Max Min Số Phức

GTLN-GTNN MÔ ĐUN SỐ PHỨC

 

Khi thấy giả thiết là Elip không chính tắc: \(\left| {z - {z_1}} \right| + \left| {z - {z_2}} \right| = 2a\) với \((\left| {{z_1} - {z_2}} \right| < 2a)\) và \({z_1},{z_2} \ne \pm c; \pm ci\). Tìm Min, Max của \(P = \left| {z - {z_0}} \right|\). + Tính \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2c\) và \({b^2} = {a^2} - {c^2}\) + Tính \(\left| {{z_0} - \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right| = k\)
(1) Elip dạng chính tắc: \(\left| {z - c} \right| + \left| {z + c} \right| = 2a\) hoặc \(\left| {z - ci} \right| + \left| {z + ci} \right| = 2a\)	- Tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = a\cos t\\y = b\sin t\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = b\cos t\\y = a\sin t\end{array} \right.\) - Thay vào \(P = f(t),t \in \left[ {0;2\pi } \right]\) - Khảo sát \(f(t)\)
(2.1) Nếu thấy \(\left\{ \begin{array}{l}k > \frac{{{c^2}}}{a}\\{z_0} - {z_1} = l\left( {{z_0} - {z_2}} \right)\end{array} \right.\)	\(\max P = k + a\) \(\min P = \left| {k - a} \right|\)
(2.2) Nếu thấy \(\left\{ \begin{array}{l}k \le \frac{{{c^2}}}{a}\\{z_0} - {z_1} = l\left( {{z_0} - {z_2}} \right)\end{array} \right.\)	\(\max P = k + a\) \(\min P = \frac{b}{c}\sqrt {{k^2} + {c^2}} \)
(2.3) Nếu thấy \(\left\{ \begin{array}{l}k > \frac{{{c^2}}}{b}\\\left| {{z_0} - {z_1}} \right| = \left| {{z_0} - {z_2}} \right|\end{array} \right.\)	\(\max P = k + b\) \(\min P = \left| {k - b} \right|\)
(2.4) Nếu thấy \(\left\{ \begin{array}{l}k \le \frac{{{c^2}}}{b}\\\left| {{z_0} - {z_1}} \right| = \left| {{z_0} - {z_2}} \right|\end{array} \right.\)	\(\max P = \frac{a}{c}\sqrt {{k^2} + {c^2}} \) \(\min P = \left| {k - b} \right|\)

Chú ý: Ngoài các trường hợp này ra, các trường hợp còn lại đều không giải tường minh được!

 

 

GIẢI THÍCH CỤ THỂ

1. Hình dạng và thông số của Elip

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định \({F_1},{F_2}\) với độ dài \({F_1}{F_2} = 2c\). Tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng thoả mãn \[M{F_1} + M{F_2} = 2a\] Với \(a > c > 0\) là số dương không đổi. - Hình dạng: - Mối quan hệ của \(a,b,c\) : \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

2. Bài toán liên quan

Bài toán số phức Elip: Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {z - {z_1}} \right| + \left| {z - {z_2}} \right| = 2a\) với \(2a > \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\). Tìm GTLN, GTNN của \(P = \left| {z - {z_0}} \right|\). Sự tương ứng ở đây gồm: · \(M\) là điểm biểu diễn \(z\) và \({F_1},{F_2}\) tương ứng là điểm biểu diễn \({z_1},{z_2}\) thì \(\left| {z - {z_1}} \right| + \left| {z - {z_2}} \right| = 2a\)\( \Leftrightarrow \)M thuộc Elip với 2 tiêu điểm \({F_1},{F_2}\). · A là điểm biểu diễn \({z_0}\) thì \(P = AM\) · \({F_1}{F_2} = 2c = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) và \({b^2} = {a^2} - {c^2}\). · Gọi \(I\) là tâm Elip thì \(AI = \left| {{z_0} - \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right| = k\)

3. Các dạng giải được

Giải:

- Tính \({b^2} = {a^2} - {c^2}\)

- Lập phương trình chính tắc của Elip: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(\left| {z - c} \right| + \left| {z + c} \right| = 2a\). Hoặc \(\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\) với \(\left| {z - ci} \right| + \left| {z + ci} \right| = 2a\)

Cách 1:

- Rút \(y\) theo \(x\) dạng: \(y = \pm \frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} \) đối với \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (tương tự đối với \(\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\))

- Thay vào \(P\) được \({P^2} = {(x - {x_0})^2} + {\left( { \pm \frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} - {y_0}} \right)^2},\;x \in \left[ { - a;a} \right]\) với \({z_0} = {x_0} + {y_0}i\)

- Dùng chức năng TABLE của máy tính cầm tay Casio tìm ra GTLN, GTNN của hàm \({P^2}\) từ đó có \(P\).

Cách 2:

- Từ \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = a\cos t\\y = b\sin t\end{array} \right.\) (\(t \in \left[ {0;2\pi } \right]\)), thì ta có \({P^2} = {\left( {a\cos t - {x_0}} \right)^2} + {\left( {b\sin t - {y_0}} \right)^2} = f(t)\). Khảo sát hàm \(f(t)\) trên \(\left[ {0;2\pi } \right]\) được GTLN, GTNN của \({P^2}\).

Chú ý: Dạng bài điểm A (tức \({z_0}\)) không nằm trên các trục của Elip thì cho dù Elip ở dạng chính tắc cũng rất hiếm khi giải được bằng tay bởi hiếm khi giải tường mình được phương trình \(f'(t) = 0\). Do vậy, hầu như không bao giờ chúng ta gặp phải loại này.

Ví dụ minh hoạ:

Giải:

Cách 1:

- Có \(a = 3,c = 2\)\( \Rightarrow {b^2} = 9 - 4 = 5\)

- Phương trình chính tắc của Elip: \(\cfrac{{{x^2}}}{9} + \cfrac{{{y^2}}}{5} = 1\)\( \Rightarrow y = \pm \cfrac{{\sqrt 5 }}{3}\sqrt {9 - {x^2}} \)

- Vậy \({P^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( { \pm \cfrac{{\sqrt 5 }}{3}\sqrt {9 - {x^2}} + 3} \right)^2} = {f_{1,2}}\left( x \right)\)

- Bấm TABLE các hàm \({f_{1,2}}\left( x \right)\) với \(x \in \left[ { - 3;3} \right]\) được GTLN, GTNN của \({P^2}\).

Cách 2:

Từ \(\cfrac{{{x^2}}}{9} + \cfrac{{{y^2}}}{5} = 1\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\cos t\\y = \sqrt 5 \sin t\end{array} \right.\)\((t \in \left[ {0;2\pi } \right])\)\( \Rightarrow {P^2} = {\left( {3\cos t - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt 5 \sin t + 3} \right)^2}\)\( = f(t)\) .

