1. Khái niệm số phức
· Tập hợp số phức: \(\displaystyle \mathbb{C}\)
· Số phức (dạng đại số) : \(\displaystyle z = a + bi\)
(\(\displaystyle a,b \in \mathbb{R}\), \(\displaystyle a\) là phần thực, \(\displaystyle b\) là phần ảo, \(\displaystyle i\) là đơn vị ảo, \(\displaystyle {i^2} = - 1\))
· \(\displaystyle z\) là số thực \(\displaystyle \Leftrightarrow \) phần ảo của \(\displaystyle z\) bằng 0 (\(\displaystyle b\; = \;0\))
\(\displaystyle z\) là thuần ảo \(\displaystyle \Leftrightarrow \) phần thực của \(\displaystyle z\) bằng 0 (\(\displaystyle a = 0\) )
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
· Hai số phức bằng nhau: \[a + bi = a' + b'i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\quad (a,b,a',b' \in \mathbb{R})\]
Chú ý: \(\displaystyle {i^{4k}} = 1;\,\,\,{i^{4k + 1}} = i;\,\,\,\,{i^{4k + 2}} = - 1;\,\,\,\,{i^{4k + 3}} = - i\)
$(1+i)^2=2i\Rightarrow (1+i)^n=...$; $(1-i)^2=-2i\Rightarrow (1-i)^n=...$.
2. Biểu diễn hình học: Số phức \(\displaystyle z = a + bi\) (\(\displaystyle a,b \in \mathbb{R}\)) được biểu diễn bởi điểm \(\displaystyle M(a;b)\) hay bởi \(\displaystyle \vec u = (a;\;b)\) trong mp(\(\displaystyle Oxy\)) (mp phức)
3. Cộng và trừ số phức:
· \(\displaystyle \left( {a + bi} \right) + \left( {a' + b'i} \right) = \left( {a + a'} \right) + \left( {b + b'} \right)i\)
· \(\displaystyle \left( {a + bi} \right) - \left( {a' + b'i} \right) = \left( {a - a'} \right) + \left( {b - b'} \right)i\)
· Số đối của \(\displaystyle z = a + bi\) là \(\displaystyle - z = - a - bi\)
· \(\displaystyle \vec u\) biểu diễn \(\displaystyle z\), \(\displaystyle \vec u'\) biểu diễn \(\displaystyle z'\) thì \(\displaystyle \vec u + \vec u'\) biểu diễn \(\displaystyle z + z'\) và \(\displaystyle \vec u - \vec u'\) biểu diễn \(\displaystyle z - z'\).
4. Nhân hai số phức :
· \(\displaystyle \left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right) = \;\left( {aa'-bb'} \right) + \left( {ab'{{ }} + {{ }}ba'} \right)i\)
· \(\displaystyle k(a + bi) = ka + kbi\,\,(k \in \mathbb{R})\)
5. Số phức liên hợp của số phức \(\displaystyle z = a + bi\) là \(\displaystyle \bar z = a - bi\)
· \(\displaystyle \bar{\bar z} = z\;\); \( \overline{z \pm z'} = \bar z \pm \bar {z'}\); \(\overline {z.z'} = \bar z .\bar {z'}\); \(\displaystyle \overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\); \(\displaystyle z.\bar z = {a^2} + {b^2}\)
· \(\displaystyle z\) là số thực \(\displaystyle \Leftrightarrow \)\(\displaystyle z = \bar z\) ; \(\displaystyle z\) là số ảo \(\displaystyle \Leftrightarrow \)\(\displaystyle z = - \bar z\)
6. Môđun của số phức : \(\displaystyle z = a + bi\)
· \(\displaystyle \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {z\bar z} = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|\)
· \(\displaystyle \left| z \right| \ge 0,\;\forall z \in\mathbb C\;, \; \left| z \right| = 0 \Leftrightarrow z = 0\)
· \(\displaystyle \left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|\)
· \(\displaystyle \left| {\frac{z}{{z'}}} \right| = \frac{{\left| z \right|}}{{\left| {z'} \right|}}\)
· \(\displaystyle \left| {\left| z \right| - \left| {z'} \right|} \right| \le \left| {z \pm z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\)
7. Chia hai số phức:
· Chia hai số phức: \(\displaystyle \frac{{{{a + bi}}}}{{{{a' + b'i}}}} = \frac{{{{aa' - bb'}}}}{{a{'^2} + b{'^2}}} + \frac{{ab' + a'b}}{{a{'^2} + b{'^2}}}i\).
