Lý thuyết về khối đa diện- Đa diện đều

ĐA DIỆN

A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1) Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) (H) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện (H). Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện (H).

2) Phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện (H) được gọi là khối đa diện (H).

3) Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài của (H). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.
Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của (H).
Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó.

4) Phép dời hình và sự bằng nhau giữa các khối đa diện.
a) Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

b) Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

c) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

d) Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện, biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện này thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện kia.

e) Một số phép dời hình trong không gian :

- Phép dời hình tịnh tiến theo vector \(\overrightarrow v \), là phép biến hình biến điểm M thành M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v \).

- Phép đối xứng qua mặt phẳng (P), là phép biến hình biến mọi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng chung trực của MM’.
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H).

- Phép đối xứng tâm O, là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến điếm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H).

- Phép đối xứng qua đường thẳng d, là phép biến hình mọi điểm thuộc d thành chính nó, biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của MM’. Phép đối xứng qua đường thẳng d còn được gọi là phép đối xứng qua trục d.
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính nó thì d được gọi là trục đối xứng của (H).

g) Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

h) Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

5) Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1), (H2) sao cho (H1) và (H2) không có điểm trong chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) và (H2) , hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khối đa diện (H).

6) Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.

7) Kiến thức bổ sung
Phép vị tự trong không gian và sự đồng dạng giữa các khối đa diện.

a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k (k khác 0) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \)

b) Hình (H) được gọi là đồng dạng với hình (H’) nếu có một phép vị tự biến (H) thành (H1) và (H1) bằng (H’).

B- VÍ DỤ:
Câu 1: Tổng số mặt, số cạnh và số đỉnh của hình lập phương là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Hình lập phương có 6 mặt, 12 cạnh và 8 đỉnh. Do đó, tổng số là 26

Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A. Hình lập phương là đa điện lồi

B. Tứ diện là đa diện lồi

C. Hình hộp là đa diện lồi

D. Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là một đa diện lồi

Hướng dẫn:

D sai vì hai tứ diện ghép với nhau có thể tạo thành đa diện lõm. Chẳng hạn cho 2 đỉnh chạm vào nhau, các đỉnh còn lại đối xứng qua đỉnh đó.

Câu 3: Số cạnh của một khối chóp hình tam giác là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Khối chóp tam giác có 3 cạnh đáy và 3 cạnh bên bên có tổng số 6 cạnh.

Câu 4: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng: “Số cạnh của một hình đa diện luôn …………..…… số mặt của hình đa diện ấy.”

Hướng dẫn:

Do mỗi mặt của đa diện chứa ít nhất 3 cạnh, trong khi mỗi cạnh lại là cạnh chung chỉ của 2 mặt, nên số cạnh luôn “lớn hơn” số mặt.

Câu 5: Cho khối chóp có là n – giác. Mệnh đề nào đúng sau đây:

A. Số cạnh của khối chóp bằng n + 1

B. Số mặt của khối chóp bằng 2n

C. Số đỉnh của khối chóp bằng n + 1

D. Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó

Hướng dẫn:

- Số cạnh khối chóp bằng 2n cạnh gồm n cạnh đáy và n cạnh bên.

- Số mặt khối chóp bằng n+1 gồm n mặt bên và một đáy

- Số đỉnh khối chóp bằng n+1 gồm n đỉnh đáy và 1 đỉnh chóp.

- Số mặt khối chóp bằng số đỉnh vì cùng bằng n+1

Vậy C và D đúng.

Câu 6: Số mặt phẳng đối xứng của hình lập phương là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Xét trên 2 mặt đáy đối diện của hình lập phương là ABCD và A’B’C’D’:

- có 2 đường chéo và 2 đường trung bình cùng với các đường tương ứng của mặt đối diện tạo thành 4 mặt phẳng đối xứng.

- Có 4 cạnh kết hợp với 4 cạnh chéo (chẳng hạn AB đi với C’D’) tạo thành 4 mặt chéo cũng là 4 mặt phẳng đối xứng

8 mặt phẳng này cũng tương ứng với các mặt tạo bởi các cạnh, các đường chéo và một đường trung bình dọc của 4 cạnh bên.

Còn 1 mặt phẳng cắt qua trung điểm các cạnh bên cũng là mặt phẳng đối xứng không trung với 8 mặt trên.

