GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:
- \(iz\; + \;2\;-\;i\; = \;0\) b) \(\left( {2\; + \;3i} \right)z\; = \;z\;-\;1\) c) \((2 - i)\bar z - 4 = 0\) d) \((iz - 1)(z + 3i)(\bar z - 2 + 3i) = 0\) e) \({z^2}\; + \;4\; = \;0\).
Giải:
a) \(z = \frac{{i - 2}}{i} = 1 + 2i\) b) \(z = \frac{{ - 1}}{{1 + 3i}} = - \frac{1}{{10}} + \frac{3}{{10}}i\) c) \(\bar z\) =\(\frac{4}{{2 - i}} = \frac{8}{5} + \frac{4}{5}i \Rightarrow {z = }\frac{8}{5} - \frac{4}{5}i\) d) \(z\; = \; - i,\;z\; = \; - 3i,\;z\; = \;2\; + \;3i\)
e) \(z\; = \; \pm 2i\).
Ví dụ 2: Giải phương trình: \({z^2} - (3i + 8)z + 11i + 13 = 0\)
Giải:\(\Delta = {(3i + 8)^2} - 4(11i + 13) = 4i + 3\)
Giả sử \(m + ni\;(m;\;n \in \) R\()\) là căn bậc hai của \(\Delta \)
Ta có: \({(m + ni)^2} = 5 + 12i\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 3 + 4i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 3 + 4i\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3\\2mn = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 3(1)\ = \frac{2}{m}(2)\end{array} \right.\)
Thay (2) vào (1) ta có: \({m^2} - {\left( {\frac{2}{m}} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow {m^4} - 3{m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 4\\{m^2} = - 1{\rm{(loai)}}\end{array} \right.\)
\(\left[ \begin{array}{l}m = 2 \Rightarrow n = 1\\m = - 2 \Rightarrow n = - 1\end{array} \right.\)
Vậy \(\Delta \) có hai căn bậc hai là \(2 + i\) và \( - 2 - i\)
Do đó nghiệm của phương trình là \(\left[ \begin{array}{l}z = \frac{{3i + 8 + i + 2}}{2} = 2i + 5\\z = \frac{{3i + 8 - i - 2}}{2} = i + 3\end{array} \right.\)
Ví dụ 3: Giải phương trình: \({z^2} + 4z + 7 = 0\)
Giải: \(\Delta’ = {2^2} - 7 = - 3 = 3{i^2}\)\( \Rightarrow \) các căn bậc hai của \(\Delta '\) là \( \pm i\sqrt 3 \)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(z = - 2 + \sqrt 3 i,\,\,\,z = - 2 - \sqrt 3 i\)
Ví dụ 4: giải phương trình: \({z^3} + 4{z^2} + (4 + i)z + 3 + 3i = 0\,\,(1)\)
Giải: Dễ thấy \(z = - i\) là nghiệm của (1) nên \((1) \Leftrightarrow \,(z + i)({z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + i = 0\\{z^2} + (4 - i)z + 3 - 3i = 0\,(2)\end{array} \right.\)
Giải (2)
\(\Delta = {(4 - i)^2} - 12 + 12i = 16 - 1 - 8i - 12 + 12i = 3 + 4i = 4 + 2.2.i + {i^2} = {(2 + i)^2}\)
Vậy \(\Delta \) có hai căn bậc hai là: \(2 + i\) và \( - 2 - i\)
Do đó nghiệm của (2) là \(\left[ \begin{array}{l}z = \frac{{ - 4 + i + 2 + i}}{2} = - 1 + i\\z = \frac{{ - 4 + i - 2 - i - 2}}{2} = - 3\end{array} \right.\)
Vậy (1) có 3 nghiệm là \(-i,\; - 3,\; - 1 + i\).
Ví dụ 5:
a) Tìm các số thực \(b,\;c\) để phương trình (với ẩn\(\;z\)) : \({z^2}\; + \;bz\; + \;c\; = \;0\) nhận \(z\; = \;1\; + \;i\) làm một nghiệm.
b) Tìm các số thực \(a,\;b,\;c\) để phương trình (với ẩn\(\;z\)) : \({z^3}\; + \;a{z^2}\; + \;bz\; + \;c\; = \;0\) nhận\(z\; = \;1 + \;i\) làm nghiệm và cũng nhận \(z\; = \;2\) làm nghiệm.
