Định nghĩa

Cho hai số dương \(a,{\rm{ }}b\) với \(a \ne 1.\)

Số \(\alpha \) thỏa mãn đẳng thức \({a^\alpha } = b\) được gọi là lôgarit cơ số \(a\) của \(b\) và được kí hiệu là \({\log _a}b.\)

Nghĩa là: \({a^\alpha } = b \Leftrightarrow \alpha = {\log _a}b.\)

Tính chất

Cho hai số dương \(a,{\rm{ }}b\) với \(a \ne 1.\) Ta có các tính chất sau:

\({\log _a}1 = 0.\)\({\log _a}a = 1.\)\({a^{{{\log }_a}b}} = b.\)\({\log _a}{(a)^\alpha } = \alpha .\)

Quy tắc tính lôgarit
  1. Lôrgarit của một tích

Định lí 1. Cho ba số dương \(a,{\rm{ }}{b_1},{\rm{ }}{b_2}\) với \(a \ne 1,\) ta có: \({\log _a}({b_1}.{b_2}) = {\log _a}{b_1} + {\log _a}{b_2}.\)

  1. Lôgarit của một thương

Định lí 2. Cho ba số dương \(a,{\rm{ }}{b_1},{\rm{ }}{b_2}\) với \(a \ne 1,\) ta có: \({\log _a}\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = {\log _a}{b_1} - {\log _a}{b_2}.\)

Đặc biệt: \({\log _a}\frac{1}{b} = - {\log _a}b,{\rm{ }}(a > 0,{\rm{ }}b > 0,{\rm{ }}a \ne 1).\)

  1. Lôgarit của một lũy thừa

Định lí 3. Cho hai số dương \(a,{\rm{ }}b,\) với \(a \ne 1.\) Với mọi \(\alpha ,\) ta có: \({\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b.\)

Đặc biệt: \({\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b.\) Nếu n là số tự nhiên chẵn thì \({\log _a}{b^n} = n{\log _a}|b|.\)

Đổi cơ số

Cho ba số dương \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c,\) với \(a \ne 1,{\rm{ }}c \ne 1,\) ta có: \({\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}} \cdot \)

Đặc biệt: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}},{\rm{ }}(b \ne 1)\) và \({\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b,{\rm{ }}(\alpha \ne 0).\)

Lôgarit thập phân – Lôgarit tự nhiên
  1. Lôgarit thập phân

Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số \(10.\) Khi đó \({\log _{10}}b\) thường được viết là \(\log b\) hoặc \(\lg b\). Nghĩa là \({\log _{10}}b = \log b = \lg b.\)

  1. Lôgarit tự nhiên

Người ta chứng minh được \(e = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = 2,718281828459045.\) Khi đó lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số \(e,\)\({\log _e}b\) được viết là \(\ln b.\)

Nghĩa là \(\ln b = {\log _e}b.\)

Ví dụ 1. Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính:

a) \({2^{{{\log }_4}15}} = \) \({2^{{{\log }_{{2^2}}}15}} = {2^{\frac{1}{2}{{\log }_2}15}} = {2^{{{\log }_2}\sqrt {15} }} = \sqrt {15} \)

b) \({3^{{{\log }_{\frac{1}{{27}}}}2}} = \) \({3^{{{\log }_{{3^{ - 3}}}}2}} = {3^{ - \frac{1}{3}{{\log }_3}2}} = {\left( {{3^{{{\log }_3}2}}} \right)^{ - \frac{1}{3}}} = {2^{ - \frac{1}{3}}} = \frac{1}{8}\)

c) \({3^{5{{\log }_3}2}} = \) \({3^{{{\log }_3}{2^5}}} = {2^5} = 32\)

d) \({\log _a}({a^2}.\sqrt a .\sqrt[3]{{{a^2}}}) = \)\({\log _a}\left( {{a^{2 + \frac{1}{2} + \frac{2}{3}}}} \right) = \frac{{19}}{6}\)

c)\({\log _{\frac{1}{3}}}5.{\log _{25}}\frac{1}{{27}} + {\log _{\sqrt 2 }}64 = \) \( - {\log _3}5.{\log _{{5^2}}}{3^{ - 3}} + 2{\log _2}{2^6}\)\( = \frac{3}{2}{\log _3}5.{\log _5}3 + 12{\log _2}2 \)\( = \frac{3}{2} + 12 = \frac{{27}}{2}\)

f)\(2{\log _{\frac{1}{3}}}6 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{3}}}400 + 3{\log _{\frac{1}{3}}}\sqrt[3]{{45}} = \)\( - 2{\log _3}6 + \frac{1}{2}{\log _3}{20^2} - 3{\log _3}{45^{\frac{1}{3}}}\) = \({\log _3}20 - {\log _3}{6^2} - {\log _3}45\) = \({\log _3}\frac{{20}}{{{6^2}.45}} = {\log _3}\frac{1}{{81}} = {\log _3}{3^{ - 4}} = - 4\)

Ví dụ 2. Biểu diễn giá trị của biểu thức lôgarit theo một biểu thức logarit khác.

a) Cho \({\log _2}3 = a.\) Tính \(P = {\log _{18}}24\) theo \(a.\)

Có \(P = \frac{{{{\log }_2}24}}{{{{\log }_2}18}} = \frac{{{{\log }_2}{{3.2}^3}}}{{{{\log }_2}{{2.3}^2}}} = \frac{{3 + a}}{{1 + 2a}}\)

b) Cho \({\log _{15}}3 = a.\) Tính \(P = {\log _{25}}15\) theo \(a.\)

