§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. ĐỊNH NGHĨA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Nhắc lại: Điểm M' được gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn thẳng MM'.

Trường hợp đặc biệt, nếu M nằm trên a thì ta xem M đối xứng với chính nó qua a.

Định nghĩa 1: Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M' đối xứng với M qua đường thẳng a.

Phép đối xứng qua đường thẳng a thường được kí hiệu là Đ$_{a}$. Vậy:

M' = Đ$_{a}$(M) ⇔ a là trung trực đoạn MM'.

Định lí: Phép đối xứng trục là phép dời hình.

2. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy

• Phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với:

• Phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với:

3. TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH

Định nghĩa 2: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng trục Đ$_{d}$ biến H thành chính nó, tức là Đ$_{d}$(H) = H.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1: Tìm phép đối xứng trục biến hình ($H_{1}$) thành hình ($H_{2}$).

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép đối xứng trục.

Ví dụ 1: Cho hai hình vuông ABCD và AMNP có cạnh bằng a. Tìm phép đối xứng trục biến hình vuông ABCD thành AMNP.

Giải

Giả sử CD cắt MN tại E, ta đi chứng minh:

$S_{(AE)}$(ABCD) = APNM.

Thật vậy:

$\Delta$AED = $\Delta$AEM ⇒ M = $S_{(AE)}$(D).

$\Delta$AEC = $\Delta$AEN ⇒ N = $S_{(AE)}$(C).

$\Delta$AEB = $\Delta$AEP ⇒ P = $S_{(AE)}$(B).

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn ($C_{1}$) và ($C_{2}$) lần lượt có tâm $O_{1}$, $O_{2}$ và đều có bán kính R. Tìm phép đối xứng trục biến ($C_{1}$) thành ($C_{2}$).

Giải

Lấy $M_{1}$ tuỳ ý thuộc ($C_{1}$) và gọi $M_{2}$ là ảnh của M qua $S_{d}$.

Vì $O_{2}M_{2}$ và $O_{1}M_{1}$ đối xứng nhau qua (d), nên ta có:

$O_{2}M_{2}$ = $O_{1}M_{1}$

Ta có:

Ngược lại: lấy $M_{2}$ là một điểm tuỳ ý thuộc ($C_{2}$) và gọi $M_{1}$ là tạo ảnh của nó qua $S_{d}$. Ta có:

Vậy, ta thấy ($C_{2}$) là ảnh của ($C_{1}$) qua $S_{d}$.

Bài toán 2: Chứng minh tính chất hình học.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. Với bài toán định tính, ta thường gặp các dạng yêu cầu sau:

Dạng 1: Chứng minh ($H_{1}$) là ảnh của ($H_{2}$) qua phép đối xứng trục Đ$_{a}$, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Lấy điểm $M_{1}$ tuỳ ý thuộc ($H_{1}$), ta đi chứng minh $M_{2}$ = Đ$_{a}$($M_{1}$) $\in$ ($H_{2}$).

Bước 2: Ngược lại, lấy điểm $M_{2}$ tuỳ ý thuộc ($H_{2}$), ta đi chứng minh $M_{1}$ = Đ$_{a}$($M_{2}$) $\in$ ($H_{1}$).

Dạng 2: Chứng minh tính chất K, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định một hoặc nhiều phép đối xứng trục để thiết lập mối liên kết giữa các yếu tố.

Bước 2: Sử dụng các tính chất của phép đối xứng trục để giải các yêu cầu của bài toán.

2. Với bài toán định lượng, ta thường gặp các dạng yêu cầu sau:

Dạng 1: Bằng việc thiết lập được các phép tịnh tiến thích hợp, ngoài việc chứng minh được các tính chất hình học ta còn có thể tính toán được các yếu tố trong một hình.

Dạng 2:

Bằng việc lựa chọn phép đối xứng trục thích hợp cho điểm M, ta đưa bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về các biểu thức độ dài, khi đó ta cần nhớ các kết quả:

• MA + MB $\geq$ AB.

• $\mid$MA - MB$\mid$ $\leq$ AB.