Giải:
a) Với \(z\; = \;1\; + \;i\) là nghiệm thì: \({\left( {1\; + \;i} \right)^2}\; + \;b\left( {1\; + \;i} \right)\; + \;c\; = \;0\)\( \Leftrightarrow \) \(b\; + \;c\; + \;\left( {2\; + \;b} \right)i\; = \;0\)
\( \Leftrightarrow \) \(b\; + \;c\; = \;0\) và \(2\; + \;b\; = \;0\), suy ra : \(b\; = \; - 2,\;c\; = \;2\)
b) Với \(1\; + \;i\) là nghiệm ta được : \({\left( {1\; + \;i} \right)^3}\; + \;a{\left( {1\; + \;i} \right)^2}\; + \;b\left( {1\; + \;i} \right)\; + \;c\; = \;0\;\)\( \Leftrightarrow \) \(\left( {b\; + \;c\;-\;2} \right)\; + \;\left( {2\; + \;2a\; + \;b} \right)i\; = \;0\)\( \Leftrightarrow \) \(b\; + \;c\;-\;2\; = \;0\) (1) và \(2a\; + \;b\; + \;2\; = \;0\) (2).
Với 2 là nghiệm ta được : \(8\; + \;4a\; + \;2b\; + \;c\; = \;0\;\;\;\)(3). Từ (2) và (3) cho \(c\; = \; - 4\), (1) \( \Rightarrow \)\(\;b\; = \;6\)
(2) \( \Rightarrow \)\(a\; = \; - 4\).
Vậy \(a\; = \;c\; = \; - 4,\;b\; = \;6\).
Ví dụ 6: Gọi \({z_1}\) và \({z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình: \(2\left( {1 + i} \right){z^2} - 4\left( {2 - i} \right)z - 5 - 3i = 0\).
Tính \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\).
Giải: Ta có \(\Delta ' = 4{\left( {2 - i} \right)^2} + 2\left( {1 + i} \right)\left( {5 + 3i} \right) = 16\). Vậy phương trình có hai nghiệm phức
\({z_1} = \frac{3}{2} - \frac{5}{2}i,\,\,\,{z_2} = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\). Do đó \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 9\).
Ví dụ 7: Gọi \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\)là bốn nghiệm của phương trình \({z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0\)trên tập
số phức tính tổng: \(S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}}\).
Giải: PT: \({z^4} - {z^3} - 2{z^2} + 6z - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {z + 2} \right)\left( {{z^2} - 2z + 2} \right) = 0\)(1)
Không mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của(1)là \(\left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1\\{z_2} = - 2\\{z_3} = 1 + i\\{z_4} = 1 - i\end{array} \right.\)
Thay và biểu thức ta có: \(S = \frac{1}{{z_1^2}} + \frac{1}{{z_2^2}} + \frac{1}{{z_3^2}} + \frac{1}{{z_4^2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{{\left( {1 - i} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}}} = \frac{5}{4}\)
Ví dụ 8 : Giải phương trình sau trên tập số phức C: \({z^4} - {z^3} + \frac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0\)(1)
Giải: Nhận xét \(z = 0\) không là nghiệm của phương trình (1) vậy \(z\)
Chia hai vế PT (1) cho \({z^2}\) ta được : (\({z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}) - (z - \frac{1}{z}) + \frac{1}{2} = 0\) (2)
Đặt \(t = z - \frac{1}{z}\) Khi đó \({t^2} = {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} - 2\)\( \Leftrightarrow {z^2} + \frac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2\)
Phương trình (2) có dạng :\({t^2} - t + \frac{5}{2} = 0\) (3)
\(\Delta = 1 - 4.\frac{5}{2} = - 9 = 9{i^2}\)
Vậy PT (3) có 2 nghiệm \(t = \frac{{1 + 3i}}{2}\), \(t = \frac{{1 - 3i}}{2}\)
Với \(t = \frac{{1 + 3i}}{2}\) ta có \(z - \frac{1}{z} = \frac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0\)(4)
Có \(\Delta = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = 9 + 6i + {i^2} = {(3 + i)^2}\)
Vậy PT(4) có 2 nghiệm : \(z = \frac{{(1 + 3i) + (3 + i)}}{4} = 1 + i\), \(z = \frac{{(1 + 3i) - (3 + i)}}{4} = \frac{{i - 1}}{2}\)
Do đó PT đã cho có 4 nghiệm \(:\;z = 1 + i;\;z = 1 - i\) ; \(z = \frac{{i - 1}}{2}\); \(z = \frac{{ - i - 1}}{2}\)
Ví dụ 9: Giải các phương trình:
1) \({z^3}\;-\;27\; = \;0\)
1) \({z^3}\; = \;18\; + \;26i\), trong đó \(z\; = \;x\; + \;yi\;;\;x,y\;\;Z\)
Giải:
1) \({z^3}\;-\;27\; = \;0\)\( \Leftrightarrow \) \(\left( {z\;-\;1} \right)\;\left( {{z^2}\; + \;3z\; + \;9} \right)\; = \;0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z^2} + 3z + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\{z_{2,3}} = \frac{{ - 3 \pm 3\sqrt 3 i}}{2}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
2) Ta có: \({\left( {x\; + \;yi} \right)^3}\; = \;{x^3}\;-\;3x{y^2}\; + \;\left( {3{x^2}y\;-\;{y^3}} \right)i\; = \;18\; + \;26i\)
Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x{y^2} = 18\\3{x^2}y - {y^3} = 26\end{array} \right.\)
Từ hệ trên, rõ ràng \(x e \;0\) và \(y e \;0\).
