Các phép toán vector trong tọa độ không gian

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN

1. ĐỊNH NGHĨA TOẠ ĐỘ VECTOR, TOẠ ĐỘ ĐIỂM

2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉCTƠ:

Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\) cho hai véctơ \(\displaystyle \vec a = ({a_1};{a_2};{a_3}),\vec b = ({b_1};{b_2};{b_3})\) và một số thực\(\displaystyle k.\) Khi đó ta có:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\vec a + \vec b = ({a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2};{a_3} + {b_3})\\\vec a - \vec b = ({a_1} - {b_1};{a_2} - {b_2};{a_3} - {b_3})\\k\vec a = (k{a_1};k{a_2};k{a_3})\end{array}\)

Chú ý.

1. \(\displaystyle \vec a = \vec b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {b_1}\\{a_2} = {b_2}\\{a_3} = {b_3}\end{array} \right..\)

2. \(\displaystyle \vec 0 = (0;0;0).\)

3. \(\displaystyle \vec a\) và \(\displaystyle \vec b\;( e \vec 0)\) cùng phương \(\displaystyle \Leftrightarrow \) có một số thực \(\displaystyle k\) sao cho

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = k{b_1}\\{a_2} = k{b_2}\\{a_3} = k{b_3}\end{array} \right.\) hay \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{b_1} = k{a_1}\\{b_2} = k{a_2}\\{b_3} = k{a_3}\end{array} \right.\)

4. Nếu \(\displaystyle A = ({a_1};{a_2};{a_3}),B = ({b_1};{b_2};{b_3})\) thì \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3}).\)

3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG:

1. Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho hai véctơ \(\displaystyle \vec a = ({a_1};{a_2};{a_3}),\vec b = ({b_1};{b_2};{b_3}).\)

Ta có \(\displaystyle \vec a.\vec b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}.\)

2. Độ dài của một véctơ: Cho véctơ \(\displaystyle \vec a = ({a_1};{a_2};{a_3}),\) ta có \(\displaystyle \left| {\vec a} \right| = \sqrt {\vec a.\vec a} = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} .\)

3. Khoảng cách giữa hai điểm \(\displaystyle A = ({x_A};{y_A};{z_A})\) và \(\displaystyle B = ({x_B};{y_B};{z_B})\) là

\(\displaystyle \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2} + {{({z_B} - {z_A})}^2}} .\)

4. Gọi \(\displaystyle \varphi \) là góc giữa hai véctơ \(\displaystyle \vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và\(\displaystyle \vec b = ({b_1};{b_2};{b_3}).\)

Ta có: \(\displaystyle \cos \varphi = \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}} = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} }}\) và \(\displaystyle \vec a \bot \vec b \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3} = 0.\)

4. CÁC TÍNH TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TOẠ ĐỘ ĐIỂM:

- Xét tam giác \(\displaystyle ABC\) ta có các điểm đặc biệt sau:

- M là trung điểm của AB \(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_M} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)

- \(\displaystyle G\) là trọng tâm của\(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\)

- \(\displaystyle H\) là trực tâm của\(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \\\left[ {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {AB} } \right].\overrightarrow {AC} {\rm{ = 0 }}\end{array} \right.\)

- \(\displaystyle A'\) là chân đường cao hạ từ đỉnh\(\displaystyle A\) của \(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {BA'} = k\overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)

- \(\displaystyle D\) là chân đường phân giác trong của góc \(\displaystyle A\) của \(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} = - \frac{{AB}}{{AC}}.\overrightarrow {DC} \)

- \(\displaystyle E\) là chân đường phân giác ngoài của góc\(\displaystyle A\) của \(\displaystyle \Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {EB} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {EC} \)

- Xét tứ diện \(\displaystyle ABCD\) ta có các điểm đặc biệt sau:

- \(\displaystyle G\) là trọng tâm tứ diện \(\displaystyle ABCD \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\end{array} \right.\)

- \(\displaystyle H\) là hình chiếu vuông góc của\(\displaystyle A\) trên \(\displaystyle \left( {BCD} \right)\)

- \(\displaystyle ABCD\) là hình bình hành \(\displaystyle \Leftrightarrow D = A + C - B\)

CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho \(\displaystyle \overrightarrow a = - 6\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \). Tìm tọa độ của \(\displaystyle \overrightarrow a \) ?