Có \(P = \frac{1}{{{{\log }_{15}}{5^2}}} = \frac{1}{{2{{\log }_{15}}5}} = \frac{1}{{2{{\log }_{15}}\frac{{15}}{3}}} = \frac{1}{{2(1 - a)}}\)

c) Cho \({\log _2}5 = a.\) Tính \(P = {\log _4}1250\) theo \(a.\)

Có \(P = \frac{1}{2}{\log _2}{5^4}.2 = \frac{1}{2}\left( {1 + 4a} \right)\)

d) Cho \({\log _2}5 = a\) và \({\log _2}3 = b.\) Hãy tính \(P = {\log _3}135\) theo \(a\) và \(b.\)

Có \(P = \frac{{{{\log }_2}135}}{{{{\log }_2}3}} = \frac{{{{\log }_2}{{5.3}^3}}}{b} = \frac{{a + 3b}}{b}\)

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1. Không dùng máy tính, hãy thu gọn các biểu thức sau (giả sử điều kiện xác định):

a) \(P = {\log _2}4.{\log _{\frac{1}{4}}}2.\)

b) \(P = {\log _5}\frac{1}{{25}}.{\log _{27}}9.\)

c) \(P = {\log _a}\sqrt[3]{{\sqrt a }}.\)

d) \(P = {\log _{2\sqrt 2 }}8.\)

e) \(P = {4^{{{\log }_2}3}} + {9^{{{\log }_{\sqrt 3 }}2}}.\)

f) \(P = {27^{{{\log }_9}2}} + {4^{{{\log }_8}27}}.\)

g) \(P = {9^{2{{\log }_3}2 + 4{{\log }_{81}}5}}.\)

h) \(P = {9^{\frac{1}{{{{\log }_6}3}}}} + {4^{\frac{1}{{{{\log }_8}4}}}}.\)

i) \(P = {5^{3 - 2{{\log }_5}4}}.\)

j) \(P = {25^{{{\log }_5}6}} + {49^{{{\log }_7}8}}.\)

k) \(P = {81^{{{\log }_3}5}} + {27^{{{\log }_9}36}} + {3^{4{{\log }_9}7}}.\)

l) \(P = {3^{1 + {{\log }_9}4}} + {4^{2 - {{\log }_2}3}} + {5^{{{\log }_{125}}27}}.\)

m) \(P = {\log _3}6.{\log _8}9.{\log _6}2.\)

n) \(P = 2{\log _{\frac{1}{3}}}6 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{3}}}400 + 3{\log _{\frac{1}{3}}}\sqrt[3]{{45}}.\)

o) \(P = {\log _8}\left[ {{{\log }_4}({{\log }_2}16)} \right] \cdot {\log _2}\left[ {{{\log }_3}({{\log }_4}64)} \right].\)

p) \(P = \frac{{{{\log }_{{a^3}}}a.{{\log }_{{a^4}}}{a^{\frac{1}{3}}}}}{{{{\log }_{{a^{ - 1}}}}{a^7}}} \cdot \)

q) \(P = {49^{\frac{1}{2}{{\log }_7}\sqrt[3]{2}}} + {\log _{{a^2}}}(a\sqrt a ).\)

r) \(y = \frac{1}{{{{\log }_a}(ab)}} + \frac{1}{{{{\log }_b}(ab)}} \cdot \)

s) \(P = {\log _a}{a^3}\sqrt a + {\log _a}a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } .\)

t) \(P = {\log _a}\frac{{{a^2}\sqrt[3]{{{a^2}}} \cdot a\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[3]{a}}} - {\log _a}{a^2}\sqrt {{a^5}} {a^{\frac{1}{4}}}.\)

2. Thực hiện các biến đổi theo yêu cầu của các bài toán sau (giả sử điều kiện xác định).

  1. Cho \({\log _{12}}27 = a.\) Hãy tính \(A = {\log _6}16\) theo \(a.\)
  2. Cho \({\log _2}14 = a.\) Hãy tính \(A = {\log _{49\sqrt 7 }}32\) và \(B = {\log _{49}}32\) theo \(a.\)
  3. Cho \({\log _{15}}3 = a.\) Hãy tính \(A = {\log _{25}}15\) theo \(a.\)
  4. Cho \({\log _7}2 = a.\) Hãy tính \(A = {\log _{\frac{1}{2}}}28\) theo \(a.\)
  5. Cho \({\log _a}b = \sqrt {13} .\) Hãy tính \(A = {\log _{\frac{b}{a}}}\sqrt[3]{{a{b^2}}}.\)
  6. Cho \({\log _2}5 = a\) và \({\log _2}3 = b.\) Hãy tính \(A = {\log _3}135\)theo \(a\) và \(b.\)
  7. Cho \({\log _{25}}7 = a\) và \({\log _2}5 = b.\) Hãy tính \(A = {\log _{\sqrt[3]{5}}}\frac{{49}}{8}\) theo \(a\) và \(b.\)
  8. Cho \(\lg 3 = a\) và \(\lg 2 = b.\) Hãy tính \(A = {\log _{125}}30\) theo \(a\)và \(b.\)
  9. Cho \({\log _{30}}3 = a\) và \({\log _{30}}5 = b.\) Hãy tính \(A = {\log _{30}}1350\) theo \(a\) và \(b.\)
  10. Cho \({\log _{14}}7 = a\) và \({\log _{14}}5 = b.\) Hãy tính \(A = {\log _{35}}28\) theo \(a\) và \(b.\)
  11. Cho \({\log _{49}}11 = a\) và \({\log _2}7 = b.\) Hãy tính \(A = {\log _{\sqrt[3]{7}}}\frac{{121}}{8}\) theo \(a\) và \(b.\)