Vậy khối lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng.

Câu 7: Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Gọi bát diện đều là AA’.BB’CC’. Với các đỉnh A và A’ đối xứng qua tâm, v.v...

- Từ A kẻ được 4 mặt phẳng đối xứng qua 4 cạnh AB,AB’,AC,AC’ và qua 4 trung tuyến từ A xuống các trung điểm của BC, BC’, B’C, B’C’. Vậy ta được 4 mặt đối xứng. 4 mặt này trùng với cách kẻ tương tự từ A’.

- Tương tự từ B ta được 4 mặt trùng với 4 mặt từ B’, nhưng có 1 mặt trùng với mặt phẳng từ A và A’ là BAB’A’. Được thêm 3 mặt đối xứng.

- Từ C ta cũng có 4 mặt phẳng tương tự nhưng trùng 2 mặt với 7 mặt kia là CBB’C’ và CAA’C’. Vậy được thêm 2 mặt.

Vậy khối bát diện đều có 4+3+2=9 mặt đối xứng.

Câu 8: Số mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều là:

Hướng dẫn:

Mỗi mặt phẳng đi chứa một cạnh và đi qua trung điểm cạnh đối diện là một mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều. Vậy tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.

ĐA DIỆN LỒI, ĐA DIỆN ĐỀU

A- TÓM TẮT KIẾN THỨC

1. Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện giới hạn (H) được gọi là đa diện lồi.

2. Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.

3. Một khối đa diện lồi \(m\) mặt được gọi là khối đa diện đều loại \({\rm{\{ }}n;p{\rm{\} }}\) nếu:

a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều \(n\) cạnh (\(n\) đỉnh).

b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng \(p\) mặt (\(p\) cạnh).

4. Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.

5. Có năm loại khối đa diện đều

6. Công thức tính số đỉnh, số cạnh của \(m\) mặt đều loại \((n;p)\)

Vì mỗi mặt có \(n\) cạnh và 2 mặt chung một cạnh nên có:

Số cạnh \( = \frac{{m.n}}{2}\)

Vì mỗi mặt có \(n\) đỉnh và \(p\) mặt chung một đỉnh nên có:

Số đỉnh \( = \frac{{m.n}}{p}\)

B - BÀI TẬP

Câu 1: Số cạnh của tứ diện đều là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Tứ diện đều thuộc loại \({\rm{\{ 3;3\} }}\) nên số cạnh bằng \(\frac{{4 \times 3}}{2} = 6\)

Câu 2: Khối đa diện đều loại {4;3} có bao nhiêu mặt

Hướng dẫn:

Đây là khối lập phương nên có 6 mặt.

Câu 3: Khối đa diện đều loại {5;3} có số mặt là:

Hướng dẫn:

Đây là khối 12 mặt đều nên có 12 mặt.

Câu 4: Có bao nhiêu loại khối đa diện đều?

Hướng dẫn:

Có 5 loại khối đa diện đều.

Câu 5: Khối đa diện đều nào sau đây có mặt không phải là tam giác đều?

A. Thập nhị diện đều B. Nhị thập diện đều

C. Bát diện đều D. Tứ diện đều

Hướng dẫn:

Thập nhị diện đều loại (5;3)

Nhị thập diện đều loại (3;5)

Bát diện đều loại (3;4)

Tứ diện đều loại (3;3)

Vậy thập nhị diện đều có mặt là ngũ giác, không phải tam giác đều.

Câu 6: Số cạnh của một bát diện đều là:

Hướng dẫn:

Bát diện đều loại (3;4) nên số cạnh bằng \(\frac{{8 \times 3}}{2} = 12\)

Câu 7: Số đỉnh của hình 20 mặt đều là?

Hướng dẫn:

Khối 20 mặt đều thuộc loại (3;5) nên số đỉnh bằng \(\frac{{20 \times 3}}{5} = 12\)

Câu 8: Số đỉnh và số cạnh của hình hai mươi mặt là ?

Hướng dẫn:

Khối 20 mặt đều thuộc loại (3;5) nên:

Số đỉnh bằng \(\frac{{20 \times 3}}{5} = 12\)

Số cạnh bằng \(\frac{{20 \times 3}}{2} = 30\)