Góc trong không gian

§6. GÓC TRONG KHÔNG GIAN

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

6. NHẮC LẠI GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Định nghĩa:

Góc giữa hai đường thẳng bất kì a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng đó, kí hiệu là (a, b) hay (b, a).

Đặc biệt:

• Khi a và b trùng nhau hoặc song song với nhau thì (a, b) = 0°.

• Khi a và b vuông góc thì (a, b) = 90°.

như vậy, ta luôn có 0 $\leq$ (a, b) $\leq$ 90°

7. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng $\alpha$ là góc giữa đường thẳng a và hình chiếu $a_{1}$ của nó trên $\alpha$, kí hiệu là (a, $\alpha$) hay ($\alpha$, a).

Đặc biệt:

• Khi a thuộc $\alpha$ hoặc a song song với $\alpha$ thì (a, b) = 0°.

• Khi a vuông góc với $\alpha$ thì (a, $\alpha$) = 90°.

như vậy, ta luôn có 0 $\leq$ (a, $\alpha$) $\leq$ 90°.

8. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng $\alpha$ và $\beta$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó, kí hiệu là ($\beta$, $\alpha$) hay ($\alpha$, $\beta$).

Đặc biệt:

• Khi $\alpha$ và $\beta$ trùng nhau hoặc song song với nhau thì (a, b) = 0°.

• Khi $\alpha$ vuông góc với $\beta$ thì ($\alpha$, $\beta$) = 90°.

như vậy, ta luôn có 0 $\leq$ ($\alpha$, $\beta$) $\leq$ 90°.

9. NHỊ DIỆN

Định nghĩa: Hình hợp bởi hai nửa mặt phẳng $\alpha$ và $\beta$ có chung bờ a được gọi là nhị diện, kí hiệu là [$\alpha$, a, $\beta$] hoặc [$\alpha$, $\beta$].

Cắt nhị diện [$\alpha$, a, $\beta$] bởi mặt phẳng (P) vuông góc với a tại điểm O và cắt $\alpha$, $\beta$ theo thứ tự là các nửa đường thẳng Ox và Oy. Khi đó, góc $\widehat{xOy}$ được gọi là góc phẳng của nhị diện [$\alpha$, a, $\beta$] kí hiệu Sđ[$\alpha$, $\beta$] hoặc viết tắt [$\alpha$, $\beta$].

Đặc biệt, khi $\alpha$ vuông góc với $\beta$ thì [$\alpha$, $\beta$] = 90°, ta nói [$\alpha$, $\beta$] là nhị diện vuông. Như vậy, ta luôn có 0 $\leq$ [$\alpha$, $\beta$] $\leq$ 180°.

10. DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU CỦA MỘT TAM GIÁC

Định lí: Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S' bằng tích của S với cosin của góc $\varphi$ giữa mặt phẳng của tam giác và mặt chiếu.

Tức là:

S' = S.cos$\varphi$.

Hệ quả: Nếu S là diện tích của một đa giác phẳng, S' là diện tích của đa giác chiếu và $\varphi$ là góc giữa mặt phẳng của đa giác và mặt phẳng chiếu thì ta có:

S' = S.cos$\varphi$.

11. TAM DIỆN

Định nghĩa: Hình hợp bởi ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng được gọi là một tam diện, kí hiệu là Oxyz.

Trong đó:

• Các tia Ox, Oy, Oz gọi là các cạnh của tam diện.

• Các miền góc xOy, yOz, zOx được gọi là các mặt của tam diện.

• Độ lớn của các góc xOy, yOz, zOx gọi là góc phẳng ở đỉnh của tam diện.

Một tam diện gọi là tam diện vuông nếu ba góc phẳng ở đỉnh của nó đều là góc vuông.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1: Góc giữa hai đường thẳng.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Chúng ta đã thu nhận được phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong chủ đề 1.

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AD. Hãy tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = $a\sqrt{2}$.

Giải

Gọi E là trung điểm AC, ta có:

Trong $\Delta$MEN, ta có:

ME = $\large \frac{1}{2}$AB = a, vì ME là đường trung bình trong $\Delta$ABC

NE = $\large \frac{1}{2}$CD = a, vì NE là đường trung bình trong $\Delta$ACD

suy ra:

⇔ $\Delta$MEN vuông tại E ⇔ $\widehat{MEN}$ = 90°.

Vậy, góc giữa AB và CD bằng 90°.

Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$BCD.

a. Chứng minh rằng AO $\perp$ CD.

b. Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM.

Giải

a. Ta có ngay kết luận AO $\perp$ CD vì A.BCD là hình chóp tam giác đều.

b. Gọi N là trung điểm AD, ta có:

MN // AC ⇒ (AC, BM) = BMN.

Xét $\Delta$BMN, ta có:

BM = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, vì BM là trung tuyến trong $\Delta$ABC đều

BN = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, vì BN là trung tuyến trong $\Delta$ABD đều

MN = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{a}{2}$, vì MN là đường trung bình trong $\Delta$ACD

Vậy, ta được cos(AC, BM) = $\frac{\sqrt{3}}{6}$

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, $C_{1}D_{1}$. Hãy tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a. $AB_{1}$ và $BC_{1}$, $AC_{1}$ và $CD_{1}$.

b. MN và $C_{1}D_{1}$, BD và $AD_{1}$, MN và AP, $A_{1}P$ và DN.

Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có AB = a, BC = b và $AA_{1}$ = c.

a. Hãy tính góc giữa $AD_{1}$ và $B_{1}C$.

b. Hãy tính góc giữa AB và $A_{1}C$.

Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$BCD. Hãy tính cosin của góc giữa AC và DO.

Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AD.

a. Hãy tính cosin của góc giữa AB và DM, biết ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng a.

b. Hãy tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a$\sqrt{3}$.

Bài 5. Cho tứ diện ABCD, có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = b

a. Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó, tính độ dài của chúng.

b. Hãy tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện .

Bài 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh AD (M khác A và D). Mặt phẳng $\alpha$ qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.

a. Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông.

b. Đặt AM = x, với 0 < x < 2a. Tính diện tích của MNPQ theo a và x.

Bài toán 2: Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng $\alpha$, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm giao điểm O của a với $\alpha$.

Bước 2: Chọn điểm A $\in$ a và dựng AH $\perp$ $\alpha$ với H $\in$ $\alpha$.

Khi đó AOH = (a, $\alpha$)

Bước 3: Tính số đo của $\widehat{AOH}$ dựa trên các hệ thức lượng giác.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a, SA = SB = SC = $\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$

a. Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABC).

b. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC).

Giải

a. Gọi O là trung điểm của BC, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ABC.

Ngoài ra, theo giả thiết ta có SA = SB = SC nên SO là trục đường tròn của ba $\Delta$ABC, suy ra:

SO $\perp$ (ABC) và SO = d(S, (ABC)).

Trong $\Delta$SAO vuông tại O, ta có:

trung tuyến thuộc cạnh huyền

b. Vì SO $\perp$ (ABC) nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC), do đó:

(SA, (ABC)) = $\widehat{SAO}$.

Trong $\Delta$SAO vuông tại O, ta có:

Vậy, ta được cos(SA, (ABC)) = $\large \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60°.

a. Tính MN và SO.

b. Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).

Giải

a. Gọi H là trung điểm OA, suy ra:

MH // SO ⇒ MH $\perp$ (ABCD)

suy ra NH là hình chiếu vuông góc của MN trên C (ABCD), do đó:

(MN, (ABCD)) = $\widehat{MNH}$ = 60°.

Trong $\Delta$HNC, ta có:

Trong $\Delta$HMN vuông tại H, ta có:

Trong $\Delta$OSA, ta có MH là đường trung bình nên:

b. Giả sử:

AN $\cap$ BD = K ⇒ (SAN) $\cap$ (SBD) = SK

Giả sử:

MN $\cap$ SK = J ⇒ MN $\cap$ (SBD) = J.

Gọi I là trung điểm OB, ta có:

suy ra IJ là hình chiếu vuông góc của MN trên (SBD), do đó:

(MN, (SBD)) = $\widehat{NIJ}$.

Trong $\Delta$OBC có NI là đường trung bình nên:

Trong $\Delta$ABC có trung tuyến AN và BO nên K là trọng tâm, suy ra:

Dựa vào hình bên, theo định lí Melelaus, ta được:

Trong $\Delta$NIJ vuông tại I, ta có:

Vậy, ta được sin(MN, (SBD)) = $\large \frac{\sqrt{5}}{5}$

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$ có đáy ABC vuông cân tại A. Đoạn nối trung điểm M của AB và trung điểm N của $B_{1}C_{1}$ có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc $\alpha$ và mặt bên ($BCC_{1}B_{1}$) góc $\beta$.

a. Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và $\alpha$

b. Chứng minh rằng cos $\alpha$ = $\sqrt{2}$.sin $\beta$.

Giải

a. Gọi H là trung điểm BC, ta có:

NH // $BB_{1}$ ⇒ NH $\perp$ (ABC)

suy ra MH là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABC), do đó:

(MN, (ABC)) = $\widehat{NMH}$ = $\alpha$.

Ngoài ra:

Gọi E là trung điểm BH, suy ra:

ME // AH = ME $\perp$ ($BCC_{1}B_{1}$)

suy ra NE là hình chiếu vuông góc của MN trên ($BCC_{1}B_{1}$), do đó:

(MN, ($BCC_{1}B_{1}$)) = $\widehat{MNE}$ = $\beta$.

Trong $\Delta$MNH vuông tại H, ta có:

MH = MN.cos$\widehat{NMH}$ = a.cos$\alpha$.

NH = MN.sin$\widehat{NMH}$ = a.sin$\alpha$ ⇒ $AA_{1}$ = a.sin$\alpha$.

Trong $\Delta$ABC cân tại A, vì MH là đường trung bình nên:

b. Trong $\Delta$MNE vuông tại E, ta có:

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = $\large \frac{2a\sqrt{3}}{3}$ và đáy ABC là tam giác đều cạnh a.

a. Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABC).

b. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC).

Bài 8. Cho $\Delta$ABC vuông tại A, cạnh AB = a nằm trong một mặt phẳng $\alpha$, cạnh AC = a$\sqrt{2}$ và tạo với $\alpha$ một góc 60°. Tính góc giữa BC và $\alpha$.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a$\sqrt{6}$ và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a. Tính góc giữa SB và CD.

b. Tính góc giữa SC và (ABCD).

c. Tính góc giữa các cặp SC và (SAB), SB và (SAC), AC và (SBC).

Bài 10. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết rằng $BC_{1}$ hợp với ($ABB_{1}A_{1}$) góc 30°.

a. Tính $AA_{1}$.

b. Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng ($BA_{1}C_{1}$).

c. Gọi N là trung điểm của cạnh $BB_{1}$. Tính góc giữa MN và ($BA_{1}C_{1}$).

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Mặt phẳng $\alpha$ qua BC, hợp với AC góc 30°, cắt SA, SD lần lượt tại M, N. Tính diện tích thiết diện BCNM.

Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Cạnh SC có độ dài bằng a, hợp với đáy góc $\alpha$ và hợp với mặt bên SAB góc $\beta$.

a. Tính SA.

b. Chứng minh rằng

Bài toán 3: Góc giữa hai mặt phẳng.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để tính góc giữa hai mặt phẳng $\alpha$ và $\beta$, ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1:

(Sử dụng định nghĩa): Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chọn điểm O, từ đó hạ OE, OF theo thứ tự vuông góc với $\alpha$ và $\beta$.

Bước 2: Tính số đo của góc EOF.

Bước 3: Khi đó:

• ($\alpha$, $\beta$) = $\widehat{EOF}$, nếu $\widehat{EOF}$ $\leq$ 90°

• ($\alpha$, $\beta$) = 180° – $\widehat{EOF}$, nếu $\widehat{EOF}$ > 90°.

Cách 2:

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm giao tuyến d của $\alpha$ và $\beta$.

Bước 2: Chọn điểm O trên d, từ đó:

• Trong $\alpha$ dựng Ox $\perp$ d.

• Trong $\beta$ dựng Oy $\perp$ d.

Bước 3: Tính số đo của góc $\widehat{xOy}$.

Bước 4: Khi đó:

• ($\alpha$, $\beta$) = $\widehat{xOy}$, nếu $\widehat{xOy}$ $\leq$ 90°.

• ($\alpha$, $\beta$) = 180° - $\widehat{xOy}$, nếu $\widehat{xOy}$ > 90°.

Ví dụ 1: Cho $\Delta$ABC vuông tại A có cạnh huyền BC thuộc mặt phẳng (P). Gọi $\beta$, $\gamma$ là góc hợp bởi hai đường thẳng AB, AC với (P). Gọi $\alpha$ là góc hợp bởi (ABC) với (P). Chứng minh rằng:

Giải

Kẻ AH vuông góc với mặt phẳng (P), ta được:

$\widehat{ABH}$ = $\beta$ và $\widehat{ACH}$ = $\gamma$.

Kẻ HI vuông góc với mặt phẳng BC, suy ra:

BC $\perp$ AI, theo định lí ba đường vuông góc

⇒ $\widehat{AIH}$ = $\alpha$.

Trong $\Delta$ABC vuông tại A, ta có:

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, $AA_{1}$ = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng ($ABC_{1}$) và ($BCA_{1}$).

Giải

Gọi E là tâm hình vuông ($ACC_{1}A_{1}$), suy ra:

($ABC_{1}$) $\cap$ ($BCA_{1}$) = BE

Trong (EBC), hạ CO $\perp$ BE, O $\in$ BE, ta có:

Vậy, ta nhận được góc $\widehat{AOC}$.

Gọi F là trung điểm AC, trong $\Delta$BEF vuông tại F, ta có:

vì nó là đường trung bình

trung tuyến trong một tam giác đều

Trong $\Delta$OFA vuông tại F, ta có:

Trong $\Delta$OAC, ta có:

Vậy, ta được:

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA = a$\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Giải

a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1:

(Dựng góc dựa trên giao tuyến): Giả sử:

AD $\cap$ BC = E ⇒ (SAD) $\cap$ (SBC) = SE.

Nhận xét rằng:

AD $\perp$ BD, vì ABCD là nửa lục giác đều

SA $\perp$ BD, giả thiết

suy ra:

BD $\perp$ (SAD) ⇒ BD $\perp$ SE

Hạ DF $\perp$ SE tại F, suy ra:

(BDF) $\perp$ SE

Như vậy, ta được một góc phẳng giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là $\widehat{BFD}$

Vì $\Delta$ABE đều nên AE = AB = 2a.

Vì $\Delta$CDE đều nên DE = CD = a.

Trong $\Delta$SAE vuông tại S, ta có:

Hai tam giác vuông SAE và DFE có chung góc $\widehat{E}$ nên chúng đồng dạng, suy ra:

Trong $\Delta$ABD vuông tại A, ta có:

BD = AB.sin$\widehat{BAD}$ = 2a.cos60° = a$\sqrt{3}$.

Trong $\Delta$BDF vuông tại D, ta có:

Vậy, ta được tg((SAD), (SBC)) = $\sqrt{7}$.

Cách 2:

Nhận xét rằng:

AD $\perp$ BD, vì ABCD là nửa lục giác đều

SA $\perp$ BD, giả thiết

suy ra BD $\perp$ (SAD). (1)

Trong (SAC) hạ AJ $\perp$ SC tại J, ta có:

BC $\perp$ AC, vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp

BC $\perp$ SA, giả thiết

suy ra:

BC $\perp$ (SAC) ⇒ BC $\perp$ AJ ⇒ AJ $\perp$ (SBC). (2)

Trong (SAC) hạ OK $\perp$ SC tại K, suy ra OK // AJ. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

((SAD), (SBC)) = (BD, AJ) = (BD, OK) = $\widehat{KOB}$.

Trong nửa lục giác đều ABCD, ta có:

Trong $\Delta$SAC vuông tại S, ta có:

Hai tam giác vuông SAC và OKC có chung góc nhọn $\widehat{C}$ nên chúng đồng dạng, suy ra:

Trong $\Delta$KOB vuông tại K, ta có:

Vậy, ta được cos((SAD), (SBC)) = $\large \frac{\sqrt{2}}{4}$.

b.

Trong (SAC) hạ AJ $\perp$ SC tại J, ta có:

BC $\perp$ AC, vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp

BC $\perp$ SA, giả thiết

suy ra:

BC $\perp$ (SAC) ⇒ BC $\perp$ AJ ⇒ AJ $\perp$ (SBC). (4)

Hạ AH $\perp$ CD tại H, suy ra:

⇒ (SCD) $\perp$ (SAH) và (SCD) $\cap$ (SAH) = SH.

Hạ AI $\perp$ SH tại I, suy ra AI $\perp$ (SCD). (5)

Từ (4) và (5) suy ra

((SCD), (SBC)) = $\widehat{IAJ}$.

Trong $\Delta$SAH vuông tại A, ta có:

Trong $\Delta$SAC vuông tại A, ta có:

Trong $\Delta$AIJ vuông tại I, ta có:

Vậy, ta được cos((SCD), (SBC)) = $\large \frac{\sqrt{10}}{5}$

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a. SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB.

a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCM) và (ABC).

b. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SCM).

Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông đỉnh B, AB = 2a, BC = a$\sqrt{3}$ . SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB.

a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

b. Tính khoảng cách từ A tới đường thẳng CM.

c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCM) và (ABC).

d. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SCM).

Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SD = $\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\widehat{A}$ = 60°.

a. Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABCD) và độ dài SC.

b. Chứng minh rằng (SAC) $\perp$ (ABCD) và SB $\perp$ BC.

c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).

Bài 16. Cho hình lăng trụ $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Các cạnh bên tạo với đáy một góc 60° và hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng ($A_{1}B_{1}C_{1}$) trùng với trung điểm của cạnh $B_{1}C_{1}$

a. Tính khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ.

b. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và $AC_{1}$.

c. Tính góc giữa hai mặt phẳng ($ABB_{1}A_{1}$) và (ABC).

Bài 17. Trong mặt phẳng $\alpha$ cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R. Trên đường thẳng vuông góc tại O với $\alpha$ lấy điểm S sao cho OS = R. Gọi M, N là hai điểm trên (C) sao cho $\widehat{MON}$ = 90°, a và b là hai tiếp tuyến với (C) tại M và N. Tính góc giữa hai mặt phẳng (S, a) và (S, b).

Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Mặt (SAC) hợp với mặt (SAB) một góc $\alpha$ và hợp với mặt (SBC) một góc $\beta$. Dựng các đường cao AH, AK của $\Delta$SAC và $\Delta$SAB.

a. Chứng minh rằng $\widehat{BAC}$ = $\alpha$, $\widehat{AHK}$ = $\beta$.

b. Chứng minh rằng

Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hai mặt bên SAB và SCD vuông tại A và C, cùng hợp với đáy góc $\alpha$. Biết $\widehat{ABC}$ = $\varphi$

a. Chứng minh SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

b. Chứng minh (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc $\beta$ thoả hệ thức cotg$\beta$ = cotg$\alpha$.cos$\varphi$.

Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABC vuông tại B, AB = a, $\widehat{BAC}$ = $\alpha$, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi $\beta$ là góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC).

a. Chứng minh rằng

b. $\Delta$ABC phải thoả thêm điều kiện gì để $\beta$ = 60°.

Bài toán 4: Góc nhị diện.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Chúng ta đã biết được phương pháp giải bài toán về góc giữa hai mặt phẳng với hai cách xác định góc trung gian để tính (vì góc giữa hai mặt phẳng chỉ nhận giá trị từ 0° đến 90°). Tuy nhiên, đối với bài toán về số đo của góc nhị diện thông thường chúng ta cần xác định được góc phẳng, do vậy cần thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định cạnh của nhị diện và góc phẳng nhị diện.

Bước 2: Tính số đo của góc phẳng nhị diện dựa trên các hệ thức lượng giác trong tam giác.

Chú ý:

Để thực hiện được bước 1 chúng ta thường sử dụng một trong ba kết quả sau:

1.

Nếu có đường thẳng a $\perp$ $\alpha$ thì lựa chọn một điểm A thuộc $\beta$ rồi:

• Dựng Ax // a và cắt $\beta$ tại B.

• Hạ AH (hoặc BH) vuông góc với d tại H.

Ta được $\widehat{AHB}$ là góc phẳng của nhị diện.

2.

Nếu có một đường thẳng a cắt hai mặt của nhị diện tại A, B và vuông góc với cạnh d của nhị diện thì ta có thể dựng góc phẳng của nhị diện đó như sau:

• Hạ AH (hoặc BH hoặc CH với C là điểm bất kì trên a) vuông góc với d tại H.

Ta được $\widehat{AHB}$ là góc phẳng của nhị diện.

3.

Nếu hai mặt của nhị diện lần lượt chứa hai tam giác cân AMN và BMN có chung đáy MN thì:

• Gọi H là trung điểm MN, suy ra:

HA $\perp$ MN và HB $\perp$ MN

Ta được $\widehat{AHB}$ là góc phẳng của nhị diện.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a, SA = $a\sqrt{2}$ và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a. Tính số đo nhị diện (S, BC, A).

b. Tính số đo nhị diện (A, SB, C).

c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

Giải

a. Ta có ngay:

suy ra $\widehat{SCA}$ là góc phẳng nhị diện (S, BC, A).

Gọi E là trung điểm AB, suy ra AE = BE = a và CE = a.

Trong $\Delta$SAC vuông tại A, ta có:

AC = $a\sqrt{2}$, vì AC là đường chéo của hình vuông ADCE

⇒ AC = SA ⇒ $\Delta$SAC vuông tại A ⇒ $\widehat{SCA}$ = 45°.

Vậy, số đo nhị diện (S, BC, A) bằng 45°.

b. Ta có:

Hạ CF $\perp$ SB tại F, suy ra:

EF $\perp$ SB, theo định lí ba đường vuông góc

Do đó, góc $\widehat{CFE}$ là góc phẳng nhị diện (A, SB, C).

Hai tam giác vuông SAB và EFB có chung góc nhọn $\widehat{B}$ nên chúng đồng dạng, suy ra:

Trong $\Delta$CEF vuông tại E, ta có:

Vậy, số đo nhị diện (A, SB, C) bằng 60°.

c. Hạ AP $\perp$ SD tại P, suy ra:

(1)

Hạ AQ $\perp$ SC tại Q, suy ra:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra ((SCD), (SBC)) = $\widehat{PAQ}$.

Trong $\Delta$SAD vuông tại A, ta có:

Trong $\Delta$SAC vuông tại A, ta có:

Trong $\Delta$APQ vuông tại P, ta có:

Vậy, ta được cos((SBC), (SCD)) = $\large \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a$\sqrt{2}$ và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính số đo nhị diện (B, SC, D).

Giải

Trong $\Delta$SAC vuông tại A, ta có:

AC = a$\sqrt{2}$ ⇒ SC = 2a.

Gọi M là trung điểm của SC, suy ra:

BM = $\large \frac{1}{2}$SC = a, vì $\Delta$SBC vuông tại B

⇒ $\Delta$BMC cân tại B

DM = $\large \frac{1}{2}$SC = a, vì $\Delta$SDC vuông tại D

⇒ $\Delta$DMC cân tại D.

Gọi H là trung điểm CM, suy ra $\widehat{BHD}$ là góc phẳng nhị diện (B, SC, D).

Trong $\Delta$BHD, ta có:

Vậy, nhị diện (B, SC, D) có cos(B, SC, D) = -$\large \frac{1}{3}$.

Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = b. Trên hai tia Ax, Cy cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hại điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để nhị diện (M, BD, N) có số đo bằng 60° là:

Giải

Ta dựng:

• AE vuông góc với BD tại E

• CF vuông góc với BD tại F

suy ra $\widehat{AEN}$ và $\widehat{CFN}$ theo thứ tự là góc nhị diện của (A, BD, M) và (C, BD, N).

Ta có:

(A, BD, M) + (M, BD, N) + (C, BD, N) = (A, BD, C) = 180°

Vậy, điều kiện cần và đủ để nhị diện (M, BD, N) có số đo bằng 60° là:

(A, BD, M) + (C, BD, N) = 120° ⇔ $\widehat{AEM}$ + $\widehat{CFN}$ = 120°

Trong $\Delta$ABD vuông tại A, ta có:

Trong $\Delta$AEM vuông tại A, ta có:

Trong $\Delta$CFN vuông tại A, ta có:

Thay (2), (3) vào (1), ta được:

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 21. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân với AB = AC = a, DBC là tam giác đều, nhị diện cạnh BC có số đo bằng 30°.

a. Tính AD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

b. Tính số đo của các nhị diện cạnh BD và AD.

Bài 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB = BC = a, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi E và F lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC.

a. Tính số đo của nhị diện (A, SC, B).

b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC).

Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính số đo nhị diện (B, SC, D).

Bài 24. Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA = $a\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính số đo của các nhị diện sau:

a. (S, BC, A).

b. (S, BD, A).

C. (SAB, SCD).

Bài 25. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng HS vuông góc với mặt phẳng (ABCD) sao cho nhị diện cạnh AD của hình chóp S.ABCD có số đo bằng 60°. Gọi K là trung điểm của cạnh AD.

a. Tính SH và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).

b. Tính số đo nhị diện (A, SD, C).

c. Tính số đo nhị diện (B, SC, K).

Bài 26. Cho chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, OB = $\large \frac{a\sqrt{3}}{3}$, SO = $\large \frac{a\sqrt{6}}{3}$ và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a. Chứng minh rằng $\widehat{ASC}$ vuông

b. Chứng minh (B, SA, D) là nhị diện vuông.

c. Tính số đo của nhị diện (S, BC, A).

Bài 27. Từ điểm M ngoài mặt phẳng $\alpha$ ta hạ đường vuông góc MA và hai đường xiên MB, MC tới mặt phẳng $\alpha$. Biết MA = a và MB, MC đều tạo với mặt phẳng $\alpha$ các góc 30°, MB và MC vuông góc với nhau.

a. Tính độ dài đoạn BC.

b. Tính số đo của nhị diện (M, BC, A).

Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$ có đáy ABC vuông cân đỉnh A, BC = 2a. Cho biết nhị diện (A, $B_{1}C_{1}$, B) có số đo bằng $\alpha$.

a. Chứng minh rằng

b. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên $B_{1}C$ và $A_{1}C$. Chứng minh rằng AHK là góc phẳng của nhị diện (A, $B_{1}C$, $A_{1}$) và $\widehat{AHK}$ = $\pi$ - 2$\alpha$.

Bài toán 5: Phép chiếu vuông góc và ứng dụng.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. Từ công thức diện tích hình chiếu:

S' = S.cos$\varphi$,

nếu biết hai trong ba đại lượng S, S', $\varphi$ ta tính được đại lượng còn lại. Đặc biệt dựa vào công thức này ta có thể tính góc giữa hai mặt phẳng mà không cần dựng góc phẳng.

2. Từ định lí hình chiếu của một góc vuông:

"Hình chiếu vuông góc của một góc vuông là một góc vuông khi và chỉ khi góc vuông đem chiếu có ít nhất một cạnh song song với mặt chiếu hay nằm trong mặt chiếu"

ta có thể chứng minh được đường thẳng vuông góc với đường thẳng hay đường thẳng song song với mặt phẳng.

Chú ý: Cần lưu ý đến hai tính chất sau của phép chiếu vuông góc:

1. Nếu đoạn thẳng $A_{1}B_{1}$ là hình chiếu vuông góc của đoạn AB trên mặt phẳng $\alpha$ thì $A_{1}B_{1}$ $\leq$ AB. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB // $\alpha$ hay AB $\subset$ $\alpha$

2. Phép chiếu vuông góc bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng cùng phương.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABC), SB = 2a, SC = $a\sqrt{2}$, $\widehat{BSC}$ = 90°.

a. Tính góc $\varphi$ giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).

b. Tính diện tích $\Delta$ABC.

Giải

a. Hạ SI $\perp$ BC tại I, suy ra:

AI $\perp$ BC, định lí ba đường vuông góc.

Suy ra, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) là $\widehat{SIA}$ = $\varphi$.

Trong $\Delta$SBC vuông tại S, ta có:

Trong $\Delta$SAI vuông tại A, ta có:

b. Ta có:

Ví dụ 2: Cho $\Delta$ABC có đỉnh A nằm trong mặt phẳng $\alpha$, hai đỉnh B, C có hình chiếu trên $\alpha$ lần lượt là $B_{1}$ và $C_{1}$ sao cho $\Delta AB_{1}C_{1}$ là tam giác đều cạnh a. Giả sử $CC_{1}$ = a và $BB_{1}$ = $\large \frac{a}{2}$. Gọi I là giao điểm của BC và $B_{1}C_{1}$.

a. Chứng minh rằng IA $\perp$ AC.

b. Tính diện tích $\Delta$ABC rồi suy ra giá trị của góc $\varphi$ giữa hai mặt phẳng $\alpha$ và (ABC).

Giải

a. Từ giả thiết $CC_{1}$ = 2$BB_{1}$, suy ra B, $B_{1}$ theo thứ tự là trung điểm của IC và $IC_{1}$.

Trong $\Delta AIC_{1}$, ta có:

$B_{1}A$ = $B_{1}C_{1}$ = $B_{1}I$ ⇒ $\Delta AIC_{1}$ vuông tại A

Vậy, ta có:

b. Ta có:

trong đó:

Thay (2), (3) vào (1), ta được:

Ta có:

vì $\Delta AB_{1}C_{1}$ là tam giác đều cạnh a

Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Một mặt phẳng $\alpha$ cắt $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$, $DD_{1}$ lần lượt tại A', B', C', D'. Đặt AA' = a, BB' = b, CC' = c, DD' = d. Chứng minh rằng:

a. Tứ giác A'B'C'D' là hình bình hành và a + c = b + d.

b. Điều kiện cần và đủ để A'B'C'D' là hình thoi là a = c hay b = d.

c. Nếu a = b thì A'B'C'D' là hình chữ nhật. Mệnh đề đảo có đúng không ?

Giải

a. Nhận xét rằng:

suy ra, tứ giác A'B'C'D' là hình bình hành.

Giả sử AC $\cap$ BD = O và A'C' $\cap$ B'D' = O', ta có:

OO' = $\large \frac{1}{2}$(AA' + CC'), vì OO' là đường trung bình của hình thang ACC'A'

OO' = $\large \frac{1}{2}$(BB' + DD'), vì OO' là đường trung bình của hình thang BDD'B'

suy ra:

$\large \frac{1}{2}$(AA' + CC') = $\large \frac{1}{2}$(BB' + DD') ⇔ a + c = b + d, đpcm.

b. Nhận xét rằng hình chiếu vuông góc của góc $\widehat{A'OB'}$ lên (ABCD) là $\widehat{AOB}$.

Để A'B'C'D' là hình thoi điều kiện cần và đủ là:

c. Nếu a = b, ta được:

AA' = BB' ⇒ A'B' // AB ⇒ $\widehat{A'B'C'}$ = 90° ⇒ A'B'C'D' là hình chữ nhật.

Thấy ngay, đảo lại không đúng vì với vai trò b, d như nhau nên A'B'C'D' cũng sẽ là hình chữ nhật khi a = d.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 29. Cho $\Delta$ABC cân tại đỉnh A và $\alpha$ là mặt phẳng chứa đường cao AH. Gọi $B_{1}$, $C_{1}$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của B và C lên $\alpha$. Chứng minh rằng $\Delta AB_{1}C_{1}$ cân.

Bài 30. Cho $\Delta$ABC vuông tại B, AB = 2a, BC = a. Trên hai nửa đường thẳng Bx và Cy vuông góc với mặt phẳng (ABC) và ở cùng một phía đối với (ABC) lấy các điểm $B_{1}$ và $C_{1}$ sao cho $BB_{1}$ = a, $CC_{1}$ = x. Tính theo a và x độ dài các đoạn $AB_{1}$, $B_{1}C_{1}$ và $AC_{1}$. Từ đó suy ra giá trị của x sao cho góc $\widehat{AB_{1}C_{1}}$ = 90°.

Bài 31. Cho hình thoi ABCD có đỉnh A ở trong mặt phẳng $\alpha$, các đỉnh khác không ở trong $\alpha$, BD = a, AC = a$\sqrt{2}$. Chiếu vuông góc hình thoi lên mặt phẳng $\alpha$ ta được hình vuông AB'C'D'.

a. Tính diện tích của ABCD và AB'C'D'. Suy ra góc giữa (ABCD) và $\alpha$.

b. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của CB, CD với mặt phẳng $\alpha$. Tính diện tích của tứ giác EFDB và EFD'B'.

Bài 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính diện tích thiết diện của hình chóp đã cho với mặt phẳng ở trong mỗi trường hợp sau:

a. $\alpha$ qua SB và hợp với (SAB) góc 45°.

b. $\alpha$ qua AC và hợp với (ABCD) góc 30°.

Bài 33. Cho $\Delta$ABC cân tại A, đường cao AH = a$\sqrt{3}$, đáy BC = 3a; BC chứa trong mặt phẳng $\alpha$. Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A trên $\alpha$. Khi tam giác A'BC vuông tại A', tính góc giữa $\alpha$ và (ABC).

Bài 34. Cho $\Delta$ABC đều, cạnh a chứa trong mặt phẳng $\alpha$. Trên các đường thẳng vuông góc với $\alpha$ vẽ từ B và C lấy các đoạn BD = $\large \frac{a\sqrt{2}}{2}$, CE = a$\sqrt{2}$ nằm cùng một bên đối với $\alpha$.

a. Chứng minh rằng $\Delta$ADE vuông. Tính diện tích của tam giác này.

b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ADE) và $\alpha$.

Bài 35. Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên hợp với đáy một góc $\varphi$.

a. Chứng minh hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b. Chứng minh rằng

Bài 36. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AA' = h. Một mặt phẳng $\alpha$ cắt ba cạnh bên của lăng trụ. Tính diện tích của thiết diện của lăng trụ với $\alpha$ trong các trường hợp sau:

a. Góc giữa $\alpha$ và (ABC) bằng 60°.

b. $\alpha$ vuông góc với BC'.

Bài toán 6: Tam diện.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. Nắm vững định nghĩa và các tính chất của tam diện để vẽ hình và chứng minh một số tính chất khác.

2. Việc xác định thiết diện của tam diện cắt bởi một mặt phẳng được thực hiện dựa trên những phương pháp đã biết cho tứ diện.

Ví dụ 1: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và $\widehat{xOy}$ = 90°, $\widehat{xOz}$ = $\widehat{yOz}$ = 60°. Tính góc giữa hai mặt phẳng (xOz) và (yOz).

Giải

Trên Oz lấy điểm C sao cho OC = 1.

Trong (xOz) dựng Ct $\perp$ Oz và cắt Ox tại A.

Trong (yOz) dựng Cm $\perp$ Oz và cắt Oy tại B.

Khi đó, ta được một góc phẳng là $\widehat{ACB}$

Trong $\Delta$ABC, ta có:

AC = BC = OC.tg60° = $\sqrt{3}$,

AB = OA$\sqrt{2}$ = 2OC$\sqrt{2}$ = 2$\sqrt{2}$

Vậy, ta được:

((xOz), (yOz)) = 180° – $\widehat{ACB}$

⇒ cos((xOz), (yOz)) = cos(180° - $\widehat{ACB}$) = -cos$\widehat{ACB}$ = $\large \frac{1}{3}$

Ví dụ 2: Cho tứ diện OABC có ba mặt OAB, OAC, OBC là những tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OAB), (OAC), (OBC). Chứng minh rằng:

Giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (ABC).

Mặt khác, vì:

OH $\perp$ (ABC) ⇒ OH $\perp$ BC ⇒ (OHA) $\perp$ BC

⇒ HA $\perp$ BC.

Chứng minh tương tự, ta có HB $\perp$ AC, do đó H là trực tâm $\Delta$ABC.

Đặt OA = a, OB = b, OC = c và giả sử

AH $\cap$ BC = $A_{1}$, BH $\cap$ AC = $B_{1}$, CH $\cap$ AB = $C_{1}$

suy ra $OA_{1}A$ = $\alpha$, $OB_{1}B$ = $\beta$, $OC_{1}C$ = $\gamma$.

Trong $\Delta AOA_{1}$ vuông tại O, ta có:

Trong các $\Delta AOA_{1}$ và $\Delta$OBC vuông tại O, ta có:

Ví dụ 3: Cho tam diện Sxyz có Sx, Sy, Sz đôi một vuông góc. Lấy các điểm A, B, C trên Sx, Sy, Sz. Gọi H là trực tâm của $\Delta$ABC.

a. Chứng minh rằng SH $\perp$ (ABC).

b. Chứng minh rằng $(S_{SBC})^{2}$ = $S_{ABC}$ . $S_{HBC}$, Từ đó suy ra:

$(S_{ABC})^{2}$ = $(S_{SAB})^{2}$ + $(S_{SBC})^{2}$ + $(S_{SCA})^{2}$

Giải

a. Ta có:

(1)

Mặt khác, vì H là trực tâm của $\Delta$ABC nên:

AH $\perp$ ВС. (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

BC $\perp$ (SAH) ⇒ BC $\perp$ SH. (3)

Chứng minh tương tự, ta được AB $\perp$ SH. (4)

Từ (3) và (4) suy ra SH $\perp$ (ABC).

b. Trong $\Delta SAA_{1}$ vuông tại S, ta có:

Chứng minh tương tự, ta có:

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 37. Cho ba tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trên một mặt phẳng sao cho $\widehat{xOy}$ = $\widehat{xOz}$ = $\alpha$ (0 < $\alpha$ < $\large \frac{\pi }{2}$) và $\widehat{yOz}$ = $\beta$. Gọi $\gamma$ là góc giữa Ox và mặt phẳng (yOz). Chứng minh rằng

Bài 38. Cho tứ diện ABCD có ba mặt ABC, ACD, ADB là những tam giác vuông tại đỉnh A, M là một điểm ở trong $\Delta$BCD. Gọi $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ lần lượt là góc giữa AM và các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ADB). Chứng minh rằng:

Bài 39. Cho ba tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trên một mặt phẳng sao cho $\widehat{xOz}$ = $\widehat{yOz}$ = $\alpha$ (0 < $\alpha$ < $\large \frac{\pi }{2}$); M là một điểm trên Oz. Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) nằm trên đường phân giác của góc $\widehat{xOy}$.

Bài 40. Cho ba tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trên một mặt phẳng và $\widehat{xOy}$ = $\alpha$; $\widehat{xOz}$ = $\beta$ (0 < $\alpha$, $\beta$ < 90°), $\widehat{yOz}$ = $\gamma$. Lấy A trên Ox với OA = 1. Qua A vẽ mặt phẳng vuông góc với Ox cắt Oy, Oz lần lượt tại B và C.

a. Tính các cạnh của tam giác ABC theo $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.

b. Suy ra điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (xOy) và (xOz) vuông góc với nhau là cos$\gamma$ = cos$\alpha$.cos$\beta$.

Bài 41. Cho tứ diện OABC có các cặp cạnh đối diện bằng nhau từng đôi một. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (OAB) và (OAC) vuông góc với nhau là $\Delta$ABC có tanB.tanC = 2.

Bài 42. Cho ba tia không đồng phẳng Ox, Oy, Oz đôi một hợp với nhau góc 60°. A là một điểm cố định trên Oz với OA = a.

a. Chứng minh hình chiếu vuông góc của Oz trên mặt phẳng (Oxy) là đường phân giác của góc $\widehat{xOy}$.

b. Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (Oxy). Tính AA' theo a.

c. M, N là hai điểm lần lượt trên Ox, Oy. Giả sử M cố định, N di động trên Oy. Tìm tập hợp hình chiếu của A trên MN.

d. Đặt OM = x, ON = y. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác AMN vuông tại A là a(x + y) - xy = 2$a^{2}$.

Bài 43. Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và vuông góc với nhau từng đôi một. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho AC = 2OB và BC = 2OA. Đặt a = OA.

a. Tính OB, OC theo a.

b. Gọi M và N là chân các đường vuông góc kẻ từ O lần lượt đến AC và BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với OC.

c. Tính cos$\widehat{MON}$.

d. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:

Bài 44. Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng, đôi một hợp với nhau góc 60°. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy ba điểm A, B, C. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (yOz). Đặt OA = a, OB = x, OC = y.

a. Tính các góc $\widehat{BOH}$, $\widehat{COH}$ và độ dài các đoạn OH, AH.

b. Tìm hệ thức giữa a, x, y để $\widehat{BAC}$ = 90°

c. Giả sử $\widehat{BAC}$ = 90°. Tính y theo a và x. Tìm điều kiện của x để y tồn tại.

d. Chứng minh nếu đường thẳng BC qua H thì ta có hệ thức 3xy = a(x + y).

e. Tính x, y theo a, cho biết $\widehat{BAC}$ = 90° và H thuộc đường thẳng BC.

Bài 45. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC và đôi một vuông góc với nhau OA = OB = OC = a. Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và AC, E là điểm đối xứng của O qua K.

a. Chứng minh $\Delta$BCE và $\Delta$OME là những tam giác vuông và mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (OCK).

b. Gọi I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN). Chứng minh mặt phẳng (OMN) vuông góc với CE và MN vuông góc với OI. Tính diện tích tứ giác OMIN.

c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OB và CE.

d. F là một điểm di động trên cạnh OA, CH là đường cao của tam giác BCF. Tìm tập hợp điểm H.