Phương trình - Bất phương trình Logarit

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số dưới dấu lôgarit.

Chú ý: Khi giải phương trình lôgarit nhớ đặt điều kiện xác định.

Ví dụ: .\({\log _{f\left( x \right)}}g\left( x \right){\rm{ }} \to \text{điều kiện}:{\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}0 < f\left( x \right) \ne 1\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right..\).

DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN

1. Phương pháp

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Phương trình \({\log _3}\left( {3x - 2} \right) = 3\) có nghiệm là

Lời giải:

Điều kiện: \(x > \frac{2}{3}.\)

Ta có: \({\log _3}\left( {3x - 2} \right) = 3 \Leftrightarrow 3x - 2 = {3^3} \Leftrightarrow x = \frac{{29}}{3}{\rm{ }}\left( {tm} \right) \Rightarrow …\)

Câu 2: Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {x - 2} \right) + 1 = 0\) là

Lời giải:

Điều kiện: \(x > 2.\)

Ta có: \({\log _3}\left( {x - 2} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x - 2} \right) = - 1 \Leftrightarrow x - 2 = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \frac{7}{3}{\rm{ }}\left( {tm} \right).\)

Phương trình đã cho có một nghiệm

Câu 3: Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) = 1\) là

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _4}x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1.\)

Ta có: \({\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) = 1 \Leftrightarrow {\log _4}x = 2 \Leftrightarrow x = {4^2} = 16\)

Câu 4: Tập nghiệm của phương trình \({\log _{\sqrt 3 }}\left| {x + 1} \right| = 2\) là

Lời giải:

Điều kiện: \(\left| {x + 1} \right| > 0 \Leftrightarrow x \ne - 1.\)

Ta có: \({\log _{\sqrt 3 }}\left| {x + 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 3\\x + 1 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2{\rm{ }}\left( {tm} \right)\\x = - 4{\rm{ }}\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow S = \left\{ { - 4;2} \right\}.\)

Câu 5: Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({\log _3}x\left( {x + 2} \right) = 1\) với \({x_1} < {x_2}\). Khi đó \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \(x_1+3x_2)\) bằng?

Lời giải:

Điều kiện: \(x\left( {x + 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - 2\end{array} \right..\)

Ta có: \({\log _3}x\left( {x + 2} \right) = 1 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = 1{\rm{ }}\left( {tm} \right)\\{x_1} = - 3{\rm{ }}\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + 3{x_2} = 0 \Rightarrow …\)

Câu 6: Nghiệm của phương trình \({\log _x}\left( {x + 2} \right) = 2\) là

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\x > 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x > 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)

Ta có: \({\log _x}\left( {x + 2} \right) = 2 \Leftrightarrow x + 2 = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow ...\). Chú ý loại nghiệm theo điều kiện.

Câu 7: Phương trình \({\log _x}\left( {2{x^2} - 5x + 4} \right) = 2\) có nghiệm là

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 5x + 4 > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\\x > 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)

Ta có: \({\log _x}\left( {2{x^2} - 5x + 4} \right) = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 4 = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4{\rm{ (tm)}}\\x = 1{\rm{ (l)}}\end{array} \right. \Rightarrow ...\)

Câu 8: Nghiệm của phương trình \({\log _{x - 3}}\left( {x - 1} \right) = 2\) là

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x - 3 > 0\\x - 3 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x > 3\\x \ne 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x \ne 4\end{array} \right..\)

Ta có: \({\log _{x - 3}}\left( {x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5{\rm{ }}\left( {tm} \right)\\x = 2{\rm{ }}\left( l \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) …

Câu 9: Phương trình \({\log _{{x^2}}}\left( {3 - 2x} \right) = 1\) có nghiệm là

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3 - 2x > 0\\{x^2} > 0\\{x^2} \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \frac{3}{2}\\x \ne 0\\x \ne \pm 1\end{array} \right..\)

Ta có: \({\log _{{x^2}}}\left( {3 - 2x} \right) = 1 \Leftrightarrow 3 - 2x = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1{\rm{ }}\left( l \right)\\x = - 3{\rm{ }}\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \)…

Câu 10: Phương trình \({\log _{{x^2} + 3x}}\left( {x + 3} \right) = 1\) có nghiệm là

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\\{x^2} + 3x > 0\\{x^2} + 3x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 3\\\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - 3\end{array} \right.\\x \ne \frac{{ - 3 \pm \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right..\)