Cụ thể "Cho đường thẳng (d) và hai điểm A, B cùng phía với (d). Tìm điểm M trên (d) sao cho MA + MB nhỏ nhất", khi đó:

Gọi $A_{1}$ là điểm đối xứng với A qua (d)

Ta có:

MA + MB = $MA_{1}$ + MB $\geq$ $A_{1}B$.

Vậy, ta được:

$(MA+MB)_{min}$ = $A_{1}B$, đạt được khi $A_{1}$, M, B thẳng hàng.

Ví dụ 1: Cho hai điểm B và C cố định nằm trên đường tròn (O; R) và điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định.

Giải

Giả sử AH cắt đường tròn tại H'.

Ta có:

H'CB = H'AB = HCB ⇒ $\Delta$H'CH cân tại C.

⇒ BC là đường trung trực của H'H

⇒ H = Đ$_{BC}$(H').

Và vì H' $\in$ (O) nên H $\in$ Đ$_{BC}$((O)).

Ví dụ 2: Cho $\Delta$ABC có BC = a, CA = b, AB = c, p là nửa chu vi, $h_{a}$ là độ dài đường cao từ A. Chứng minh rằng

Giải

Dựng đường thẳng (d) qua A song song cới BC.

Gọi $B_{1}$, $C_{1}$ lần lượt là điểm đối xứng của B, C qua đường thẳng (d), ta có:

$AC_{1}$ = AC = b,

$AB_{1}$ = AB = c,

$BB_{1}$ = $CC_{1}$ = 2AH = 2$h_{a}$,

BB' $\perp$ BC.

Xét $\Delta AB_{1}C$, ta có:

Nhận xét: Trong lời giải của ví dụ trên để chứng minh tính chất chúng ta đã sử dụng một phép đối xứng trục (d), tuy nhiên điều đáng phải minh hoạ được ở đây là tại sao lại chọn trục (d) như vậy, điều này có thể được lý giải sơ lược như sau:

• Việc lựa chọn phép đối xứng trục (d) sẽ nhận được phần tử trung gian quan trọng là $B_{1}C$, phần tử này có được biểu diễn thông qua b và c hoặc qua a và $h_{a}$ , từ đó nhận được mối liên hệ giữa a, b, c và $h_{a}$

• Các em học sinh hãy trả lời thêm câu hỏi "Có tồn tại phép đối xứng trục khác (d) không và nếu có thì tính chất của phép đối xứng đó là gì?”

Ví dụ 3: Cho $\Delta$ABC nhọn, D là điểm cố định trên BC. Tìm hai điểm E, F theo thứ tự thuộc AB và AC sao cho $\Delta$DEF có chu vi nhỏ nhất.

Giải

Gọi $D_{1}$ là điểm đối xứng với D qua AB.

Gọi $D_{2}$ là điểm đối xứng với D qua AC.

Ta có chu vi $\Delta$DEF được cho bởi:

$CV_{\Delta DEF}$ = DE + DF + EF = $D_{1}E$ + $D_{2}F$ + EF.

Vậy $\Delta$DEF có chu vi nhỏ nhất

⇔ $D_{1}E$ + $D_{2}F$ + EF nhỏ nhất ⇔ EF thuộc đường thẳng $D_{1}D_{2}$

⇔ E, F theo thứ tự là giao điểm của $D_{1}D_{2}$ với AB, AC.

Khi đó $(CV_{\Delta DEF})_{min}$ = $D_{1}D_{2}$

Ví dụ 4: Cho $\Delta$ABC nội tiếp trong đường tròn (O, R). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a. Chứng minh rằng các điểm đối xứng của H qua các cạnh của $\Delta$ABC nằm trên đường tròn (O, R). Từ đó suy ra các đường tròn (HBC), (HCA), (HAB) và (O) bằng nhau.

b. Gọi $O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$ lần lượt là tâm các đường tròn (HBC), (HCA), (HAB). Chứng minh $\Delta$ABC và $\Delta O_{1}O_{2}O_{3}$ bằng nhau.

Giải

a. Gọi $H_{1}$, $H_{2}$, $H_{3}$ lần lượt là điểm đối xứng của H qua các cạnh BC, CA, AB.