Phương trình \(f'(t) = 0\) là phương trình bậc 1 và bậc 2 đối với hai biến \(\sin t,\cos t\) nên không phải lúc nào cũng có thể giải tường minh được, trừ khi người ra đề cố tình cho vào tình huống giải được.

Bài toán 2. Elip không có dạng chính tắc nhưng \(A\) nằm trên các trục của Elip

 

Cách giải chung

Gắn vào Elip hệ trục tọa độ Oxy sao cho O trùng với tâm I của Elip, \({F_1}{F_2}\) thuộc Ox. Khi đó, phương trình chính tắc của Elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)\((a > b > 0)\) . Do A nằm trên các trục của Elip và \(AI = \left| {{z_0} - \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right| = k\) nên \(A(0; \pm k)\) hoặc \(A( \pm k;0)\).

Trường hợp 1: A thuộc trục lớn của Elip \( \Leftrightarrow A( \pm k;0)\), ta có:

\({P^2} = {\left( {x \pm k} \right)^2} + {y^2}\)\( = {\left( {x \pm k} \right)^2} + {b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)\)\( = \left( {1 - \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right){x^2} \pm 2kx + {k^2} + {b^2}\)\( = \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}.{x^2} \pm 2kx + {k^2} + {b^2}\)\( = f(x)\) (1).

Khảo sát hàm \(f(x)\) trên đoạn \({\rm{[}} - a;a]\) ta được GTLN, GTNN của \({P^2}\).

Trường hợp 2: A thuộc trục nhỏ của Elip \( \Leftrightarrow A(0; \pm k)\), ta có:

\({P^2} = {x^2} + {\left( {y \pm k} \right)^2}\)\( = {a^2}\left( {1 - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}} \right) + {\left( {y \pm k} \right)^2}\)\( = \left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}} \right){y^2} \pm 2ky + {k^2} + {a^2}\)\( = - \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}.{y^2} \pm 2ky + {k^2} + {a^2}\)\( = f(y)\) (2).

Khảo sát hàm \(f(y)\) trên đoạn \({\rm{[}} - b;b]\) ta được GTLN, GTNN của \({P^2}\).

- Dấu hiệu nhận biết: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_0} - {z_1} = l\left( {{z_0} - {z_2}} \right)\\\left| {{z_0} - \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right| > \frac{{{c^2}}}{a}\end{array} \right.\)

- Xét (1), có \(f(x)\) là hàm số bậc 2 hệ số bậc hai dương, có \(f'(x) = 0\)\( \Leftrightarrow {x_0} = \pm \frac{{k{a^2}}}{{{c^2}}}\) . Theo giả thiêt có \(k > \frac{{{c^2}}}{a}\)\( \Rightarrow {x_0} \notin {\rm{[}} - a;a]\). Tính được \(f( \pm a) = {\left( {k \pm a} \right)^2}\).

- Vậy:

\(\max f(x) = \max \{ f( - a);f(a)\} \)\( = {\left( {k + a} \right)^2}\)\( \Rightarrow \max P = k + a\)

\(\min f(x) = \min \{ f( - a);f(a)\} = {\left( {\left| {k - a} \right|} \right)^2}\)\( \Rightarrow \min P = \left| {k - a} \right|\)

- Dấu hiệu nhận biết: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_0} - {z_1} = k\left( {{z_0} - {z_2}} \right)\\\left| {{z_0} - \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right| \le \frac{{{c^2}}}{a}\end{array} \right.\)

- Xét (1), có \(f(x)\) là hàm số bậc 2 hệ số bậc 2 dương, có \(f'(x) = 0\)\( \Leftrightarrow {x_0} = \pm \frac{{k{a^2}}}{{{c^2}}}\) . Theo giả thiêt có \(k > \frac{{{c^2}}}{a}\)\( \Rightarrow {x_0} \in {\rm{[}} - a;a]\). Tính được \(f( \pm a) = {\left( {k \pm a} \right)^2}\) và \(f({x_0}) = \frac{{{b^2}\left( {{k^2} + {c^2}} \right)}}{{{c^2}}}\).

- Vậy

\(\max f(x) = \max \{ f( - a);f(a)\} \)\( = {\left( {k + a} \right)^2}\)\( \Rightarrow \max P = k + a\)

\(\min f(x) = f({x_0})\)\( \Rightarrow \min P = \frac{b}{c}\sqrt {{k^2} + {c^2}} \)

- Dấu hiệu nhận biết: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_0} - {z_1}} \right| = \left| {{z_0} - {z_2}} \right|\\\left| {{z_0} - \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right| > \frac{{{c^2}}}{b}\end{array} \right.\)

- Xét (2), có \(f(y)\) là hàm số bậc 2 hệ số bậc 2 âm, có \(f'(y) = 0\)\( \Leftrightarrow {y_0} = \pm \frac{{k{b^2}}}{{{c^2}}}\) . Theo giả thiêt có \(k > \frac{{{c^2}}}{b}\)\( \Rightarrow {y_0} \notin {\rm{[}} - b;b]\). Tính được \(f( \pm b) = {\left( {k \pm b} \right)^2}\).

- Vậy:

\(\max f(y) = \max \{ f( - b);f(b)\} \)\( = {\left( {k + b} \right)^2}\)\( \Rightarrow \max P = k + b\)

\(\min f(y) = \min \{ f( - b);f(b)\} = {\left( {\left| {k - b} \right|} \right)^2}\)\( \Rightarrow \min P = \left| {k - b} \right|\)

- Dấu hiệu nhận biết: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_0} - {z_1}} \right| = \left| {{z_0} - {z_2}} \right|\\\left| {{z_0} - \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right| \le \frac{{{c^2}}}{b}\end{array} \right.\)

- Xét (2), có \(f(y)\) là hàm số bậc 2 hệ số bậc 2 âm, có \(f'(y) = 0\)\( \Leftrightarrow {y_0} = \pm \frac{{k{b^2}}}{{{c^2}}}\) . Theo giả thiêt có \(k \le \frac{{{c^2}}}{b}\)\( \Rightarrow {y_0} \in {\rm{[}} - b;b]\). Tính được \(f( \pm b) = {\left( {k \pm b} \right)^2}\)và \(f({y_0}) = \frac{{{a^2}\left( {{k^2} + {c^2}} \right)}}{{{c^2}}}\)

- Vậy:

\(\max f(y) = f({y_0})\)\( = \frac{a}{c}\sqrt {{k^2} + {c^2}} \)

\(\min f(y) = \min \{ f( - b);f(b)\} = {\left( {\left| {k - b} \right|} \right)^2}\)\( \Rightarrow \min P = \left| {k - b} \right|\)

Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Cho số phức \(z\) thoả mãn: \(\left| {z - i} \right| + \left| {z - 3 + 3i} \right| = 6\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {z - 6 + 7i} \right|\)

 

Giải:

Có \({z_1} = i\)\( \Rightarrow {F_1}(0;1)\) ; \({z_2} = 3 - 3i\)\( \Rightarrow {F_2}(3; - 3)\)\( \Rightarrow A(6; - 7)\) . \(I\) là trung điểm của \({F_1}{F_2}\) thì \(I = \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2} = (\frac{3}{2}; - 1)\)\( \Rightarrow \)\(k = AI = \sqrt {\frac{{81}}{4} + 36} \)\( = \frac{{15}}{2}\) .