Ta có: \({\log _{{x^2} + 3x}}\left( {x + 3} \right) = 1 \Leftrightarrow x + 3 = {x^2} + 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1{\rm{ }}\left( {tm} \right)\\x = - 3{\rm{ }}\left( l \right)\end{array} \right. \Rightarrow ...\)

Câu 11: Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({\log _{x + 3}}\left( {{x^2} - x} \right) = 1\). Khi đó tích \({x_1}.{x_2}\) bằng

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x > 0\\x + 3 > 0\\x + 3 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < 0\end{array} \right.\\x > - 3\\x \ne - 2\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\ - 3 < x < 0\\x \ne - 2\end{array} \right..\)

Ta có: \({\log _{x + 3}}\left( {{x^2} - x} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x = x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Rightarrow {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 3.\)

\( \Rightarrow \)

Câu 12: Nghiệm của phương trình \({\log _{x + 1}}\left( {2{x^3} + 2{x^2} - 3x + 1} \right) = 3\) là

Lời giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^3} + 2{x^2} - 3x + 1 > 0\\x + 1 > 0\\x + 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^3} + 2{x^2} - 3x + 1 > 0\\x > - 1\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x \ne 0\end{array} \right..\)

Ta có: \({\log _{x + 1}}\left( {2{x^3} + 2{x^2} - 3x + 1} \right) = 3 \Leftrightarrow 2{x^3} + 2{x^2} - 3x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^3}\)

DẠNG 2: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

3. Phương pháp

4. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} + x + 4} \right) = {\log _2}\left( {3x + 7} \right)\) có nghiệm là

Hướng dẫn: Phương trình tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 7 > 0\\{x^2} + x + 4 = 3x + 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{7}{3}\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Câu 2: Phương trình \({\log _2}x + {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 1\) có tập nghiệm là

Hướng dẫn: Phương trình tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} + x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Câu 3: Số nghiệm của phương trình \(\lg \left( {x - 3} \right) + \lg \left( {x - 2} \right) = 1 - \lg 5\) là

Hướng dẫn: PT tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\{x^2} - 5x + 6 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\)

Câu 4: Điều kiện xác định của phương trình \(\lg \left( {x - 3} \right) - \lg \left( {9 - x} \right) = \lg \left( {x - 2} \right)\) là

Hướng dẫn: PT tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x > 2\\x < 9\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < x < 9\)

Câu 5: Số nghiệm của phương trình \(2{\log _8}\left( {2x} \right) + {\log _8}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = \frac{4}{3}\) là

Hướng dẫn: Điều kiện: \(0 < x \ne 1\). PT tương đương \(\frac{2}{3}{\log _2}2x + \frac{2}{3}{\log _2}\left| {x - 1} \right| = \frac{4}{3}\)\( \Leftrightarrow 2x\left| {x - 1} \right| = 4 \Leftrightarrow x\left| {x - 1} \right| = 2\)

Với \(x > 1\): PT \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\) . Kết hợp điều kiện được \(x = 2\) là nghiệm.

Với \(0 < x < 1\): PT \( \Leftrightarrow {x^2} - x + 2 = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset \). Vậy phương trình có 1 nghiệm.

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

1. Phương pháp

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Số nghiệm của phương trình \(\log _5^2\left( {5x} \right) - {\log _{25}}\left( {5x} \right) - 3 = 0\) là

Hướng dẫn: Đặt \({\log _5}(5x) = t\) ta có phương trình \({t^2} - \frac{1}{2}t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\) , tương ứng với \(x = 5;x = {5^{ - \frac{5}{2}}}\) . Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Câu 2: Số nghiệm của phương trình \({\ln ^3}x--3{\ln ^2}x--4\ln x + 12 = 0\) là

Hướng dẫn: Đặt \(\ln x = t\) ta có phương trình \({t^3} - 3{t^2} - 4t + 12 = 0\). Phương trình này có 3 nghiệm phân biệt ẩn \(t\) nên cũng có 3 nghiệm phân biệt ẩn \(x\).