.\(\displaystyle {z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\bar z\) (z ¹ 0)
· \(\displaystyle \frac{{z'}}{z} = z'{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\bar z}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z'.\bar z}}{{z.\bar z}}\)
· \(\displaystyle \frac{{z'}}{z} = w \Leftrightarrow z' = wz\)
8. Căn bậc hai của số phức:
· \(\displaystyle z = x + yi\) là căn bậc hai của số phức \(\displaystyle w = a + bi\)\(\displaystyle \Leftrightarrow {z^2} = w\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.\)
· \(\displaystyle w = 0\) có đúng 1 căn bậc hai là \(\displaystyle z = 0\)
· \(\displaystyle w\)\( e 0\) có đúng hai căn bậc hai đối nhau
· Hai căn bậc hai của \(\displaystyle a > 0\) là \(\displaystyle \pm \sqrt a \)
· Hai căn bậc hai của \(\displaystyle a < 0\) là \(\displaystyle \pm \sqrt { - a} .i\)
9. Phương trình bậc hai \(\displaystyle A{x^2} + Bx + C = 0\) (A, B, C là các số phức cho trước, A \(\displaystyle e 0\)).
\[\Delta = {B^2} - 4AC\]
· \(\displaystyle \Delta e 0\): (*) có hai nghiệm phân biệt \(\displaystyle {z_{1,2}} = \frac{{ - B \pm \delta }}{{2A}}\), (\(\displaystyle \delta \) là 1 căn bậc hai của \(\displaystyle \Delta \) ).
· \(\displaystyle \Delta = 0\): (*) có 1 nghiệm kép: \(\displaystyle {z_1} = {z_2} = - \frac{B}{{2A}}\)
Chú ý:
+ Nếu \(\displaystyle {z_0}\) là một nghiệm của (*) thì \(\displaystyle {\bar z_0}\) cũng là một nghiệm của (*).
+ Có $|z_1|^2=|z_2|^2=\dfrac{c}{a}$
10. Dạng lượng giác của số phức (dành cho chương trình nâng cao)
a) Acgumen của số phức \(\displaystyle z e 0\):
Cho số phức \(\displaystyle z e 0\). Gọi M là điểm biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Nếu \(\displaystyle \varphi \) là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng \(\displaystyle \varphi + k2\pi \;(k \in \mathbb{Z})\).
b) Dạng lượng giác của số phức :
Dạng \(\displaystyle z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\;(r > 0)\)là dạng lượng giác của \(\displaystyle z=a+bi\;\left( {a,\;b\in \mathbb{R}} \right)\;\left( {z\; e \;0} \right)\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\c{{os}}\varphi = \frac{a}{r}\\\sin \varphi = \frac{b}{r}\end{array} \right.\) (\(\displaystyle \varphi \)là acgumen của \(\displaystyle z\),\(\displaystyle \varphi = (Ox,OM)\)
.png)
c) Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :
Nếu \(\displaystyle z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\), \(\displaystyle z' = r'\left( {\cos \varphi ' + i\sin \varphi '} \right)\)thì:
\[z.z' = r.r'\left[ {\cos \left( {\varphi + \varphi '} \right) + i\sin \left( {\varphi + \varphi '} \right)} \right]\]
\[\frac{{z}}{{{z'}}} = \frac{r}{{r'}}\left[ {c{{os}}(\varphi - \varphi ') + {{i}}\sin (\varphi - \varphi ')} \right]\].
d) Công thức Moa-vrơ :
Với \(\displaystyle n\) là số nguyên, \(\displaystyle n \ge 1\): \(\displaystyle {\left[ {r(c{{os}}\varphi + {{i}}\sin \varphi )} \right]^n} = {r^n}(\cos n\varphi + {{i}}\sin n\varphi )\)
Khi \(\displaystyle r = 1\), ta được : \(\displaystyle {(c{{os}}\varphi + {{i}}\sin \varphi )^n} = (\cos n\varphi + {{i}}\sin n\varphi )\)
e) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Các căn bậc hai của số phức \(\displaystyle z = r\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)\) là : \(\displaystyle \sqrt r \left( {c{{os}}\frac{\varphi }{2} + {{i}}\sin \frac{\varphi }{2}} \right)\) và \(\displaystyle - \sqrt r \left( {c{{os}}\frac{\varphi }{2} + {{i}}\sin \frac{\varphi }{2}} \right) = \sqrt r \left[ {c{{os}}\left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right) + {{i}}\sin \left( {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right)} \right]\).