Đặt \(y\; = \;tx\) , hệ \( \Rightarrow \) \(18\left( {3{x^2}y\;-\;{y^3}} \right)\; = \;26\left( {{x^3}\;-\;3x{y^2}\;} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(18\left( {3t - {t^3}\;} \right)\; = \;26\left( {1 - 3{t^2}} \right)\)\( \Rightarrow \)\(18{t^3}\;-\;78{t^2}\;-\;54t + 26\; = \;0\)\( \Rightarrow \)\(\left( {\;3t - \;1} \right)\left( {3{t^2}\;-\;12t\;-\;13} \right)\; = \;0\).
Vì \(x,\;y\;\;Z\)\( \Rightarrow \)\(t\;\;Q\;\)\( \Rightarrow \)\(t\; = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \)\(x\; = \;3\) và \(y\; = \;1\)\( \Rightarrow \)\(z\; = \;3\; + \;i\).
Ví dụ 10: Giải phương trình\(:\;{z^4}\;-\;4{z^3}\; + 7{z^2}\;-\;16z\; + \;12\; = \;0\) (1)
Giải:
Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) có nghiệm \(z\; = \;1\).
(1) \( \Leftrightarrow \) (\(z\;-\;1)\left( {{z^3}\;-\;3{z^2}\; + \;4z\;-\;12} \right)\; = \;0\)
\( \Leftrightarrow \)\(\left( {z\;-\;1} \right)\;\left( {z\;-\;3} \right)\;\left( {{z^2}\; + \;4} \right)\; = \;0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\{z^2} + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 1\\z = 3\\z = 2i\\z = - 2i\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Ví dụ 11: Giải phương trình: \({\left( {{z^2}\; + \;z} \right)^2}\; + \;4\left( {{z^2}\; + \;z} \right)\; - 12\; = \;0\)
Giải:
Đặt \(t\; = \;{z^2}\; + \;z\), khi đó phương trình đã cho có dạng:
\({t^2}\; + \;4t\;-\;12\; = \;0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}t = - 6\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} + z - 6 = 0\\{z^2} + z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \frac{{ - 1 + \sqrt {23} i}}{2}\\z = \frac{{ - 1 - \sqrt {23} i}}{2}\\z = 1\\z = - 2\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Ví dụ 12: Giải phương trình: \({\left( {{z^2}\; + \;3z\; + 6} \right)^2}\; + \;2z\left( {{z^2}\; + \;3z\; + 6} \right)\;-\;3{z^2}\; = \;0\)
Giải: Đặt \(t\; = \;{z^2}\; + \;3z\; + 6\) phương trình đã cho có dang:
\({t^2}\; + 2zt\;-\;3{z^2}\; = \;0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left( {t\;-\;z} \right)\left( {t + 3z} \right)\; = \;0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}t = z\\t = - 3z\end{array} \right.\)
+ Với \(t\; = \;z\)\( \Leftrightarrow \)\({z^2}\; + \;3z\; + 6\;-z\; = \;0\)\( \Leftrightarrow \)\({z^2}\; + \;2z\; + \;6\; = \;0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}z = - 1 + \sqrt 5 i\\z = - 1 - \sqrt 5 i\end{array} \right.\)
+ Với \(t\; = \; - 3z\)\( \Leftrightarrow \)\({z^2}\; + \;3z\; + 6\; + 3z\; = \;0\)\( \Leftrightarrow \)\({z^2}\; + \;6z\; + \;6\; = \;0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}z = - 3 + \sqrt 3 \\z = - 3 - \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.