Câu 3: Phương trình \({\log ^2}x - \log {x^3} + 2 = 0\) có nghiệm là

Hướng dẫn: đây là phương trình bậc 3 ẩn \(t = \log x\)

Câu 4: Phương trình \({\log _x}2 - {\log _{16}}x = 0\) có tích các nghiệm bằng

Hướng dẫn: Đặt \(t = {\log _2}x\) , ta có phương trình \(\frac{1}{t} - \frac{1}{4}t = 0 \Leftrightarrow t = \pm 2 \Leftrightarrow x = 4;\frac{1}{4}\)

Câu 5: Tập nghiệm của phương trình \(\log _{\sqrt 2 }^2x - 4{\log _2}x = 0\) là

Hướng dẫn: Đặt \(t = {\log _2}x\) ta có phương trình \(4{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

DẠNG 3: BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Câu 1: Số nghiệm của phương trình \({\log _2}x.{\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2{\log _2}x\) là

Hướng dẫn: PT tương đương \({\log _2}x\left[ {{{\log }_3}(2x - 1) - 2} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 0\\{\log _3}(2x - 1) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\)

Câu 2: Nghiệm của phương trình \({\log ^2}x - \log x.{\log _2}\left( {4x} \right) + 2{\log _2}x = 0\) là

Hướng dẫn: PT tương đương với \({\log ^2}x - \log x\left( {2 + {{\log }_2}x} \right) + 2{\log _2}x = 0\)

\( \Leftrightarrow \log x(\log x - 2) - {\log _2}x(\log x - 2) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log x = 2\\\log x = {\log _2}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 100\\\log x = \frac{{\log x}}{{\log 2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 100\\\log x = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array} \right.\)

DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Phương pháp

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Phương trình \({\log _2}x = - x + 6\) có tập nghiệm là

Hướng dẫn: Vế trái là hàm đồng biến, vế phải nghịch biến nên phương trình có không quá 1 nghiệm.

Câu 2: Phương trình \({\log _3}\left( {x + 1} \right) + {\log _5}\left( {2x + 1} \right) = 2\) có

Hướng dẫn: Vế trái là hàm đồng biến còn vế phải là hằng số nên phương trình có không quá 1 nghiệm. Nhẩm được \(x = 2\) là nghiệm của phương trình.

Câu 3: Phương trình \({\log _5}x = {\log _7}\left( {x + 2} \right)\) có nghiệm là

Hướng dẫn: Đặt \({\log _5}x = {\log _7}\left( {x + 2} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {5^t}\\x + 2 = {7^t}\end{array} \right. \Rightarrow {5^t} + 2 = {7^t}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{7}} \right)^t} + 2.{\left( {\frac{1}{7}} \right)^t} = 1\) . Vế trái là hàm nghịch biến nên phương trình có không quá 1 nghiệm. Nhẩm thấy \(t = 1\) là nghiệm duy nhất. Khi đó \(x = 5\) .

Câu 4: Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\frac{{{x^2} + x + 1}}{{2{x^2} - 2x + 3}} = {x^2} - 3x + 2\) là

Hướng dẫn: Với điều kiện xácđịnh, phương trình tương đương với \({\log _3}({x^2} + x + 1) - {\log _3}(2{x^2} - 2x + 3) = {x^2} - 3x + 2\)\( \Leftrightarrow {\log _3}({x^2} + x + 1) + ({x^2} + x + 1) = {\log _3}(2{x^2} - 2x + 3) + (2{x^2} - 2x + 3)\)\( \Leftrightarrow f({x^2} + x + 1) = f(2{x^2} - 2x + 3)\) với \(f(t) = {\log _3}t + t\) . Do \(f(t)\) đồng biến nên phương trình tương đương \({x^2} + x + 1 = 2{x^2} - 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\).

BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Bất phương trình lôgarit cơ bản là bất phương trình có một trong các dạng: \(\left\langle \begin{array}{l}{\log _a}x > m\\{\log _a}x < m\\{\log _a}x \ge m\\{\log _a}x \le m\end{array} \right..\)

DẠNG 1: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT DẠNG CƠ BẢN

1. Phương pháp

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tập các số x thỏa mãn \({\log _{0,4}}\left( {x - 4} \right) + 1 \ge 0\) là

Hướng dẫn: BPT tương đương \({\log _{0,4}}(x - 4) \ge - 1 \Leftrightarrow 0 < x - 4 \le {\left( {0.4} \right)^{ - 1}}\) (do \(0,4 < 1\)) \( \Leftrightarrow 4 < x \le \frac{{13}}{2}\) .