• Xét phép đối xứng trục BC, ta được:

Vì:

$\widehat{BHC}$ + $\widehat{BAC}$ = 180° ⇔ $\widehat{BH_{1}C}$ + $\widehat{BAC}$ = 180°

⇒ tứ giác $ABH_{1}C$ nội tiếp được ⇒ $H_{1}$ $\in$ (O, R).

• Chứng minh tương tự, ta được $H_{2}$ $\in$ (O, R), $H_{3}$ $\in$ (O, R).

Ta có:

b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.

Ta có ngay:

Suy ra:

Bài toán 3: Tìm tập hợp điểm M.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm một phép đối xứng trục Đ$_{a}$ biến điểm E di động thành điểm M.

Bước 2: Tìm tập hợp (H) của các điểm E.

Bước 3: Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép đối xứng trục Đ$_{a}$.

Ví dụ 1: Cho $\Delta$ABC cân tại A. Một đường thẳng di động ($\Delta$) qua A. Gọi D là điểm đối xứng của C qua ($\Delta$). Đường thẳng BD cắt ($\Delta$) tại M. Tìm quỹ tích các điểm D và M.

Giải

a. Tìm tập hợp điểm D: Từ giả thiết suy ra AD = AC không đổi, do đó quỹ tích các điểm D thuộc đường tròn tâm A, bán kính AC

b. Tìm tập hợp điểm M: Ta có:

$\widehat{BMC}$ = $\widehat{MCD}$ + $\widehat{MDC}$ = 2 $\widehat{MDC}$ = 2 $\widehat{BDC}$ = $\widehat{BAC}$ không đổi.

Vậy quỹ tích các điểm M thuộc cung tròn chứa góc A của đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ABC.

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O, R) trên đó có hai điểm A và B, một đường tròn ($O_{1}$; $R_{1}$) tiếp xúc ngoài với (O) tại A. Một điểm M di động trên (O), tia MA cắt đường tròn ($O_{1}$) tại điểm thứ hai $A_{1}$. Qua $A_{1}$ vẽ đường thẳng song song với AB cắt tia MB tại $B_{1}$. Tìm tập hợp điểm $B_{1}$.

Giải

Gọi giao điểm thứ hai của $B_{1}A_{1}$ với đường tròn ($O_{1}$) là $A_{2}$.

Kẻ tiếp tuyến chung x'x của (O) và ($O_{1}$) tại A, ta có:

$\widehat{A_{1}B_{1}B}$ = $\widehat{ABM}$ = $\widehat{x'AM}$ = $\widehat{xAA_{1}}$ = $\widehat{AA_{2}A_{1}}$.

Suy ra hình thang $ABB_{1}A_{2}$ cân, nên $A_{2}$ và $B_{1}$ đối xứng với nhau qua trung trực (d) của AB.

Ta có:

• Khi M di động trên (O) thì $A_{2}$ di động trên ($O_{1}$), suy ra tập hợp các điểm $A_{2}$ là đường tròn ($O_{1}$).

• $B_{1}$ = $S_{d}(A_{2})$ nên tập hợp các điểm $B_{1}$ là đường tròn ($O_{2}$) với ($O_{2}$) = $S_{d}(O_{1})$

Bài toán 4: Dựng hình.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Phương pháp áp dụng

Ta luôn thực hiện theo 4 bước đã biết.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng xx' và hai điểm P, Q cùng nằm một phía đối với xx'. Dựng điểm A $\in$ xx' sao cho $\widehat{PAx}$ = $\widehat{QAx'}$.

Giải

Phân tích: Giả sử đã dựng được điểm A $\in$ xx' sao cho

$\widehat{PAx}$ = $\widehat{QAx'}$.

Thực hiện phép đối xứng trục (xx').

$S_{(xx')}$: $P \mapsto P_{1}$

Khi đó

$\widehat{PAx}$ = $\widehat{P_{1}Ax}$ = $\widehat{QAx'}$ ⇔ $P_{1}$, A, Q thẳng hàng.

Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện:

- Dựng điểm $P_{1}$ với $P_{1}$ = $S_{(xx')}(P)$

- Lấy điểm chung A của (xx') và ($P_{1}Q$)

Khi đó A là điểm phải dựng.

Chứng minh: Theo cách dựng, ta có:

$\widehat{QAx'}$ = $\widehat{P_{1}Ax}$ = $\widehat{PAx}$.

Biện luận: Số nghiệm của bài toán bằng số nghiệm chung của (xx') và ($P_{1}Q$), suy ra luôn tồn tại duy nhất một điểm A.

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn ($O_{1}$) và ($O_{2}$) và một đường thẳng (d). Dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt trên ($O_{1}$) và ($O_{2}$), hai đỉnh B và D trên (d).

Giải

Phân tích: Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD có A, C lần lượt trên ($O_{1}$) và ($O_{2}$), B và D ở trên (d).

Thực hiện phép đối xứng trục (d).

$S_{(d)}$: A $\mapsto$ C

($O_{1}$) $\mapsto$ ($O_{3}$).

Khi đó C $\in$ ($O_{3}$).

Vậy C là một trong hai giao điểm của ta ($O_{3}$) và ($O_{2}$).

Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện:

- Dựng đường tròn ($O_{3}$) với ($O_{3}$) = $S_{(d)}[(O_{1})]$

- Lấy điểm chung C của ($O_{3}$) và ($O_{2}$)

- Dựng điểm A với A = $S_{(d)}$(C).

- AC cắt (d) tại I

- Trên (d) dựng B và D đối xứng nhau qua I sao cho IB = IC, thì ABCD là hình vuông phải dựng.

Chứng minh: Theo cách dựng, tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình vuông và:

Biện luận: Số nghiệm hình của bài toán bằng số nghiệm chung của ($O_{3}$) và ($O_{2}$).

Ví dụ 3: Cho hai đường tròn ($O_{1}$) và ($O_{2}$) và một đường thẳng (d). Dựng điểm M trên (d) sao cho tiếp tuyến kẻ từ M tới ($O_{1}$) và ($O_{2}$) tạo thành một góc nhận (d) làm đường phân giác.

Giải

Phân tích: Giả sử đã dựng được điểm M thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thực hiện phép đối xứng trục (d).

Khi đó $MT_{3}$ cũng là tiếp tuyến của ($O_{3}$).

Vậy $MT_{3}$ là một tiếp tuyến chung của ($O_{3}$) và ($O_{2}$).

Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện:

- Dựng đường tròn ($O_{3}$) đối xứng với ($O_{1}$) qua (d).

- Dựng tiếp tuyến chung $T_{2}T_{3}$ của ($O_{3}$) và ($O_{2}$).

- Đường thẳng $T_{2}T_{3}$ cắt (d) tại M

Khi đó M là điểm cần dựng.

Chứng minh: Thật vậy lấy $MT_{1}$ = $S_{(d)}(MT_{3})$ ⇒ $MT_{1}$ tiếp xúc với ($O_{1}$) và góc $\widehat{T_{1}MT_{2}}$ nhận (d) làm đường phân giác.

Biện luận: Số nghiệm điểm M của bài toán bằng số giao điểm của tiếp tuyến chung của ($O_{3}$) và ($O_{2}$) với đường thẳng (d).

Hình sau minh hoạ ba trường hợp vô nghiệm:

Bài toán 5: Hệ toạ độ của phép đối xứng trục.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,

• Phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với:

• Phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x';y') với:

Trong phần này chúng ta xem xét ba bài toán cơ bản và mong muốn thông qua đó các em có thể xây dựng được phương pháp giải bài toán tổng quát.

Dạng 1: Xác định điểm $M_{1}$ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d): Ax + By + C = 0.

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Ta có:

Bước 2: Giải hệ (I) ta được toạ độ điểm $M_{1}$.

Chú ý:

1. Cũng có thể thực hiện theo cách:

Bước 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của M trên (d).

Bước 2: Gọi $M_{1}$ là điểm đối xứng với M qua (d) thì H là trung điểm $MM_{1}$, ta được:

2. Ảnh của điểm M($x_{0}$, $y_{0}$) qua phép đối xứng:

• Trục Ox là $M_{1}$($x_{0}$; -$y_{0}$).

