Dạng lượng giác của số phức

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Viết số phức sau dạng lương giác: \(z = \sqrt 3 - i\)

Giải: \(z = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\cos \frac{{ - \pi }}{6} + i\sin \frac{{ - \pi }}{6}} \right)\)

Ví dụ 2: Tìm acgumen của số phức: \(z = 2\left( {\sin \frac{\pi }{5} - i\cos \frac{\pi }{5}} \right)\)

Giải: \(z = 2\left( {\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{5}} \right) - i\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{5}} \right)} \right) = 2\left( {\cos \frac{{3\pi }}{{10}} - i\sin \frac{{3\pi }}{{10}}} \right)\)\( = 2\left( {\cos \frac{{ - 3\pi }}{{10}} + i\sin \frac{{ - 3\pi }}{{10}}} \right)\).

Vậy acgumen của \(z\) là \(\frac{{ - 3\pi }}{{10}} + k2\pi \)

Ví dụ 3: Biết \(z = 1 - i\sqrt 3 \) . Tìm dạng đại số của \({z^{2012}}\)

Giải: \(z = 1 - i\sqrt 3 = 2\left( {\cos \frac{{ - \pi }}{3} + i\sin \frac{{ - \pi }}{3}} \right)\)\( \Rightarrow {z^{2012}} = {2^{2012}}\left( {\cos \frac{{ - 2012\pi }}{3} + i\sin \frac{{ - 2012\pi }}{3}} \right) = {2^{2012}}\left( {\cos \left( {670\pi + \frac{{2\pi }}{3}} \right) - i\sin \left( {670\pi + \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right)\) \( = {2^{2012}}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} - i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right)\) \( = {2^{2012}}\left( { - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)\( = - {2^{2011}} - {2^{2011}}\sqrt 3 i\)

Ví dụ 4: Cho\({z_1} = 1 - i\), \({z_2} = 2\sqrt 3 + 2i\). Tìm dạng đại số của \(z_1^{20}.z_2^{15}\)

Giải: \({z_1} = 1 - i = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{{ - \pi }}{4} + i\sin \frac{{ - \pi }}{4}} \right)\) ; \({z_2} = 4\left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right)\)

Vậy \(z_1^{20} = {2^{10}}\left( {\cos ( - 5\pi ) + i\sin ( - 5\pi )} \right) = {2^{10}}\left( { - 1} \right) = - 1024\)

\(z_2^{15} = {4^{15}}\left( {\cos \frac{{15\pi }}{6} + i\sin \frac{{15\pi }}{6}} \right) = {4^{15}}\left( {\cos \frac{{5\pi }}{2} + i\sin \frac{{5\pi }}{2}} \right)\) =\({4^{15}}\left( {0 + i} \right) = {4^{15}}i\)

Suy ra \(z_1^{20}.z_2^{15} = - {2^{40}}i\)

Ví dụ 5: Gọi \({z_1};{z_2}\) là 2 nghiệm phức của phương trình: \({z^2} - 2\sqrt 3 i.z - 4 = 0\), viết dạng lượng giác của \({z_1},{z_2}\).

Giải: \(\Delta ' = 3{i^2} + 4 = 1\), Do đó phương trình có 2 nghiệm \({z_1} = \sqrt 3 i - 1 = 2\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)

\({z_2} = \sqrt 3 i + 1 = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)\)

Ví dụ 6: Tính : a) \({(1 + i)^5}\) b) \({\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^9}\)

Giải:

a) \({(1 + i)^5} = {\sqrt 2 ^5}{\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)^5} = 4\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{5\pi }}{4} + i\sin \frac{{5\pi }}{4}} \right)\)\( = 4\sqrt 2 \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i} \right) = - 4 - 4i\)

b) Ta tìm dạng lượng giác của \(1 + \sqrt 3 i\)\( = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)\)

\({\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^9} = {2^9}\left( {\cos 3\pi + i\sin 3\pi } \right) = {2^9}( - 1 + 0.i) = - {2^9}\).

Ví dụ 7: Cho số phức \(w = - \frac{1}{2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\). Tìm các số nguyên dương \(n\)để \({w^n}\) là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương \(m\) để \({w^m}\) là số ảo ?

Giải: Ta có : \(w = \cos \frac{{4\pi }}{3} + i\sin \frac{{4\pi }}{3} \Rightarrow {w^n} = \cos \frac{{4n\pi }}{3} + i\sin \frac{{4n\pi }}{3}\) (\(n\) nguyên dương).

Số này là số thực khi và chỉ khi\(\sin \frac{{4n\pi }}{3} = 0 \Leftrightarrow \frac{{4n}}{3} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n \vdots 3\), tức là n phải là một bội nguyên dương của 3.

Số \({w^m}\) (\(m\) nguyên dương) là số ảo khi và chỉ khi \(\cos \frac{{4n\pi }}{3} = 0 \Leftrightarrow \frac{{4n\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow 8n = 3 + 6k\;\;(k \in \mathbb{Z})\), ta thấy VT chia hết cho 2, VP không chia hết cho 2.

Vậy không có số nguyên dương \(m\) để \({w^m}\) là số ảo.

Ví dụ 8:Tính tổng \(S = C_{2012}^0 - C_{2012}^2 + C_{2012}^4 + ... - C_{2012}^{2010} + C_{2012}^{2012}\)

Giải: Ta thấy \(S = {i^0}C_{2012}^0 + {i^2}C_{2012}^2 + ... + {i^{2012}}C_{2012}^{2012}\) . Đặt thêm \(S' = iC_{2012}^1 + {i^3}C_{2012}^3 + ... + {i^{2011}}C_{2012}^{2011}\)

Vậy \(S + S' = \sum\limits_{k = 0}^{2012} {C_{2012}^k{1^{2012 - k}}{i^k} = {{\left( {1 + i} \right)}^{2012}}}\)\( = {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^{2012}} = {2^{1006}}\left( {\cos 503\pi + i\sin 503\pi } \right)\)\( = - {2^{1006}}\)

\(S - S' = \sum\limits_{k = 0}^{2012} {C_{2012}^k{1^{2012 - k}}{{( - i)}^k} = {{\left( {1 - i} \right)}^{2012}}} \)\( = {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{ - \pi }}{4} + i\sin \frac{{ - \pi }}{4}} \right)} \right]^{2012}} = {2^{1006}}\left( {\cos ( - 503\pi ) + i\sin ( - 503\pi )} \right)\) \( = - {2^{1006}}\)

Từ đó \(S = - {2^{1006}}\) và \(S' = 0\)