Có \({z_0} - {z_1} = 6 - 8i\); \({z_0} - {z_2} = 3 - 4i\)\( \Rightarrow {z_0} - {z_1} = 2\left( {{z_0} - {z_2}} \right)\). Vậy \(A\) thuộc \({F_1}{F_2}\) .

Mặt khác, có \(a = 3\), \(c = \frac{{{F_1}{F_2}}}{2} = \frac{5}{2}\)\( \Rightarrow \frac{{{c^2}}}{a} = \frac{{25}}{{12}}\)\( \Rightarrow k > \frac{{{c^2}}}{a}\) .

Vậy \(\max P = k + a\)\( = \frac{{21}}{2}\) ; \(\min P = k - a\)\( = \frac{9}{2}\) .

Giải:

\(\left| {(z + 3)i + 2} \right| + \left| {\left( {\bar z - 3} \right)i - 2} \right| = 8\)\( \Leftrightarrow \left| {z + 3 - 2i} \right| + \left| {z - 3 - 2i} \right| = 8\). Ta thấy ngay \({z_1} = - 3 + 2i\), \({z_2} = 3 + 2i\), \({z_0} = 0\).

Có \(2c = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 6\)\( \Rightarrow c = 3;b = \sqrt 7 \) . Dễ kiển tra thấy \(\left| {{z_0} - {z_1}} \right| = \left| {{z_0} - {z_2}} \right|\).

Có \(\left| {{z_0} - \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right| = 2\)\( \Rightarrow k = 2\) và \(\frac{{{c^2}}}{b} = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\)\( \Rightarrow k < \frac{{{c^2}}}{b}\) .

Áp dụng công thức, \(\min P = \left| {k - b} \right| = \sqrt 7 - 2\) và \(\max P = \frac{a}{c}\sqrt {{k^2} + {c^2}} \)\( = \frac{{4\sqrt {4 + 9} }}{3} = \frac{{4\sqrt {13} }}{3}\)

 

Giải:

- Tính \(2c = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\)\( \Rightarrow c = \frac{{\left| {{z_1} - {z_2}} \right|}}{2}\)

- Tính \({b^2} = {a^2} - {c^2}\)\( \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} \)

- Áp dụng công thức của Bài toán 2.2 hoặc Bài toán 2.4, ta đều có:

+ \(AM\) lớn nhất bằng \(a\) hay \(\max P = a\)

+ \(AM\) nhỏ nhất bằng \(b\) hay \(\min P = b\)

 

Ví dụ minh hoạ:

Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {z - 1 + 3i} \right| + \left| {z + 2 - i} \right| = 8\). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {2z + 1 + 2i} \right|\) .

 

Giải:

Ta có \(P = \left| {2z + 1 + 2i} \right|\)\( \Rightarrow \frac{P}{2} = \left| {z + \frac{1}{2} + i} \right|\). Ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của \(P' = \left| {z + \frac{1}{2} + i} \right|\)

Ta thấy \({z_1} = 1 - 3i\), \({z_2} = - 2 + i\) và \({z_0} = - \frac{1}{2} - i\). Do đó \({z_0} = \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}\)\( \Rightarrow \left| {{z_0} - \frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \right| = 0\) .

- Tính \(2c = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 5\)\( \Rightarrow c = \frac{5}{2}\) ; \(2a = 8 \Rightarrow a = 4\). Vậy \(b = \sqrt {16 - \frac{{25}}{4}} = \frac{{\sqrt {39} }}{2}\)

Vậy \(\max P' = 4\) ; \(\min P' = \frac{{\sqrt {39} }}{2}\) . Do đó \(\max P = 8\) và \(\min P = \sqrt {39} \)

 

ELIP SUY BIẾN

 

Giải:

- Bài toán tương đương với bài toán hình học: \(M{F_1} + M{F_2} = {F_1}{F_2}\). Tìm GTLN, GTNN của \(T = AM\).

- Giả thiết \(M{F_1} + M{F_2} = {F_1}{F_2}\)tương đương với M di chuyển trong đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\). Do đó:

+ Viết phương trình đường thẳng \({F_1}{F_2}\) với \(x \in {\rm{[}}{{\rm{x}}_1};{x_2}{\rm{]}}\) (ở đây \({x_1},{x_2}\) lần lượt là hoành độ của \({F_1},{F_2}\))

+ Rút \(y\) theo \(x\) từ phương trình \({F_1}{F_2}\) vào \(T\) được \(T = f(x)\) với \(x \in {\rm{[}}{{\rm{x}}_1};{x_2}{\rm{]}}\).

+ Tìm GTLN, GTNN của \(f(x)\) trên đoạn \(x \in {\rm{[}}{{\rm{x}}_1};{x_2}{\rm{]}}\).

 

Ví dụ minh hoạ

Giải

Với các quy ước từ ban đầu, có \({F_1}( - 2;1)\), \({F_2}(4; - 7)\) và \(A(1;4)\). \(M\) là điểm biểu diễn \(z\).

Có \({F_1}{F_2} = 10\) do đó \(\left| {z + 2 - i} \right| + \left| {z - 4 + 7i} \right| = 10\)\( \Leftrightarrow \)\(M\) thuộc đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\).

Có \(\overrightarrow {{F_1}{F_2}} = (6; - 8)\) nên phương trình tham số của \({F_1}{F_2}\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\) . Với \[x \in {\rm{[}} - 2;4]\]\( \Rightarrow t \in {\rm{[}}0;2]\) .

Có \({P^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2}\)\( = {\left( {3t - 3} \right)^2} + {\left( {4t + 3} \right)^2}\)\( = 25{t^2} + 6t + 18\) với \( \Rightarrow t \in {\rm{[}}0;2]\).

Khảo sát hàm \(f(t) = 25{t^2} + 6t + 18\) trên \[{\rm{[}}0;2]\] được GTNN của \(f(t)\) bằng 18, GTLN bằng 130.