• Trục Oy là $M_{1}$(-$x_{0}$; $y_{0}$).

3. Như chúng ta đã biết, việc tìm ra toạ độ diểm $M_{1}$ sẽ cho phép ta giải được dạng toán với yêu cầu:

"Cho đường thẳng (d) và hai điểm A, B cùng phía với (d). Tìm điểm P trên (d) sao cho PA + PB nhỏ nhất", ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Gọi $A_{1}$ là điểm đối xứng với A qua (d), suy ra toạ độ $A_{1}$.

Bước 2:

Bước 3: Ta có PA + PB = $PA_{1}$ + PB $\geq$ $A_{1}B$.

Vậy $(PA+PB)_{min}$ = $A_{1}B$, đạt được khi:

$A_{1}$, P, B thẳng hàng ⇔ P $\equiv$ $P_{0}$

Dạng 2: Xác định phương trình đường thẳng ($d_{1}$) đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng ($\Delta$).

Ta xét hai khả năng sau:

Khả năng 1: Nếu (d) $\cap$ ($\Delta$) = {I}. Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định toạ độ giao điểm I.

Bước 2: Lấy một điểm A $\in$ (d), từ đó xác định toạ độ điểm $A_{1}$ đối xứng với A qua ($\Delta$).

Bước 3: Đường thẳng ($d_{1}$) qua I và $A_{1}$.

Khả năng 2: Nếu (d) // ($\Delta$). Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Viết lại phương trình của (d), ($\Delta$) dưới dạng:

(d): Ax + By + $C_{d}$ = 0,

($\Delta$): Ax + By + $C_{\Delta }$ = 0.

Bước 2: Khi đó:

($d_{1}$): Ax + By + C = 0 với C được xác định bởi:

Dạng 3: Xác định phương trình đường tròn ($C_{1}$) đối xứng với đường tròn (C): f(x, y) = 0 qua đường thẳng (d).

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Gọi I, $I_{1}$ theo thứ tự là tâm đường tròn (C), ($C_{1}$) và R là bán kính đường tròn (C).

Bước 2: Xác định toạ độ điểm $I_{1}$ đối xứng với I qua (d).

Bước 3: Lập phương trình đường tròn ($C_{1}$) thoả mãn:

Chú ý. Trong trường hợp đường thẳng (d) có dạng x = $\alpha$ (hoặc y = $\beta$) ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Với mỗi M(x, y) $\in$ ($C_{1}$) ⇔ $\exists M_{1}(x_{1},y_{1})\in (C)$ sao cho M đối xứng với $M_{1}$ qua đường thẳng x = $\alpha$ (hoặc y = $\beta$) ⇔ $\exists x_{1},y_{1}$ thoả mãn:

Bước 2: Khử $x_{1},y_{1}$ từ hệ (1) ta được phương trình của đường tròn ($C_{1}$).

Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d): 3x + 4y - 12 = 0 và điểm M(7; 4). Tìm toạ độ điểm $M_{1}$ là điểm đối xứng với M qua (d).

Giải

Giả sử $M_{1}$(x; y), ta có:

Vậy, ta được $M_{1}$(1;-4).

Ví dụ 2: Tìm toạ độ điểm $M_{1}$ là điểm đối xứng với M(3;-1) qua (d), biết:

Giải

Vì H $\in$ (d), suy ra H(4t; 3 + 3t) ⇒ $\overrightarrow{MH}$ (4t – 3; 3t + 4).

Gọi $\vec{a}$ là vtcp của (d), ta được $\vec{a}$(4; 3).

Vì MH $\perp$ (d) nên:

$\overrightarrow{MH}$ $\perp$ $\vec{a}$ ⇔ $\overrightarrow{MH}$.$\vec{a}$ = 0 ⇔ 4(4t – 3) + 3(3t + 4) = 0 ⇔ t = 0 ⇒ H(0; 3).

