Phương trình mặt cầu

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:

- Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) mặt cầu tâm \(\displaystyle I = (a;b;c)\) bán kính \(\displaystyle R\) có phương trình là: \(\displaystyle {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) hoặc \(\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + {a^2} + {b^2} + {c^2} = {R^2}.\)

- Ngược lại, phương trình \(\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2Ax - 2By - 2Cz + D = 0\) với \(\displaystyle {A^2} + {B^2} + {C^2} - D > 0\) là phương trình của mặt cầu tâm \(\displaystyle I = (A;B;C)\) và có bán kính \(\displaystyle R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)

2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

VÍ DỤ MINH HOẠ

Ví dụ 1: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\) phương trình mặt cầu tâm \(\displaystyle I(5; - 3;7)\) và có bán kính \(\displaystyle R = 2\) là

1. \(\displaystyle {(x + 5)^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 7)^2} = 4\) .. B. \(\displaystyle {(x - 5)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 7)^2} = 2\) .
2. \(\displaystyle {(x + 5)^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 7)^2} = 2\) .. D. \(\displaystyle {(x - 5)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 7)^2} = 4\) .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\) phương trình mặt cầu đi qua điểm \(\displaystyle M(5; - 2;1)\) và có tâm \(\displaystyle I(3; - 3;1)\) là

1. \(\displaystyle {(x - 3)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 1)^2} = 5\) .. B. \(\displaystyle {(x - 3)^2} + {(y + 3)^2} + {(z - 1)^2} = \sqrt 5 \) .
2. \(\displaystyle {(x + 3)^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 1)^2} = \sqrt 5 \) .. D. \(\displaystyle {(x + 3)^2} + {(y - 3)^2} + {(z + 1)^2} = 5\) .

Hướng dẫn giải

Ta có \(\displaystyle \overrightarrow {IM} = (2;1;0).\) Do đó \(\displaystyle R = \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 5 .\)

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\) phương trình mặt cầu đường kính \(\displaystyle AB\) với\(\displaystyle A(4; - 3;7),B(2;1;3)\) là

1. \(\displaystyle {(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 5)^2} = 3\) .. B. \(\displaystyle {(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 5)^2} = 9\) .
2. \(\displaystyle {(x + 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 5)^2} = 9\) .. D. \(\displaystyle {(x + 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 5)^2} = 3\) .

Hướng dẫn giải

Tâm của mặt cầu là trung điểm \(\displaystyle I\) của đoạn \(\displaystyle AB\) , \(\displaystyle I(3; - 1;5)\)

\(\displaystyle \overrightarrow {AB} = ( - 2;4; - 4) \Rightarrow AB = 6 \Rightarrow R = 3\)

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\) cho phương trình mặt cầu \(\displaystyle 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x - 3y + 15z - 2 = 0\) . Tâm và bán kính của mặt cầu đó là

A. Tâm \(\displaystyle I\left( { - 1; - \frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\) và bán kính \(\displaystyle R = \frac{{7\sqrt 6 }}{6}\) .

B. Tâm \(\displaystyle I\left( {1;\frac{1}{2}; - \frac{5}{2}} \right)\) và bán kính \(\displaystyle R = \frac{{49}}{6}\) .

C. Tâm \(\displaystyle I\left( {1;\frac{1}{2}; - \frac{5}{2}} \right)\) và bán kính \(\displaystyle R = \frac{{7\sqrt 6 }}{6}\) .

D. Tâm \(\displaystyle I\left( { - 1; - \frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right)\) và bán kính \(\displaystyle R = \frac{{49}}{6}\) .

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt cầu đã cho có thể viết dưới dạng:

\(\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - y + 5z - \frac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{49}}{6}.\)

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) , cho bốn điểm \(\displaystyle A\left( {1;0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;1;0} \right),{\rm{ }}C\left( {0;0;1} \right),{\rm{ }}D\left( {1;1;1} \right)\) . Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(\displaystyle ABCD\) có bán kính là

1. \(\displaystyle \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) . B. \(\displaystyle \sqrt 2 \) . C. \(\displaystyle \sqrt 3 \) . D. \(\displaystyle \frac{3}{4}\) .