Vậy \(\min P = 3\sqrt 2 \) và \(\max P = \sqrt {130} \)

 

 

 

 

1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA

· Cho số phức \(z = a + bi\), mô đun của \(z\) ký hiệu là \(\left| z \right|\) được tính bởi \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

· Mỗi số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bởi điểm \(M(a;b)\) hay \(\overrightarrow {OM} \)

· Mỗi số phức \(z = a + bi\) có thể coi là một vecto \(\vec u = (a;b)\)

· Tổng (hiệu) hai số phức bằng tổng (hiệu) hai vecto

· \(|z| = |\vec u|\)

2. TÍNH CHẤT:

· \({\left| z \right|^2} = z.\bar z\); \({\left| z \right|^2} = {\left| {\vec u} \right|^2}\); \(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_2}} \right|\);

· \(\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}\); \(\left| z \right| = \left| {\bar z} \right|\); \(\left| {{z^n}} \right| = {\left| z \right|^n}\);

· \(\left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\). Dấu “=” xảy ra khi \({z_1} = - k.{z_2}\) (\(k > 0\))

· \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\). Dấu “=” xảy ra khi \({z_1} = k.{z_2}\) (\(k > 0\))

· Cho \(M,N\) lần lượt biểu diễn hai số phức \({z_1},{z_2}\), thì \(MN = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\)

· M biểu diễn \(z\) và I biểu diễn \({z_0}\) thì \(\left| {z - {z_0}} \right| = R\)\( \Leftrightarrow \) M thuộc đường tròn tâm \(I\) bán kính R.

· M biểu diễn \(z\), \({F_1}\) biểu diễn \({z_1}\) và \({F_2}\) biểu diễn \({z_2}\) thì \(\left| {z - {z_1}} \right| = \left| {z - {z_2}} \right|\)\( \Leftrightarrow \) M thuộc đường trung trực của \({F_1}{F_2}\).

3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÁP DỤNG

Cách giải

+ Nhận biết: Phương trình đã cho chỉ có bậc nhất với \(z\) nhưng có thể đứng nhiều nơi, còn lại là các biểu thức chứa \(\left| z \right|\) .

+ Nhóm \(z\) sang một vế đưa về dạng: \(\boxed{z.f(|z|) = g(|z|)}\)(*)

+ Lấy mô đun hai vế của (*) sử dụng tính chất \(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_2}} \right|\) được phương trình ẩn là \(\left| z \right|\) .

+ Giải phương trình được \(\left| z \right|\) .

+ Thế \(\left| z \right|\) trở lại (*) giải ra \(z\)

VÍ DỤ MINH HOẠ

Hướng dẫn: Ta thấy trong phương trình chỉ có bậc nhất với \(z\), còn lại là \(\left| z \right|\) (chú ý là \(z.\bar z = {\left| z \right|^2}\)). Vậy đây là dạng toán đang tìm hiểu!.

Chuyển hết \(z\) sang một vế ta được: \(z\left( {\sqrt {3{{\left| z \right|}^2} + 1} - 6\left| z \right|i} \right) = 2\left| z \right|\) (*).

Lấy mô đun 2 vế của (*) ta được: \(\left| z \right|\sqrt {(3{{\left| z \right|}^2} + 1) + 36{{\left| z \right|}^2}} = 2\left| z \right|\)\( \Leftrightarrow \)\(\sqrt {39{{\left| z \right|}^2} + 1} = 2\) (do \(z \ne 0\)) \( \Leftrightarrow \left| z \right| = \frac{1}{{\sqrt {13} }}\).

Hướng dẫn: Điều kiện \(z \ne 0\), quy đồng ta được \((2 + i)\left| z \right|z = \sqrt {10} + z - 2iz\)\( \Leftrightarrow \left( {2\left| z \right| - 1 + \left( {\left| z \right| + 2} \right)i} \right)z = \sqrt {10} \)\( \Rightarrow \sqrt {{{\left( {2\left| z \right| - 1} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| + 2} \right)}^2}} .\left| z \right| = \sqrt {10} \)\( \Rightarrow 5{\left| z \right|^4} + 5{\left| z \right|^2} = 10\)\( \Rightarrow \left| z \right| = 1\)

Đáp số: \(\left| z \right| = 2\)

Hướng dẫn: Dồn \(z\) về một vế ta được \(z\left( {1 + 3i} \right) = \left( {\left| z \right| + 4} \right) + \left( {\left| z \right| - 4} \right)i\)

Lấy mô đun 2 vế, suy ra \(\left| z \right|\sqrt {10} = \sqrt {{{\left( {\left| z \right| + 4} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| - 4} \right)}^2}} \)\( \Leftrightarrow 10{\left| z \right|^2} = 2{\left| z \right|^2} + 32\)\( \Leftrightarrow \left| z \right| = 2\)

Đáp số: \(\left| z \right| = 1\)

Hướng dẫn: Quy đồng và dồn \(z\) về một vế ta được \((1 + i)\left| z \right|z = \left( {1 - 2\left| z \right|} \right) + \left| z \right|i\) . Lấy mô đun 2 vế ta được \(\sqrt 2 {\left| z \right|^2} = \sqrt {{{\left( {1 - 2\left| z \right|} \right)}^2} + {{\left| z \right|}^2}} \)\( \Leftrightarrow 2{\left| z \right|^4} = 5{\left| z \right|^2} - 4\left| z \right| + 1\) (chú ý \(\left| z \right| > 0\) )

Nhẩm thấy phương trình có nghiệm \(\left| z \right| = 1\), phương trình bậc 3 còn lại vô nghiệm với \(\left| z \right| > 0\).

 

Cách giải

Coi \({z_1} = \vec u\) và \({z_2} = \vec v\) thì \({\vec u^2} = |\vec u{|^2} = {m^2}\), \({\vec v^2} = |\vec v{|^2} = {n^2}\) và \({(a\vec u + b\vec v)^2} = {p^2}\) ; \({(c\vec u + d\vec v)^2} = {p^2}\).