• $M_{1}$ là điểm đối xứng với M qua (d) ⇒ H là trung điểm $MM_{1}$, do đó:

Ví dụ 3: Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P tới các điểm A và B là nhỏ nhất, biết A(1; 1) và B(3; 3), tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Giải

Gọi $A_{1}$ là điểm đối xứng với A qua Ox ⇒ suy ra $A_{1}$(1;-1).

Gọi $P_{0}$ = ($A_{1}B$) $\cap$ Ox, suy ra $P_{0}$(x; 0), A, B thẳng hàng

Ta có

PA + PB = $PA_{1}$ + PB $\geq$ $A_{1}B$.

Vậy, ta thấy:

đạt được khi:

Ví dụ 1: Cho $\Delta$ABC biết A(2; -1) và hai đường phân giác trong của góc B, C có phương trình ($d_{B}$): x - 2y + 1 = 0 và ($d_{C}$): x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh BC.

Giải

Nhận xét rằng: nếu lấy $A_{1}$, $A_{2}$ theo thứ tự là điểm đối xứng của A qua ($d_{B}$) và ($d_{C}$) thì $A_{1}$, $A_{2}$ $\in$ BC.

Vậy, phương trình đường thẳng ($A_{1}A_{2}$) cũng chính là phương trình đường thẳng (BC). Ta lần lượt đi xác định $A_{1}$, $A_{2}$:

a. Xác định $A_{1}$

Gọi ($d_{1}$) là đường thẳng thoả mãn :

Gọi E = ($d_{1}$) $\cap$ ($d_{B}$), toạ độ điểm E là nghiệm hệ:

Vì E là tung điểm $AA_{1}$, do đó:

b) Xác định $A_{2}$

Gọi ($d_{2}$) là đường thẳng thoả mãn:

Gọi F = ($d_{2}$) $\cap$ ($d_{C}$), toạ độ điểm F là nghiệm hệ:

Vì F là trung điểm $AA_{2}$, do đó:

Vậy, phương trình (BC) được xác định bởi:

Ví dụ 4: Xác định phương trình đường thẳng ($d_{1}$) đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng ($\Delta$), biết:

a. (d): 4x - y + 3 = 0 và ($\Delta$): x - y = 0.

b. (d): 6x - 3y + 4 = 0 và ($\Delta$): 4x - 2y + 3 = 0.

Giải

a. Nhận xét rằng (d) $\cap$ ($\Delta$) = {I}, khi đó toạ độ điểm I là nghiệm của hệ:

Lấy điểm A(0; 3) $\in$ (d), gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ($\Delta$), ta có:

• (AH) $\perp$ ($\Delta$) ⇒ (AH): x + y + C = 0.

• A $\in$ (AH) ⇔ 3 + C = 0 ⇔ C= - 3.

Vậy (AH): x + y - 3 = 0. Khi đó toạ độ điểm H là nghiệm của hệ:

Gọi $A_{1}$ là điểm đối xứng với A qua ($\Delta$) ⇒ H là trung điểm $AA_{1}$ ⇒ $A_{1}$(3; 0).

Đường thẳng ($d_{1}$) được cho bởi:

b. Nhận xét rằng (d) // ($\Delta$), khi đó viết lại phương trình hai đường thẳng dưới dạng:

Khi đó ($d_{1}$): 2x – y + C = 0, với C được xác định bởi:

Vậy, phương trình đường thẳng ($d_{1}$):

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn ($C_{1}$) có phương trình:

($C_{1}$): $x^{2}$ + $y^{2}$ - 4x + 5y + 1 = 0,

Viết phương trình ảnh của đường tròn trên qua phép đối xứng có trục Oy.

Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Mỗi điểm M(x, y) $\in$ ($C_{1}'$) là ảnh của một điểm $M_{0}(x_{0},y_{0})$ $\in$ ($C_{1}$) qua phép đối xứng có trục Oy, ta có:

Phương trình (*) chính là phương trình của ($C_{1}'$).

Cách 2: Đường tròn ($C_{1}$) có tâm và bán kính

Đường tròn ($C_{1}'$) đối xứng với đường tròn ($C_{1}$) qua Oy có:

Ví dụ 6: Cho $\Delta$ABC biết B(0, 1), C(1, 0) và trực tâm H(2, 1). Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ABC.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Lập phương trình cạnh AB, thoả mãn:

Lập phương trình cạnh AC, thoả mãn :

Từ đó xác định được toạ độ điểm A = (AB) $\cap$ (AC).

Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.

Cách 2: Nhận xét rằng đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ABC đối xứng với đường tròn ngoại tiếp $\Delta$HBC qua BC. Do đó:

Lập phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm H, B, C.

Lập phương trình đường tròn ($C_{1}$) đối xứng với đường tròn (C) qua BC.

Nhận xét: Cách 2 cho phép ta giải được bài toán mang tính quĩ tích như sau:

"Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ABC, biết phương trình cạnh BC và đường tròn ngoại tiếp $\Delta$HBC".

trong khi đó nếu thực hiện bằng cách 1 sẽ rất phức tạp.

Ví dụ 7:

Cho hàm số:

Chứng minh rằng đường thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số.

Giải

Đường thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số ⇔ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = x + 2 (có dạng y = -x + m) nếu cắt đồ thị tại A và B thì trung điểm I của AB phải thuộc đường thẳng y = x + 2.

Hoành độ giao điểm A, B là các nghiệm của phương trình:

Giả sử $x_{A}$, $x_{B}$ là các nghiệm của (1) thì:

Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

Thay toạ độ của I vào phương trình đường thẳng y = x + 2, ta được:

Vậy, đường thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số.

Nhận xét: Như vậy, để thực hiện yêu cầu "Chứng minh rằng đường thẳng (d): y = ax + b là trục đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)", ta thực hiện như sau:

Bước 1: Gọi ($\Delta$) là đường thẳng vuông góc với (d), suy ra phương trình của ($\Delta$):

Bước 2: Giả sử ($\Delta$) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B. Khi đó hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình:

Sử dụng hệ thức viét ta được:

Bước 3: Gọi I là trung điểm AB, ta có:

Thay toạ độ của I vào (d) ⇒ nhận xét I $\in$ (d).

Bước 4: Vậy, ta khẳng định được (d) là trục đối xứng của đồ thị hàm số.

Trong bài toán này ta không cần tìm điều kiện của tham số m để phương trình (1) có nghiệm.

Ví dụ 8: Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị (C) và đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x - 1, biết:

Giải

Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng (d)

⇔ AB $\perp$ (d) và trung điểm I của AB thuộc (d).

• Vì AB vuông góc với (d) nên (AB): y = -x + m.

Hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình:

Để A, B tồn tại thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt

Khi đó, giả sử $x_{A}$, $x_{B}$ là các nghiệm của (1) thì:

Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

• Điểm I $\in$ (d) nên:

Với m = -1 phương trình (1) có dạng:

Nhận xét: Như vậy, để thực hiện yêu cầu "Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = f(x) đối xứng qua đường thẳng (d): y = ax + b", ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm miền xác định D của hàm số y = f(x).

Bước 2: Gọi ($\Delta$) là đường thẳng vuông góc với (d), suy ra phương trình của ($\Delta$):

Bước 3: Giả sử ($\Delta$) cắt đô thị hàm số tại hai điểm A, B. Khi đó hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình:

Để tồn tại A, B thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc D

⇔ tham số

Sử dụng hệ thức viết ta được

Bước 4: Gọi I là trung điểm AB, ta có

- Hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng (d) ⇔ I $\in$ (d) ⇔ m.

- Thay m vào (1) ta có được hoành độ A, B là $x_{A}$, $x_{B}$

- Khi đó:

Ví dụ 9: Cho hàm số:

y = $x^{2}$ + 2x - 1.

Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = -1 làm trục đối xứng.

Giải

Với phép biến đổi toạ độ:

ta được:

Vậy, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = -1 làm trục đối xứng.

Nhận xét:

1. Đồ thị hàm số bậc hai:

y = a$x^{2}$ + bx + c, a $\neq$ 0

luôn nhận đường thẳng làm trục đối xứng.

2. Như vậy, để chứng minh đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Với phép biến đổi toạ độ

hàm số có dạng :

Y = f(X + a) ⇔ Y = F(X) (1)

Bước 2: Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm số chẵn.