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa \(\displaystyle \overrightarrow a = - 6\overrightarrow i + 8\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \) nên tọa độ của \(\displaystyle \overrightarrow a = \left( { - 6;8;4} \right)\)

Ví dụ 2: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho véctơ \(\displaystyle \vec a = \left( {5;7;2} \right)\). Tìm tọa độ của véctơ đối của véctơ \(\displaystyle \overrightarrow a \) ?

Hướng dẫn giải

Véctơ \(\displaystyle \vec a = \left( {5;7;2} \right)\)có véctơ đối là \(\displaystyle - \overrightarrow a = - \left( {5;7;2} \right) = \left( { - 5; - 7; - 2} \right)\) .

Ví dụ 3: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho hai điểm \(\displaystyle A\left( {5;7;2} \right),B\left( {3;0;4} \right)\). Tìm tọa độ của véctơ \(\displaystyle \overrightarrow {AB} \) ?

Hướng dẫn giải

Tọa độ véctơ \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( {3 - 5;0 - 7;4 - 2} \right) = \left( { - 2; - 7;2} \right)\)

Ví dụ 4: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho ba véctơ \(\displaystyle \vec a = \left( {5;7;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;0;4} \right),\overrightarrow c = \left( { - 6;1; - 1} \right)\). Tìm tọa độ của véctơ: \(\displaystyle \overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c \) ?

Hướng dẫn giải

Ta có \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3\overrightarrow a = 3\left( {5;7;2} \right) = \left( {15;21;6} \right)\\ - 2\overrightarrow b = - 2\left( {3;0;4} \right) = \left( { - 6;0; - 8} \right)\\\overrightarrow c = \left( { - 6;1; - 1} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(\displaystyle \overrightarrow m = 3\overrightarrow a - 2\overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( {15 - 6 - 6;21 + 0 + 1;6 - 8 - 1} \right) = \left( {3;22; - 3} \right)\).

Ví dụ 5: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho tam giác \(\displaystyle ABC\) với\(\displaystyle A\left( {1;0; - 2} \right),B\left( {2;1; - 1} \right),C\left( {1; - 2;2} \right).\) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức xác định tọa độ trọng tâm tam giác ta có tọa độ trọng tâm \(\displaystyle G\) cần tìm là

\(\displaystyle G\left( {\frac{{1 + 2 + 1}}{3};\frac{{0 + 1 - 2}}{3};\frac{{ - 2 - 1 + 2}}{3}} \right) = \left( {\frac{4}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\) ,

Ví dụ 6: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho tam giác \(\displaystyle ABC\) với\(\displaystyle A\left( {1;0; - 2} \right),B\left( {2;1; - 1} \right),C\left( {1; - 2;2} \right).\)Xác định tọa độ điểm \(\displaystyle D\) đề \(\displaystyle ABCD\)là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Để \(\displaystyle ABCD\) là hình bình hành thì \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)

Ta có\(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right)\), gọi \(\displaystyle D\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {1 - x; - 2 - y;2 - z} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 1 - x\\1 = - 2 - y\\1 = 2 - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 3\\z = 1\end{array} \right.\)

Ví dụ 7: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\) cho 2 véctơ \(\displaystyle \overrightarrow a = \left( {5;7;2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;3; - 4} \right)\). Tính tích vô hướng của \(\displaystyle \overrightarrow a \) và \(\displaystyle \overrightarrow b \)?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tích vô hướng của hai véctơ ta có \(\displaystyle \overrightarrow a .\overrightarrow b = 5.1 + 7.3 + 2.\left( { - 4} \right) = 5 + 21 - 8 = 18\)

Ví dụ 8: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\)cho ba điểm \(\displaystyle A\left( { - 1; - 2;3} \right),B\left( {0;3;1} \right),C\left( {4;2;2} \right)\) Tính \(\displaystyle \cos \widehat {BAC}\) ?

Hướng dẫn giải

Ta có \(\displaystyle \overrightarrow {AB} = \left( {1;5; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {5;4; - 1} \right)\)

\(\displaystyle \cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = ... = \frac{9}{{2\sqrt {35} }}\) .

Ví dụ 9: Trong không gian \(\displaystyle Oxyz\)cho tam giác \(\displaystyle ABC\) với\(\displaystyle A\left( { - 1; - 2;3} \right),B\left( {0;3;1} \right),C\left( {4;2;2} \right)\). Có \(\displaystyle M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(\displaystyle AB,AC\). Tính độ dại đường trung bình \(\displaystyle MN\)?