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt cầu dưới dạng khai triển: \(\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)

Mặt cầu qua \(\displaystyle A,B,C,D\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + d = - 1\\ - 2b + d = - 1\\ - 2c + d = - 1\\ - 2a - 2b - 2c + d = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\\d = 0\end{array} \right.\)

Bán kính \(\displaystyle R = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho \(\displaystyle \left( S \right)\) là mặt cầu tâm \(\displaystyle I\left( {2;1; - 1} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\displaystyle \left( \alpha \right)\) có phương trình: \(\displaystyle 2x - 2y - z + 3 = 0\). Bán kính của mặt cầu \(\displaystyle \left( S \right)\) là

1. \(\displaystyle 2\) . B. \(\displaystyle \frac{2}{3}\) . C. \(\displaystyle \frac{4}{3}\) . D. \(\displaystyle \frac{2}{9}\)

Hướng dẫn giải

Bán kính bằng \(\displaystyle d(I,(\alpha )) = 2\)

Chọn A.

Ví dụ 7: Cho bốn điểm \(\displaystyle A\left( {1;1;1} \right),{\rm{ }}B\left( {1;2;1} \right),{\rm{ }}C\left( {1;1;2} \right),{\rm{ }}D\left( {2;2;1} \right)\) . Tâm \(\displaystyle I\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(\displaystyle ABCD\) có tọa độ là

1. \(\displaystyle \left( {\frac{3}{2}; - \frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\) . B. \(\displaystyle \left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\) . C. \(\displaystyle \left( {3;3;3} \right)\) . D. \(\displaystyle \left( {3; - 3;3} \right)\)

Hướng dẫn giải

Dùng dạng khai triển của phương trình mặt cầu

Giải hệ phương trình tìm tâm \(\displaystyle \left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\)

Chọn B.

Ví dụ 8: Bán kính của mặt cầu tâm \(\displaystyle I\left( {3;3; - 4} \right)\) tiếp xúc với trục \(\displaystyle Oy\) bằng

1. \(\displaystyle 5\) . B. \(\displaystyle 4\) . C. \(\displaystyle \sqrt 5 \) . D. \(\displaystyle \frac{5}{2}\).

Hướng dẫn giải

Hình chiếu vuông góc của \(\displaystyle I\) lên \(\displaystyle Oy\) là \(\displaystyle H(0;3;0)\)

Bán kính bằng \(\displaystyle IH = 5\)

Chọn A. \(\displaystyle \)

Ví dụ 9: Mặt cầu tâm \(\displaystyle I\left( {2;1; - 1} \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình là:

1. \(\displaystyle {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\) . B. \(\displaystyle {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 1\) .
2. \(\displaystyle {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\) . D. \(\displaystyle {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2\) .

Hướng dẫn giải

Bán kính mặt cầu \(\displaystyle d(I,(Oyz)) = 2\)

Chọn A.

Ví dụ 10: Cho mặt cầu tâm \(\displaystyle I\left( {4;2; - 2} \right)\) , bán kính \(\displaystyle r\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\displaystyle \left( P \right):12x - 5z - 19 = 0\) . Bán kính \(\displaystyle r\) bằng

1. \(\displaystyle 39\) . B. \(\displaystyle 3\) . C. \(\displaystyle 13\) . D. \(\displaystyle \frac{{39}}{{\sqrt {13} }}\) .

Hướng dẫn giải

\(\displaystyle r = d(I,(P)) = 3\)

Chọn B

Ví dụ 11: Trong không gian với hệ toạ độ \(\displaystyle Oxyz\) , với giá trị nào của m thì phương trình \(\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 2\left( {m - 1} \right)y + 4z + 5m = 0\) là phương trình mặt cầu ?

1. \(\displaystyle m \le 1 \vee m \ge \frac{5}{2}\) .. B. \(\displaystyle 1 \le m \le \frac{5}{2}\) .. C. \(\displaystyle m \ge 3\) .. D. \(\displaystyle m < 1 \vee m > \frac{5}{2}\) .

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi \(\displaystyle {\left( { - m} \right)^2} + {\left( {m - 1} \right)^2} + {2^2} - 5m > 0 \Leftrightarrow 2{m^2} - 7m + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > \frac{5}{2}\end{array} \right..\)

Chọn đáp án D.