Khai triển:

\({p^2} = {a^2}{m^2} + {b^2}{n^2} + 2ab.\vec u\vec v\) (1)

\({q^2} = {c^2}{m^2} + {d^2}{n^2} + 2cd.\vec u\vec v\) (2)

Bây giờ khử \(\vec u\vec v\) là xong:

Nhân (1) với \(cd\) và nhân (2) với \(ab\) rồi trừ đi, được:

\(cd.{p^2} - ab.{q^2} = cd\left( {{a^2}{m^2} + {b^2}{n^2}} \right) - ab\left( {{c^2}{m^2} + {d^2}{n^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow cd.{p^2} - ab.{q^2} = ac{m^2}(ad - bc) - bd{n^2}( - bc + ad)\)\(\boxed{ \Leftrightarrow cd.{p^2} - ab.{q^2} = (ad - bc)(ac{m^2} - bd{n^2})}\)

Đặc biệt: Khi \(a = b = 1\) và \(c = - d = 1\), ta có công thức hình bình hành

\(\boxed{2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right) = {{\left| {{z_1} + {z_2}} \right|}^2} + {{\left| {{z_1} - {z_2}} \right|}^2}}\)

 

VÍ DỤ MINH HỌA

Đáp số: \(P = \sqrt {241} \)

Hướng dẫn: coi các số phức \({z_1},{z_2}\) là các vector \(\vec u,\vec v\) ta có:

\(4 = {\left| {{z_1} - 3{z_2}} \right|^2}\)\( = {\left| {{z_1}} \right|^2} + 9{\left| {{z_2}} \right|^2} - 6\vec u.\vec v\) (1)

\({P^2} = {\left| {2{z_1} + 3{z_2}} \right|^2} = 4{\left| {{z_1}} \right|^2} + 9{\left| {{z_2}} \right|^2} + 12\vec u.\vec v\) (2)

Nhân (1) với 2 rồi cộng với (2) ta được: \(8 + {P^2} = 6{\left| {{z_1}} \right|^2} + 27{\left| {{z_2}} \right|^2}\)\( \Rightarrow {P^2} = 241\)\( \Rightarrow P = \sqrt {241} \)

Đáp số : \(\max P = \sqrt {34} \)

Hướng dẫn: coi các số phức \({z_1},{z_2}\) là các vector \(\vec u,\vec v\) ta có:

\(25 = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + 2\vec u.\vec v\) (1) và \(9 = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} - 2\vec u.\vec v\) (2). Cộng (1) với (2) được \(34 = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\) . Mặt khác, theo bất đẳng thức BNC, ta có \({P^2} = {\left( {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|} \right)^2} \le 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\)\( \Rightarrow {P^2} \le 34\)\( \Rightarrow P \le \sqrt {34} \) .

Đáp số: \(\max P = \sqrt {\frac{{155}}{{14}}} \)

Hướng dẫn: coi các số phức \({z_1},{z_2}\) là các vector \(\vec u,\vec v\) ta có:

\(25 = {\left| {{z_1}} \right|^2} + 4{\left| {{z_2}} \right|^2} + 4\vec u.\vec v\) (1) và \(9 = 9{\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} - 6\vec u.\vec v\) (2). Nhân (1) với 3 và nhân (2) với 2 rồi cộng lại ta có: \(93 = 21{\left| {{z_1}} \right|^2} + 14{\left| {{z_2}} \right|^2}\) .

Bây giờ áp dụng bất đẳng thức BNC cho \({P^2}\) :

\({P^2} = {\left( {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|} \right)^2}\)\( = {\left( {\frac{1}{{\sqrt {21} }}\left( {\sqrt {21} \left| {{z_1}} \right|} \right) + \frac{1}{{\sqrt {14} }}\left( {\sqrt {14} \left| {{z_2}} \right|} \right)} \right)^2}\)\( \le \left( {\frac{1}{{21}} + \frac{1}{{14}}} \right)\left( {21{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + 14{{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\)\( = \frac{{155}}{{14}}\)\( \Rightarrow P \le \sqrt {\frac{{155}}{{14}}} \) .

 

Cách giải

Ý nghĩa hình học: Cho điểm M chuyển động trên đường tròn tâm I bán kính R. Cho A, B là 2 điểm cố định thỏa mãn I nằm trong đoạn thẳng AB. Tìm giá trị lớn nhất của \[P = aMA + bMB\].

Trừ khi I là trung điểm của AB, nếu không sử dụng hình học để giải bài này là nhiệm vụ không hề dễ dàng.

Ta sẽ dùng các tính chất về mô đun của số phức để giải quyết bài toán.

Ta có:

\({\left| {z - {z_1}} \right|^2} = {\left| {z - {z_0} + {z_0} - {z_1}} \right|^2}\)\( = {\left| {z - {z_0}} \right|^2} + {\left| {{z_0} - {z_1}} \right|^2} + 2\vec u.( - k\vec v)\) (1)

\({\left| {z - {z_2}} \right|^2} = {\left| {z - {z_0} + {z_0} - {z_2}} \right|^2}\)\( = {\left| {z - {z_0}} \right|^2} + {\left| {{z_0} - {z_2}} \right|^2} + 2\vec u.\vec v\) (2)

với \(\vec u\) là vector biểu diễn \(z - {z_0}\) và \(\vec v\) là vector biểu diễn \({z_0} - {z_2}\) với lưu ý \({z_0} - {z_1} = - k\left( {{z_0} - {z_2}} \right)\)

Nhân (2) với \(k\) rồi cộng với \((1)\) ta được:

\({\left| {z - {z_1}} \right|^2} + k{\left| {z - {z_2}} \right|^2} = \)\((1 + k)\left( {{R^2} + k{{\left| {{z_0} - {z_2}} \right|}^2}} \right)\) (không đổi)

Ap dụng bất đẳng thức BNC cho \({P^2}\), ta có:

\({P^2} = {\left( {a\left| {z - {z_1}} \right| + b\left| {z - {z_2}} \right|} \right)^2}\)\( = {\left( {a\left| {z - {z_1}} \right| + \frac{b}{{\sqrt k }}\sqrt k \left| {z - {z_2}} \right|} \right)^2}\)\( \le \left( {{a^2} + \frac{{{b^2}}}{k}} \right)\left( {{{\left| {z - {z_1}} \right|}^2} + k{{\left| {z - {z_2}} \right|}^2}} \right)\)

\( \Rightarrow \)\({P^2} \le \left( {{a^2} + \frac{{{b^2}}}{k}} \right)(1 + k)\left( {{R^2} + k{{\left| {{z_0} - {z_2}} \right|}^2}} \right)\) .

Vậy, với công thức cồng kềnh như vậy rất khó nhớ, cho nên các em nên nhớ cách làm của nó.

 

VÍ DỤ MINH HỌA

Đáp số: \(\max T = 4\)

Hướng dẫn: Tâm I đường tròn trong giải thiết là \({z_0} = 1\), bán kính \(r = \sqrt 2 \). Điểm A và B ứng với hai số phức \({z_1} = - i\) và \({z_2} = 2 + i\). Dễ thấy rằng \({z_0} - {z_1} = - \left( {{z_0} - {z_2}} \right)\). Vậy thậm chí I là trung điểm của AB. Ta có:

\({\left| {z + i} \right|^2} = {\left| {z - 1 + 1 + i} \right|^2}\)\( = {\left| {z - 1} \right|^2} + {\left| {1 + i} \right|^2} + 2\vec u.\vec v\) (1)

\({\left| {z - 2 - i} \right|^2} = {\left| {z - 1 - 1 - i} \right|^2}\)\( = {\left| {z - 1} \right|^2} + {\left| {1 + i} \right|^2} - 2\vec u.\vec v\) (2). Với \(\vec u,\vec v\) biểu diễn \(z - 1\) và \(1 + i\).