Hướng dẫn giải

Ta có tọa độ \(\displaystyle M\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2};2} \right)\)\(\displaystyle ,N\left( {\frac{3}{2};0;\frac{5}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {2; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

Vậy độ dại đường trung bình \(\displaystyle MN = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{9}{{}}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

5. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR VÀ ỨNG DỤNG

CÁC VÍ DỤ:

VD1. Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\)cho tam giác ABC có \(\displaystyle A\left( {{\rm{1 }};{\rm{ 0 }};{\rm{ 1}}} \right){\rm{ }};{\rm{ }}B\left( {{\rm{2 }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ - }}1} \right){\rm{ }}\);\(\displaystyle C\left( {{\rm{0 }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 3}}} \right)\). Tính diện tích của tam giác \(\displaystyle ABC\)?

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {{\rm A}B} = (1;0; - 2),\;\overrightarrow {{\rm A}C} = ( - 1;1;2) \Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}} = (2;0;1)\)

\(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{1}{2}\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}}} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{2^2} + {0^2} + {1^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

VD2. Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\)cho tứ diện \(\displaystyle ABCD\)có \(\displaystyle A\left( {{\rm{1 }};{\rm{ 0 }};{\rm{ 1}}} \right){\rm{ }};{\rm{ }}B\left( {{\rm{2 }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ - }}1} \right){\rm{ }}\);\(\displaystyle C\left( {{\rm{0 }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 3}}} \right)\);\(\displaystyle D\left( {0{\rm{ }};{\rm{ 2 }};{\rm{ 5}}} \right)\). Tính thể tích tứ diện \(\displaystyle ABCD\)?

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {{\rm A}B} = (1;0; - 2),\;\overrightarrow {{\rm A}C} = ( - 1;1;2),\;\overrightarrow {{\rm A}D} = ( - 1;2;4) \Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}} = (2;0;1)\)

\(\displaystyle {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}|{\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {{\rm A}D} | = \frac{1}{6}|2.( - 1) + 0.2 + 1.4| = \frac{1}{3}\)

VD3. Trong không gian \(\displaystyle Oxyz,\)cho tứ diện \(\displaystyle ABCD\)có \(\displaystyle A\left( {{\rm{1 }};{\rm{ 0 }};{\rm{ 1}}} \right){\rm{ }};{\rm{ }}B\left( {{\rm{2 }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ - }}1} \right){\rm{ }}\);\(\displaystyle C\left( {{\rm{0 }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 3}}} \right)\);\(\displaystyle D\left( {0{\rm{ }};{\rm{ 2 }};{\rm{ 5}}} \right)\). Tính khoảng cách từ D đến (ABC)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {{\rm A}B} = (1;0; - 2),\;\overrightarrow {{\rm A}C} = ( - 1;1;2),\;\overrightarrow {{\rm A}D} = ( - 1;2;4) \Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}} = (2;0;1)\)

\(\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{1}{2}|{\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}}| = \frac{1}{2}\sqrt {{2^2} + {0^2} + {1^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

\(\displaystyle {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}|{\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {{\rm A}C} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {{\rm A}D} | = \frac{1}{6}|2.( - 1) + 0.2 + 1.4| = \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle \Rightarrow d(D,(ABC)) = \frac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{3.\frac{1}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

VD4. Cho bốn điểm \(\displaystyle A\left( {{\rm{1 }};{\rm{ 0 }};{\rm{ 1}}} \right){\rm{ }};{\rm{ }}B\left( {{\rm{2 }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ - }}1} \right){\rm{ }}\);\(\displaystyle C\left( {{\rm{0 }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 3}}} \right)\);\(\displaystyle D\left( {0{\rm{ }};{\rm{ 2 }};{\rm{ 5}}} \right)\). Tính khoảng cách 2 đường chéo nhau AB, CD?

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\displaystyle \overrightarrow {{\rm A}B} = (1;0; - 2),\;\overrightarrow {{\rm A}C} = ( - 1;1;2),\;\overrightarrow {CD} = (0;1;2) \Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {{\rm A}B} ,\overrightarrow {CD} {\rm{]}} = (2; - 2;1)\)

\(\displaystyle d(AB,CD) = \frac{{\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {CD} {\rm{]}}{\rm{.}}\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {{\rm{[}}\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {CD} {\rm{]}}} \right|}} = \frac{{|2.( - 1) + ( - 2).1 + 1.2|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\)