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {2{x^2} - x + 1} \right) < 0\) là

Hướng dẫn: Do \(\frac{2}{3} < 1\) nên bất phương trình tương đương \(2{x^2} - x + 1 > 1 \Leftrightarrow x \in ( - \infty ;0) \cup (\frac{1}{2}; + \infty )\)

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{3x - 1}}{{x + 2}} < 1\) là

Hướng dẫn: Do \(\frac{1}{3} < 1\) nên bất phương trình tương đương với \(\frac{{3x - 1}}{{x + 2}} > \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{8x - 5}}{{3(x + 2)}} > 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {\frac{5}{8}; + \infty } \right)\)

Câu 4: Nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{2^x} - 3} \right) < 0\) là

Hướng dẫn: Do \(\frac{1}{2} < 1\) nên bất phương trình tương đương với \({2^x} - 3 > 1 \Leftrightarrow x > 2\)

Câu 5: Nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {{{\log }_2}\left( {2 - {x^2}} \right)} \right] > 0\) là

Hướng dẫn: Do \(\frac{1}{2} < 1\) nên bất phương trình tương đương \(0 < {\log _2}(2 - {x^2}) < 1\)\( \Leftrightarrow 1 < 2 - {x^2} \Leftrightarrow 0 < {x^2} < 1\)

DẠNG 2: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

1. Phương pháp

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}x > {\log _2}\left( {2x + 1} \right)\) là

Hướng dẫn: Bất phương trình tương đương \(x > 2x + 1 > 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 1 > 0\\x > 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - \frac{1}{2}\\x < - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \in \emptyset \) .

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{0,2}}\left( {x + 1} \right) > {\log _{0,2}}\left( {3 - x} \right)\) là

Hướng dẫn: Bất phương trình tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 < 3 - x\\x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x > - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \in ( - 1;1)\)

Câu 3: Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {3x - 5} \right) > {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {x + 1} \right)\) là

Hướng dẫn: Bất phương trình tường \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5 < x + 1\\3x - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x > \frac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{5}{3} < x < 3\) . Vậy bất phương trình chỉ có 1 nghiệm nguyên là \(x = 2\) .

Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _3}x < {\log _{\sqrt 3 }}\left( {12 - x} \right)\;\) là

Hướng dẫn: Điều kiện \(0 < x < 12\) . Bất phương trình tương đương \({\log _3}x < 2{\log _3}(12 - x)\)\( \Leftrightarrow x < {(12 - x)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 25x + 144 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 16\\x < 9\end{array} \right.\). Kết hợp điều kiện được \(0 < x < 9\).

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình \({\lg _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) \le {\lg _2}\left( {2 - x} \right)\) là

Hướng dẫn: Điều kiện \( - 1 < x < 2\). Bất phương trình tương đương \( - {\log _2}(x + 1) \le {\log _2}(2 - x)\)\( \Leftrightarrow {\log _2}(x + 1)(2 - x) \ge 0 \Leftrightarrow - {x^2} + x + 2 \ge 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right]\)

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình \(\log _{\sqrt 2 }^2\left( {2x} \right) - 2{\log _2}\left( {4{x^2}} \right) - 8 \le 0\) là

Hướng dẫn: Phương trình tương đương \(4\log _2^2(2x) - 4{\log _2}(2x) - 8 \le 0\) (vì \(x > 0\)). Đặt \(t = {\log _2}(2x)\), ta có \({t^2} - t - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 < {\log _2}(2x) < 2\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} < x < 2\).

Câu 2: Bất phương trình \(4{\log _{25}}x + {\log _x}5 \ge 3\) có tập nghiệm là

Hướng dẫn: Điều kiện \(0 < x \ne 1\). Bất phương trình tương đương \(2{\log _5}x + \frac{1}{{{{\log }_5}x}} \ge 3\)\( \Leftrightarrow 2t + \frac{1}{t} \ge 3 \Leftrightarrow \frac{{2{t^2} - 3t + 1}}{t} \ge 0\)\( \Leftrightarrow t \in (0;\frac{1}{2}] \cup [1; + \infty )\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < {\log _5}x \le \frac{1}{2}\\{\log _5}x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x \le \sqrt 5 \\x \ge 5\end{array} \right.\)

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _4}\left( {{3^x} - 1} \right){\log _{\frac{1}{4}}}\frac{{{3^x} - 1}}{{16}} \le \frac{3}{4}\) là

Hướng dẫn: BPT tương đương \( - {\log _4}\left( {{3^x} - 1} \right)\left( {{{\log }_4}\left( {{3^x} - 1} \right) - 2} \right) \le \frac{3}{4}\)\( \Leftrightarrow - {t^2} + 2t - \frac{3}{4} \le 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge \frac{3}{2}\\t \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _4}\left( {{3^x} - 1} \right) \ge \frac{3}{2}\\{\log _4}\left( {{3^x} - 1} \right) \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} - 1 \ge 8\\0 < {3^x} - 1 \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\0 < x \le 1\end{array} \right.\)

Lưu ý: Để chắc chắn, các em nên đặt điều kiện xác định của bất phương trình trước khi biến đổi để tránh nhầm lẫn thay vì vừa biến đổi vừa kết hợp.

