Ví dụ 1: Cho số phức z = \(\displaystyle \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i\). Tính các số phức sau: \(\displaystyle \overline z \); \(\displaystyle {z^2}\); \(\displaystyle {\left( {\overline z} \right)^3}\); \(\displaystyle 1 + z + {z^2}\)
Giải:
a) Vì z = \(\displaystyle \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i\) $\Rightarrow$ \(\displaystyle \overline z \) = \(\displaystyle \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\)
b) Ta có \(\displaystyle {z^2}\) = \(\displaystyle {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)^2}\)=\(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)=\(\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
$\Rightarrow$ \(\displaystyle {\overline z^2}\) = \(\displaystyle {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)
\(\displaystyle {\overline z^3} = {\overline z^2}.\overline z\) = \(\displaystyle \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i\)
Ta có: \(\displaystyle 1 + z + {z^2}\) = \(\displaystyle 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i\)
Ví dụ 2: Tìm các số thực \(\displaystyle x,\;y\) thoả mãn:
\(\displaystyle 3x\; + \;y\; + \;5xi\; = \;2y\;--\;1\; + \left( {x\;-\;y} \right)i\)
Giải: Theo giả thiết: \(\displaystyle 3x\; + \;y\; + \;5xi\; = \;2y\;--\;1\; + \left( {x\;-\;y} \right)i\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {3x\; + \;y} \right)\; + \;\left( {5x} \right)i\; = \;\left( {2y\;-\;1} \right)\; + \left( {x\;-\;y} \right)i\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y = 2y - 1\\5x = x - y\end{array} \right.\) Giải hệ này ta được: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{7}\\y = \frac{4}{7}\end{array} \right.\)
Ví dụ 3: Tính: \(\displaystyle {i^{105}} + {i^{23}} + {i^{20}} - {i^{34}}\)
Giải: Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ thừa của đơn vị ảo như sau:
Ta có: \(\displaystyle i^n=\begin{cases}1 & \text{với n chia hết cho 4} \\i & \text{với n chia 4 dư 1} \\1& \text{với n chia 4 dư 2} \\-i &\text{với n chia 4 dư 3} \end{cases}\)
Vậy \(\displaystyle {i^{105}} + {i^{23}} + {i^{20}} - {i^{34}} = i - i + 1 + 1 = 2\)
Ví dụ 4: Tính số phức sau: \(\displaystyle z = {\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8}\)
Giải: Ta có: \(\displaystyle \frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{{{1^2} + {1^2}}} = i\); \(\displaystyle \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{{(1 - i)(1 - i)}}{{{1^2} + {1^2}}} = - i\)
Vậy \(\displaystyle {\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8} = {i^{16}} + {( - i)^8} = 2\)
Ví dụ 5: Tìm phần ảo của \(\displaystyle z\) biết: \(\displaystyle z + 3\overline z = {\left( {2 + i} \right)^3}\left( {2 - i} \right)\,\,(1)\)
Giải: Giả sử \(\displaystyle z = a + bi\)
\[(1) \Leftrightarrow a + bi + 3a - 3bi = \left( {8 + 12i + 6{i^2} + {i^3}} \right)\left( {2 - i} \right) = \left( {2 + 11i} \right).\left( {2 - i} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 4a - 2bi = 4 - 2i + 22i - 11{i^2} = 20i + 15\]\[ \Leftrightarrow a = \frac{{15}}{4};b = - 10\].
Vậy phần ảo của\(\displaystyle z\) bằng \(\displaystyle - 10\)
Ví dụ 6: Cho \(\displaystyle {z_1} = 3 + i,{z_2} = 2 - i\). Tính \(\displaystyle \left| {{z_1} + {z_1}{z_2}} \right|\)
Giải:
\[{z_1} + {z_1}{z_2} = 3 + i + \left( {3 + i} \right)\left( {2 - i} \right) = 10 = 10 + 0i\]\[ \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_1}{z_2}} \right| = \sqrt {{{10}^2} + {0^2}} = 10\]
Ví dụ 7: Cho \(\displaystyle {z_1} = 2 + 3i,\,\,\,{z_2} = 1 + i\). Tính \(\displaystyle \left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|\); \(\displaystyle \left| {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_2}}}} \right|\); \(\displaystyle \left| {{z_1}^3 + 3{z_2}} \right|\)
Giải:
+) \(\displaystyle {z_1} + 3{z_2} = 2 + 3i + 3 + 3i = 5 + 6i\) \(\displaystyle \Rightarrow \)\(\displaystyle \left| {{z_1} + 3{z_2}} \right| = \sqrt {{5^2} + {6^2}} = \sqrt {61} \)
+) \(\displaystyle \frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_2}}} = \frac{{3 + 4i}}{{1 + i}} = \frac{{\left( {3 + 4i} \right)\left( {1 - i} \right)}}{{1 - {i^2}}} = \frac{{7 + i}}{2}\)\(\displaystyle \Rightarrow \)\(\displaystyle \left| {\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_2}}}} \right| = \sqrt {\frac{{49}}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)
+) \(\displaystyle z_1^3 + 3{z_2} = 8 + 36i + 54{i^2} + 27{i^3} - 3 - 3i = - 49 + 6i\)\(\displaystyle \Rightarrow \)\(\displaystyle \left| {z_1^3 + 3{z_2}} \right| = \sqrt {2437} \)
Ví dụ 8: Tìm các căn bậc hai của số phức \(\displaystyle z = 5 + 12i\)
Giải: Giả sử \(\displaystyle m + ni\) (\(\displaystyle m,n \in \mathbb{R}\)) là căn bậc hai của \(\displaystyle z\)
Ta có: \(\displaystyle {(m + ni)^2} = 5 + 12i\)
\[ \Leftrightarrow {m^2} + 2mni + {n^2}{i^2} = 5 + 12i \Leftrightarrow {m^2} + 2mni - {n^2} = 5 + 12i\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 5\\2mn = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - {n^2} = 5(1)\\m = \frac{6}{n}(2)\end{array} \right.\]
Thay (2) vào (1) ta có: \[{\left( {\frac{6}{n}} \right)^2} - {n^2} = 5 \Leftrightarrow 36 - {n^4} = 5{n^2}\]
\[ \Leftrightarrow {n^4} + 5{n^2} - 36 = 0 \Leftrightarrow {n^2} = 4;{n^2} = - 9(loai)\]
\[\left[ \begin{array}{l}n = 2 \Rightarrow m = 3\ = - 2 \Rightarrow m = - 3\end{array} \right.\]
Vậy \(\displaystyle z\) có hai căn bậc hai là \(\displaystyle 3 + 2i\) và \(\displaystyle - 3 - 2i\)
Ví dụ 9: Tính số phức sau: \(\displaystyle z = {(1 + i)^{15}}\)
Giải:
Ta có: \(\displaystyle {(1 + i)^2} = 2i\)\(\displaystyle \Rightarrow {(1 + i)^{14}} = {(2i)^7} = {2^7}( - i)\)
Vậy \(\displaystyle z = {(1 + i)^{15}} = - 128i(1 + i) = 128 - 128i\)