Cộng (1) với (2) ta được:

\({\left| {z + i} \right|^2} + {\left| {z - 2 - i} \right|^2} = 2{\left| {z - 1} \right|^2} + 4\)\( = 8\) (không đổi)

Áp dụng BNC:

\({T^2} = {\left( {\left| {z + i} \right| + \left| {z - 2 - i} \right|} \right)^2}\)\( \le 2\left( {{{\left| {z + i} \right|}^2} + {{\left| {z - 2 - i} \right|}^2}} \right)\)\( = 16\)\( \Rightarrow T \le 4\)

Đáp số: \(\max T = 3\sqrt 7 \)

Hướng dẫn: Ta có

\({\left| z \right|^2} = {\left| {z - 1 - 2i + 1 + 2i} \right|^2}\)\( = {\left| {z - 1 - 2i} \right|^2} + {\left| {1 + 2i} \right|^2} + 2\vec u.\vec v\) (1)

\({\left| {z - 3 - 6i} \right|^2} = {\left| {z - 1 - 2i - 2 - 4i} \right|^2}\)\( = {\left| {z - 1 - 2i} \right|^2} + 4{\left| {1 + 2i} \right|^2} - 4\vec u.\vec v\) (2). Với \(\vec u,\vec v\) biểu diễn \(z - 1 - 2i\) và \(1 + 2i\).

Nhân (1) với 2 rồi cộng với (2) được:

\(2{\left| z \right|^2} + {\left| {z - 3 - 6i} \right|^2} = \)\(3{\left| {z - 1 - 2i} \right|^2} + 6{\left| {1 + 2i} \right|^2}\)\( = 12 + 30 = 42\)

Áp dụng bất đẳng thức BNC:

\({T^2} = {\left( {\left| z \right| + \left| {z - 3 - 6i} \right|} \right)^2}\)\( = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt 2 \left| z \right| + \left| {z - 3 - 6i} \right|} \right)^2}\)\( \le \left( {\frac{1}{2} + 1} \right)\left( {2{{\left| z \right|}^2} + {{\left| {z - 3 - 6i} \right|}^2}} \right)\)\( = 63\)\( \Rightarrow T \le 3\sqrt 7 \)

Cách giải

Ý nghĩa hình học: Gọi \(I\) là điểm biểu diễn \({z_0}\) và \(M,A,B\) lần lượt biểu diễn \(z,{z_1},{z_2}\) thì bài toán trở thành:

Cho hai điểm \(A,B\) nằm ngoài đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) và số thực \(k = \frac{{IA}}{R}\). Tìm GTNN của \(T = MA + kMB\)

Lấy điểm \(A'\) trên đoạn \(IA\) sao cho \(IA'.IA = {R^2}\)\( \Rightarrow \)\(\overrightarrow {IA'} = \frac{{{R^2}}}{{I{A^2}}}\overrightarrow {IA} \)\( \Rightarrow \)\(A’\) cố định ($A’$ còn gọi là ảnh của $A$ qua phép nghịch đảo tâm $I$ tỉ số $R^2$). Khi đó ta có \(\frac{{IA'}}{{IM}} = \frac{{IM}}{{IA}}\)\( \Rightarrow \Delta IA'M \approx \Delta IMA\) (c.g.c) \( \Rightarrow \frac{{MA'}}{{MA}} = \frac{{IA'}}{{IM}}\)\( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MA'}} = \frac{{IA}}{R}\) . Mà giả thiết cho \(k = \frac{{IA}}{R}\) nên \(MA = kMA'\). Vậy \(T = MA + kMB = k\left( {MA' + MB} \right)\)\( \ge kA'B\) . Vì \(B\) nằm ngoài đường tròn trong khi \(A'\) nằm trong đường tròn nên dấu “=” xảy ra tại \(A'B\) cắt đường tròn.

Đáp số: \(\min T = kA'B\) với \(A'\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA'} = \frac{1}{{{k^2}}}\overrightarrow {IA} \)

 

Ví dụ 1: Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 1 - i} \right| = 5\). Tìm GTNN của \(T = \left| {z - 7 - 9i} \right| + 2\left| {z - 8i} \right|\)

Đáp số: \(\min T = 5\sqrt 5 \).

Hướng dẫn: Giả thiết \(\left| {z - 1 - i} \right| = 5\) là đường tròn tâm \(I(1;1)\) bán kính \(R = 5\). Biểu thức \(T = MA + 2MB\) với \(A(7;9)\) và \(B(0;8)\). Ta thấy \(IA = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\) và \(k = \frac{{AI}}{R} = \frac{{10}}{5} = 2\). Dễ thấy các điểm \(A,B\) nằm ngoài đường tròn. Vậy các điều kiện của bài toán được thỏa mãn.

Ta tìm \(A'\) thỏa mãn: \(\overrightarrow {IA'} = \frac{1}{4}\overrightarrow {IA} \)\( = \left( {\frac{3}{2};2} \right)\)\( \Rightarrow A' = I + \left( {\frac{3}{2};2} \right)\)\( = \left( {\frac{5}{2};3} \right)\)\( \Rightarrow A'B = \sqrt {\frac{{25}}{4} + 25} \)\( = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\) . Vậy \(\min T = 2A'B\)\( = 5\sqrt 5 \) .

Ví dụ 2: Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i} \right| = 1\). Tìm GTNN của \(T = \left| {\bar z - \sqrt 2 - i} \right| + \sqrt 2 \left| {z - \sqrt 2 + 3i} \right|\)

Đáp số: \(\min T = 3\)

Hướng dẫn: Giả thiết \(\left| {z + i} \right| = 1\) là đường tròn tâm \(I(0; - 1)\) bán kính \(R = 1\). Biểu thức \(T = MA + \sqrt 2 MB\) với \(A(\sqrt 2 ; - 1)\) và \(B(\sqrt 2 ; - 3)\). Ta thấy \(IA = \sqrt 2 \) và \(k = \frac{{AI}}{R} = \frac{{\sqrt 2 }}{1} = \sqrt 2 \). Dễ thấy các điểm \(A,B\) nằm ngoài đường tròn. Vậy các điều kiện của bài toán được thỏa mãn.

Ta tìm \(A'\) thỏa mãn: \(\overrightarrow {IA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IA} \)\( = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\)\( \Rightarrow A' = I + \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};0} \right)\)\( = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}; - 1} \right)\)\( \Rightarrow A'B = \sqrt {\frac{1}{2} + 4} \)\( = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\) . Vậy \(\min T = \sqrt 2 A'B\)\( = 3\) .

