoạn \([1;{e^2}]\)

Có \(y' = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}} = 0 \Leftarrow x = e \in (1;{e^2})\) . Tính các giá trị: \(f(1) = 0\), \(f(e) = \frac{1}{e}\), \(f({e^2}) = \frac{2}{{{e^2}}}\)

Vậy \(\displaystyle \min\limits_{[1;e^2]}y=0\) và \(\displaystyle \max\limits_{[1;e^2]}y=\frac{1}{e}\)

Ví dụ 4: So sánh \(a,b,c\) từ các đồ thị các hàm số trong hình sau: