§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU

Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O. Chúng tạo thành bốn góc

Định nghĩa: Số đo của góc nhỏ nhất trong bốn góc đó được gọi là số đo của góc hợp bởi hai đường thẳng a, b hay đơn giản là góc giữa hai đường thẳng a và b, kí hiệu là (a, b) hay (b, a).

Đặc biệt:

• Khi a và b trùng nhau thì (a, b) = 0°.

• Khi a và b vuông góc thì (a, b) = 90°.

như vậy, ta luôn có 0 $\leq$ (a, b) $\leq$ 90°.

2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẤT KÌ TRONG KHÔNG GIAN

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a, b là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a', b' lần lượt song song với a và b, kí hiệu là (a, b) hay (b, a).

Chú ý: Để xác định (a, b) ta có thể lấy điểm O nằm ngay trên một trong hai đường thẳng đó.

3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.

Như vậy:

a $\perp$ b ⇔ (a, b) = 90°.

4. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Định lí: Cho hai đường thẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì vuông góc với đường thẳng thứ hai.

Tức là:

Chú ý:

1. Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc thì hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

2. Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau, nhưng trong không gian thì không còn đúng.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1: Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm góc bằng việc lấy một điểm O nào đó (thông thường O $\in$ a hoặc O $\in$ b). Qua O dựng a' và b' theo thứ tự song song với a và b. Khi đó, góc nhọn hoặc vuông tạo bởi a’ và b' là góc giữa a và b.

Bước 2: Tính góc: Sử dụng tỷ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng định lí hàm số côsin trong tam giác thường để xác định số đo góc giữa a' và b'.

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AD.

a. Hãy tính cosin của góc giữa AB và DM, biết ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng a.

b. Hãy tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = $a\sqrt{3}$.

Giải

a. Gọi E là trung điểm của AC, ta có:

EM // AB và EM = $\large \frac{a}{2}$

do đó (AB, DM) = (MD, ME).

Xét $\Delta$DEM, ta có:

DM = DE = $\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$ , trung tuyến trong tam giác đều

Vậy, ta được cos(AB, DM) = $\large \frac{\sqrt{3}}{6}$.

b. Gọi O là trung điểm của BD, ta có:

ON // AB và ON = a;

OM // CD và OM = a

do đó (AB, CD) = (OM, ON).

Gọi I là trung điểm MN, trong $\Delta$IME vuông tại I, ta có:

⇒ $\widehat{MON}$ = 2$\widehat{MOI}$ = 120° ⇒ (OM, ON) = 180° - 120° = 60°

Vậy, ta được (AB, CD) = 60°.

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh AD (M khác A và D). Mặt phẳng $\alpha$ qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.

a. Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông.

b. Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x.

Giải

a. Ta có:

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{NMQ}$ = 90°.

Mặt khác, ba mặt phẳng (ABCD), (SCD) và $\alpha$ cắt nhau theo ba giao tuyến MN, CD, PQ có:

MN // CD ⇒ MN // PQ ⇒ MNPQ là hình thang vuông.

b. Ta có:

Ta có ngay MN = AB = a. (4)

Trong $\Delta$SAD, ta có:

Trong $\Delta$SCD, ta có:

Thay (4), (5), (6) vào (3), ta được:

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AD. Hãy tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = $a\sqrt{2}$.

Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có AB = a, BC = b và $AA_{1}$ = c.

a. Hãy tính góc giữa $AD_{1}$ và $B_{1}C$.

b. Hãy tính góc giữa AB và $A_{1}C$.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Đoạn IJ nối trung điểm I của AB là trung điểm J của CD. Giả sử AB vuông góc với CD. $\alpha$ là mặt phẳng qua M trên đoạn IJ và song song với AB và CD.

a. Tìm giao tuyến của $\alpha$ với mặt phẳng (ICD).

b. Xác định thiết diện của ABCD với mặt phẳng $\alpha$. Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật.

c. Tính diện tích thiết diện, biết IJ = 3IM.

Bài 4. Trong mặt phẳng $\alpha$ cho $\Delta$ABC vuông tại A, $\widehat{B}$ = 60°, AB = a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài $\alpha$, sao cho SB = a và SB vuông góc với OA. Gọi M là một điểm trên cạnh AB, mặt phẳng $\beta$ qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM, với 0 < x < a.

a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.

b. Tính theo a và x diện tích của hình thang này.

c. Tính x để diện tích này lớn nhất.

Bài toán 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để chứng minh a vuông góc với b, ta lựa chọn theo hướng:

Hướng 1: Chứng minh (a, b) = 90°.

Hướng 2: Sử dụng kết quả về liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của hai đường thẳng.

Ví dụ 1: Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoài tiếp $\Delta$BCD.

a. Chứng minh rằng AO vuông góc với CD.

b. Gọi M là trung điểm CD. Tính góc giữa AC và BM.

Giải

a. Qua O dựng đường thẳng song song với CD, cắt BC, BD theo thứ tự tại E và F, suy ra:

(AO, CD) = AOF.

Ta có:

Xét hai tam giác $\Delta$ABE và $\Delta$ABF, ta có:

⇔ $\Delta$AEF cân tại A ⇒ AO $\perp$ EF ⇔ $\widehat{AOF}$ = 90° ⇔ AO $\perp$ CD.

b. Học sinh tự làm – Đáp số $\large \frac{\sqrt{3}}{6}$

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. SAB và SAD là các tam giác vuông tại A.

a. Chứng minh rằng SA vuông góc với BC và CD.

b. Chứng minh rằng SA vuông góc với AC và BD.

Giải

a. Ta có:

b. Trên tia SA lấy điểm S' sao cho AS = AS', ta có:

AB, AD đều là trung trực của SS'

⇒ BS = BS' và DS = DS' ⇒ $\Delta$SBD = $\Delta$S'BD (c.c.c)

⇒ OS = OS' ⇒ $\Delta$OSS' cân tại O ⇒ OA $\perp$ SS' ⇔ AC $\perp$ SA.

Trong (CSS') kẻ Ox song song với SS' và cắt SC, S'C theo thứ tự tại E, F và là trung điểm của mỗi đường, ta có ngay:

EF // SA.

Mặt khác, vì:

$\Delta$SBC = $\Delta$S'BC (c.c.c) ⇒ BE = BF ⇒ $\Delta$BEF cân tại B

⇒ OB $\perp$ EF ⇔ BD $\perp$ SA.

Chú ý: Đề nghị các em học sinh đề xuất một cách giải khác để chứng minh SA vuông góc với BD.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = AD = BC = b.

a. Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó

b. Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện.

Bài 6. Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có tất cả các cạnh đều bằng nhau.

a. Chứng minh rằng AC vuông góc với $B_{1}D_{1}$.

b. Chứng minh rằng $AB_{1}$ vuông góc với $CD_{1}$.

c. Chứng minh rằng $AD_{1}$ vuông góc với $CB_{1}$.

Bài 7. Cho hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối của tứ diện vuông góc với nhau.

Bài 8. Chứng minh rằng nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b nằm trong mặt phẳng $\alpha$ thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $\alpha$.