Cách giải

Áp dụng bất đẳng thức \(\left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\), ta có \(\left| {{{\left| z \right|}^2} - \left| {{z_0}} \right|} \right| \le \left| {{z^2} + {z_0}} \right|\) . Mặt khác, \(\left| {{z^2} + {z_0}} \right| \le k\left| z \right|\)\( \Rightarrow \left| {{{\left| z \right|}^2} - \left| {{z_0}} \right|} \right| \le k\left| z \right|\)\( \Rightarrow - k\left| z \right| \le {\left| z \right|^2} - \left| {{z_0}} \right| \le k\left| z \right|\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| z \right|^2} - k\left| z \right| - \left| {{z_0}} \right| \le 0\\{\left| z \right|^2} + k\left| z \right| - \left| {{z_0}} \right| \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - k + \sqrt {{k^2} + 4\left| {{z_0}} \right|} }}{2} \le \left| z \right| \le \frac{{k + \sqrt {{k^2} + 4\left| {{z_0}} \right|} }}{2}\) . Đánh giá 1 lần đối với hàm 2 biến đảm bảo dấu “=” xảy ra. Tôi không giải chi tiết ở đây.

Vậy \(\min T = \frac{{ - k + \sqrt {{k^2} + 4\left| {{z_0}} \right|} }}{2}\) và \(\max T = \frac{{k + \sqrt {{k^2} + 4\left| {{z_0}} \right|} }}{2}\)

VÍ DỤ MINH HỌA

Đáp số: \(T = 2\sqrt 5 \)

Hướng dẫn: \(\left| {z + \frac{{4i}}{z}} \right| = 2\)\( \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 4i} \right| = 2\left| z \right|\) . Áp dụng bất đẳng thức \(\left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\), ta có \(\left| {{{\left| z \right|}^2} - 4} \right| \le \left| {{z^2} + 4i} \right|\)\( \Rightarrow - 2\left| z \right| \le {\left| z \right|^2} - 4 \le 2\left| z \right|\)\( \Rightarrow - 1 + \sqrt 5 \le \left| z \right| \le 1 + \sqrt 5 \) .

Vậy \(M = 1 + \sqrt 5 \) và \(m = - 1 + \sqrt 5 \) . Do đó \(T = 2\sqrt 5 \)

Hướng dẫn: Ta có thể đưa về dạng quen thuộc bằng cách chia cả hai vế cho \(\left| {1 + i} \right|\) , ta được \(\left| {{z^2} + \frac{{1 - 2i}}{{1 + i}}} \right| \le \left| z \right|\) .

Áp dụng bất đẳng thức \(\left| {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\), ta có \(\left| {{{\left| z \right|}^2} - \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}} \right| \le \left| {{z^2} + \frac{{1 - 2i}}{{1 + i}}} \right| \le \left| z \right|\)\( \Rightarrow - \left| z \right| \le {\left| z \right|^2} - \frac{{\sqrt {10} }}{2} \le \left| z \right|\)\( \Rightarrow - 1 + \sqrt {1 + 2\sqrt {10} } \le \left| z \right| \le 1 + \sqrt {1 + 2\sqrt {10} } \) .

Vậy \(\max T = 1 + \sqrt {1 + 2\sqrt {10} } \) và \(\min T = - 1 + \sqrt {1 + 2\sqrt {10} } \)

 

Cách giải

Ý nghĩa hình học: Gọi M là điểm biểu diễn \(z\), có \(\left| {{z_1}.z - {z_2}} \right| = k\)\( \Leftrightarrow \left| {z - \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right| = \frac{k}{{\left| {{z_1}} \right|}}\)\( \Leftrightarrow IM = R\) với \(I\)biểu diễn \(\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}\) và \(R = \frac{k}{{\left| {{z_1}} \right|}}\) . Vậy M chuyển động trên đường tròn tâm \(I\) bán kính R. Gọi A là điểm biểu diễn \({z_0}\) thì \(T = AM\). Bài toán trở thành: “cho M di chuyển trên đường tròn tâm I bán kính R và A là điểm cố định. Tìm GTLN, GTNN của AM”

 

Như vậy, nhìn vào hình vẽ ta thấy ngay:

\(\min T = \left| {AI - R} \right|\)\( = \left| {\left| {{z_0} - \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right| - \frac{k}{{\left| {{z_1}} \right|}}} \right|\)\( = \frac{{\left| {\left| {{z_1}.{z_0} - {z_2}} \right| - k} \right|}}{{\left| {{z_1}} \right|}}\)

\(\max T = AI + R\)\( = \left| {{z_0} - \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right| + \frac{k}{{\left| {{z_1}} \right|}}\)\( = \frac{{\left| {{z_1}.{z_0} - {z_2}} \right| + k}}{{\left| {{z_1}} \right|}}\)

(tử số như là thay \({z_0}\) vào phương trình đường tròn vậy)

Lưu ý: Không phải phương trình đường tròn nào cũng có dạng \(\left| {{z_1}.z - {z_2}} \right| = k > 0\), mà đôi khi nó ở dạng \(\left| {{z_1}z - {z_2}} \right| = \left| {{z_1}z - {z_3}} \right|\) với \(\left| {{z_1}} \right| \ne \left| {{z_2}} \right|\). Do đó, để kiểm tra điều kiện giả thiết là phương trình đường tròn hay đường thẳng trong trường hợp lạ, cách tốt nhất là gọi \(z = x + yi\) rồi thay vào giả thiết để biết \((x;y)\) thỏa mãn phương trình nào.

 

 

 

VÍ DỤ MINH HỌA

Đáp số: \(\min P = 4 - \sqrt {13} \) và \(\max P = 4 + \sqrt {13} \)

Hướng dẫn: Viết T dạng \(T = \left| {z - {z_0}} \right|\) thì \({z_0} = - 1 + i\). Thay vào phương trình đầu ta được \(\left| {{z_0} - 1 + 2i} \right| = \left| { - 2 + 3i} \right|\).

Vậy \(\min P = 4 - \sqrt {13} \) và \(\max P = 4 + \sqrt {13} \)

Đáp số: \(\min P = \frac{{5\sqrt 2 - 1}}{2}\) và \(\max P = \frac{{5\sqrt 2 + 1}}{2}\).

Hướng dẫn: Viết T dạng \(T = \left| {z - {z_0}} \right|\) thì \({z_0} = - 2 + 3i\). Thay \({z_0}\) vào \(\left| {2iz - 1 + 3i} \right|\) ta được \(\left| {2i{z_0} - 1 + 3i} \right|\)\( = \left| { - 7 - i} \right| = 5\sqrt 2 \) .