Câu 4: Bất phương trình \(2{\log _9}\left( {{9^x} + 9} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {28 - {{2.3}^x}} \right) \ge x\) có tập nghiệm là

Hướng dẫn: Điều kiện \(28 - {2.3^x} > 0 \Leftrightarrow {3^x} < 14 \Leftrightarrow x < {\log _3}14\). Bất phương trình tương đương \({\log _3}({9^x} + 9) - {\log _3}(28 - {2.3^x}) \ge x\)\( \Leftrightarrow {9^x} + 9 \ge {3^x}\left( {28 - {{2.3}^x}} \right) \Leftrightarrow 3{t^2} - 28t + 9 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 9\\t \le \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} \ge 9\\{3^x} \le \frac{1}{3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 1\end{array} \right.\). Kết hợp điều kiện được \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2;{{\log }_3}14} \right)\).\(\)

Câu 5: Bất phương trình \({\log ^2}x - m\log x + m + 3 \le 0\) có nghiệm \(x > 1\) khi giá trị của m là

Hướng dẫn: Đăt \(t = \log x\), \(x > 1 \Leftrightarrow t > 0\). Bất phương trình có nghiệm \(x > 1\) khi và chỉ khi \({t^2} - mt + m + 3 \le 0\) có nghiệm dương. Ta có \(\Delta = {m^2} - 4m - 12\).

- Nếu \(\Delta < 0\): bất phương trình vô nghiệm.

- Nếu \(\Delta = 0\): Ta có bất phương trình tương đương \(\left[ \begin{array}{l}t = \frac{m}{2} = \frac{6}{2} = 3,\;\;(m = 6)\\t = \frac{m}{2} = \frac{{ - 2}}{2} = - 1\;(m = - 2)\end{array} \right.\) . Vậy\(m = 6\) thoả mãn.

- Nếu \(\Delta > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < - 2\end{array} \right.\). Khi đó tập nghiệm của bất phương trình là \({t_1} \le t \le {t_2}\). Bất phương trình không có nghiệm dương khi \({t_1} < {t_2} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m + 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le m < 0\). Kết hợp với điều kiện được \( - 3 \le m < - 2\) . Do đó, bất phương trình có nghiệm dương khi \(\left[ \begin{array}{l}m < - 3\\m > 6\end{array} \right.\) .

Vậy, tất cả các giá trị của \(m\) thoả mãn là \(\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)

DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Ví dụ: Bất phương trình \(x + {\log _2}x > 1\) có nghiệm là

Hướng dẫn: Ta thấy hàm số \(f(x) = x + {\log _2}x\) đồng biến trên \((0; + \infty )\) và \(f(1) = 1\) nên bất phương trình tương đương \(f(x) < f(1) \Leftrightarrow x < 1\) .

DẠNG 5: MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH KHÁC

Câu 1: Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\left( {x - 3} \right).\left( {1 + \log x} \right) < 0\) là

Hướng dẫn: Đặt \(f(x) = (x - 3)\left( {1 + \log x} \right)\). Phương trình \(f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \frac{1}{{10}}\end{array} \right.\) . Lập bảng xét dấu

Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là các số nguyên trowng \(\frac{1}{{10}}\) đến 3, có cả thảy 3 nghiệm nguyên.

Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{{\sqrt {x - 5} }}{{{{\log }_{\sqrt 2 }}\left( {x - 4} \right) - 1}} \ge 0\) là

Hướng dẫn: Điều kiện tử thức có nghĩa \(x \ge 5\). Giải nghiệm của mẫu \({\log _{\sqrt 2 }}(x - 4) = 1 \Leftrightarrow x = 4 + \sqrt 2 \). Lập bảng xét dấu như trên được \(S = \left( {4 + \sqrt 2 ; + \infty } \right)\).

Câu 3: Bất phương trình \({\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right) + {\log _3}\left( {{4^x} + 2} \right) \le 2\)có tập nghiệm

Hướng dẫn: Vế trái là hàm đồng biến và có \(f(0) = 2\). Vậy bất phương trình tương đương \(x \le 0\).

Câu 4: Giải bất phương trình \(\ln (x + 1) < x\).

Hướng dẫn: Xét \(f(x) = \ln (1 + x) - x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{{x + 1}} - 1 = \frac{{ - x}}{{x + 1}}\). Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy \(f(x) < 0 \Leftrightarrow x \ne 0\) . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R} \setminus {\rm{\{ 0\} }}\) .