Vậy \(\min P = \frac{{5\sqrt 2 - 1}}{2}\) và \(\max P = \frac{{5\sqrt 2 + 1}}{2}\)

Đáp số: \(\min T\)\( = \frac{{\sqrt {65} }}{3} - \frac{{\sqrt {11} }}{3}\) và \(\max T\)\( = \frac{{\sqrt {65} }}{3} + \frac{{\sqrt {11} }}{3}\)

Hướng dẫn: Gọi \(z = x + yi\) (\(x,y \in \mathbb{R}\)), và \(M(x;y)\) biểu diễn \(z\) thì \(\left| {2z - 1} \right| = \left| {z + 2i} \right|\)\( \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} + {\left( {2y} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} - 4x - 4y - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}y - 1 = 0\) . Vậy \(M\) nằm trên đường tròn tâm \(I\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)\) bán kính\(R = \frac{{\sqrt {11} }}{3}\) .

Có \(T = \left| {z + 1 + 2i} \right| = AM\) với \(A( - 1; - 2)\).

Vậy \(\min T = AI - R\)\( = \frac{{\sqrt {65} }}{3} - \frac{{\sqrt {11} }}{3}\) và \(\max T = AI + R\)\( = \frac{{\sqrt {65} }}{3} + \frac{{\sqrt {11} }}{3}\)

 

Cách giải

Ý nghĩa hình học: Điều kiện \(\left| {z - {z_1}} \right| = \left| {z - {z_2}} \right|\) thực chất là phương trình đường thẳng.

Nếu ta gọi \(M\) là điểm biểu diễn \(z\), \(A\) là điểm biểu diễn \({z_1}\) và \(B\) biểu diễn \({z_2}\) thì giả thiết tương đương với \(MA = MA\) hay \(M\) nằm trên trung trực của \(AB\). Gọi \(I\) là điểm biểu diễn \({z_0}\) thì \(T = IM\).

 

Vậy \(IM\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(d\). Giá trị nhỏ nhất bằng \(\min T = d\left( {I,d} \right)\).

Lưu ý: Không phải phương trình đường thẳng nào cũng có dạng \(\left| {z - {z_1}} \right| = \left| {z - {z_2}} \right|\), cho nên khi gặp giả thiết lạ, cách tốt nhất để nhận biết giả thiết là đường thẳng hay đường tròn là gọi \(z = x + yi\) rồi thay vào phương trình.

VÍ DỤ MINH HỌA

Đáp số: \(\min \left| z \right| = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Hướng dẫn: Gọi \(z = x + yi\) thì \(M(x;y)\) là điểm biểu diễn \(z\). Từ \(\left| {z + i + 1} \right| = \left| {\bar z - 2i} \right|\)\( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y + 1)^2}\)\( = {x^2} + {(y + 2)^2}\)\( \Leftrightarrow x - y - 1 = 0\) (d). Vậy M di chuyển trên (d).

Có \(\left| z \right| = OM\), do đó \(\left| z \right|\) nhỏ nhất bằng \(d(O;d) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Đáp số: \(\min T = 3\sqrt 2 \)

Hướng dẫn: Gọi \(z = x + yi\), ta có \(\left( {z + 3 - i} \right)\left( {\bar z + 1 + 3i} \right)\)\( = \left( {(x + 3) + (y - 1)i} \right) \times \)\(\left( {(x + 1) + ( - y + 3)i} \right)\). Tích này có phần ảo là \(\left( {x + 3} \right)\left( { - y + 3} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\) . Phần ảo bằng 0 \( \Leftrightarrow 3x - 3y + 9 - x + y - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\) (d). Vậy nếu gọi M là điểm biểu diễn \(z\) thì M chạy trên đường thẳng (d).

Gọi \(A(1; - 1)\) là điểm biểu diễn \(1 - i\) thì \(T = AM\). Giá trị \(T\) nhỏ nhất bằng khoảng cách từ \(A\)đến (d). Vậy \(\min T = \frac{{\left| {1 + 1 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \)

Cách giải

Ý nghĩa hình học:Gọi M, N là các điểm biểu diễn \({z_1},{z_2}\). Giả thiết \(\left| {{z_1} - z_1^*} \right| = R\)tương đương với M thuộc đường tròn tâm I bán kính R (gọi là đường tròn (C)). Giả thiết \(\left| {{z_2} - z_2^*} \right| = \left| {{z_2} - z_3^*} \right|\) tương đương với N thuộc đường thẳng (d). Bài toán trở thành tìm M thuộc (C) và N thuộc (d) sao cho \(T = MN\)ngắn nhất.

Từ hình vẽ ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của \(MN\) bằng \(d(I,(d)) - R\)

Vậy \(\min T = d\left( {I,(d)} \right) - R\).

 

 

 

VÍ DỤ MINH HỌA

Đáp số: \(\min MN = \frac{5}{2}\).

Hướng dẫn: : Gọi M, N là các điểm biểu diễn \({z_1},{z_2}\). Giả thiết \(\left| {{z_1} + 5} \right| = 5\) tương đương M thuộc đường tròn tâm \(I( - 5;0)\) bán kính \(R = 5\). Giả thiết \(\left| {{z_2} + 1 - 3i} \right| = \left| {{z_2} - 3 - 6i} \right|\)\( \Leftrightarrow \) N thuộc đường thẳng (d): \(8x + 6y - 35 = 0\). Vậy \(\min MN = d(I,(d)) - R\)\( = \frac{{15}}{2} - 5 = \frac{5}{2}\) .

Đáp số: \(\min MN = \frac{{23\sqrt {34} }}{{34}} - 2\)

Hướng dẫn: Gọi M, N là các điểm biểu diễn \({z_1},{z_2}\). Giả thiết \(\left| {{z_1} + 4 - 3i} \right| = 2\) tương đương M thuộc đường tròn tâm \(I( - 4;3)\) bán kính \(R = 2\). Giả thiết \(\left| {{z_2} + 2 - 3i} \right| = \left| {{z_2} - 1 + 2i} \right|\)\( \Leftrightarrow \) N thuộc đường thẳng (d): \(3x - 5y + 4 = 0\). Vậy \(\min MN = d(I,(d)) - R\)\( = \frac{{23}}{{\sqrt {34} }} - 2\)\( = \frac{{23\sqrt {34} }}{{34}} - 2\) .

 

Lời kết:

· Các bài toán trên có thể giải bằng phương pháp đại số bằng cách rút một ẩn theo ẩn còn lại từ giả thiết để thay vào biểu thức cần đánh giá thành hàm số dạng \(T = f(x)\). Sau đó tìm GTLN, GTNN của \(f(x)\) trên miền xác định của \(f(x)\).

· Các đánh giá đảm bảo chặt chẽ cần chứng tỏ có đẳng thức (dấu “=”) xảy ra. Để tránh phức tạp vấn đề tôi không trình bày ở đây. Tuy nhiên các bài toán tổng quát đã nêu đều đảm bảo điều đó.