Bước 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng.

Ví dụ 10: Cho hàm số:

y = $x^{4}$ - 4$x^{3}$ - 2$x^{2}$ + 12x - 1.

Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số có một trục đối xứng thẳng đứng.

Giải

Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x = a. Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:

hàm số được chuyển về dạng:

Ta có :

Hàm số (1) là hàm số chẵn:

Vậy, đồ thị hàm số có một trục đối xứng x = 1.

Chú ý:

1. Với các hàm số dạng trên, một câu hỏi phụ thường được đặt thêm vào sau khi xác định được trục đối xứng thẳng đứng của nó là "Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành", khi đó ta thực hiện như sau:

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

$x^{4}$ - 4$x^{3}$ - 2$x^{2}$ + 12x - 1 = 0. (1)

Đặt x = X+ 1, phương trình (1) có dạng:

Vậy đồ thị hàm số cắt Ox tại bốn điểm có hoành độ

2. Với yêu cầu tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Với phép biến đổi toạ độ:

hàm số có dạng: Y = f(X + a) ⇔ Y = F(X) (2)

Bước 2: Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng

⇔ hàm số (2) là hàm số chẵn ⇒ Giá trị của tham số.

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ 11: Cho hàm số:

y = $x^{4}$ + 4$x^{3}$ + m$x^{2}$.

Xác định m để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy.

Giải

Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy là x = a (a $\neq$ 0).

Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:

hàm số

Ta có:

Hàm số (1) là hàm số chẵn:

Vậy, với m = 4 đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Vẽ ảnh của $\Delta$ABC qua phép đối xứng với trục là đường trung trực của cạnh BC.

Bài 2. Qua phép đối xứng trục Đ$_{a}$ (a là trục đối xứng), đường thẳng d biến thành đường thẳng d'. Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a. Khi nào thì d song song với d'?

b. Khi nào thì d trùng với d'?

c. Khi nào thì d cắt với d'? Giao điểm của d và d' có tính chất gì?

d. Khi nào d vuông góc với d'?

Bài 3. Qua phép đối xứng trục Đ$_{a}$

a. Những tam giác nào biến thành chính nó?

b. Những đường tròn nào biến thành chính nó?

Bài 4. Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB và $A_{1}B_{1}$. CMR cần nhiều nhất là tích hai phép đối xứng trục để biến A thành $A_{1}$, B thành $B_{1}$.

Bài 5. Lấy một điểm M trên đường phân giác ngoài góc C của $\Delta$ABC.

Chứng minh rằng MA + MB > CA + CB.

Bài 6. Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng:

Dấu bằng xảy ra khi nào ?

Bài 7. Cho hai đường thẳng Ax và By cùng vuông góc với AB, M và N là hai giao điểm trên đường thẳng AB sao cho $\overrightarrow{AM}$ = $\overrightarrow{NB}$. Trên Ax lấy điểm P, trên By lấy điểm Q sao cho M nhìn đoạn PQ dưới một góc vuông. Chứng minh rằng điểm N cũng nhìn đoạn PQ dưới một góc vuông.

Bài 8. Cho điểm M ở trong $\Delta$ABC, A' đối xứng với M qua đường phân giác của góc C. Chứng minh rằng các đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy hoặc song song đôi một.

Bài 9. Trong các tam giác có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h, hãy tìm tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp nhỏ nhất.

Bài 10. Cho góc xOy và điểm M thuộc miền trong của góc. Qua M dựng đường thẳng cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng $\Delta$AOB có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các tam giác tạo bởi các tia Ox, Oy và một đường thẳng bất kì qua M.

Bài 11. Cho $\Delta$ABC nhọn.

a. Tìm ba điểm D, E, F theo thứ tự thuộc BC, AB và AC sao cho $\Delta$DEF có chu vi nhỏ nhất.

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi $\Delta$DEF theo các cạnh a, b, c của $\Delta$ABC.

Bài 12. Cho $\Delta$ABC, biết B, C thuộc đường thẳng (d) cố định, trực tâm H cố định và đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ABC đi qua điểm P cố định. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ABC.

Bài 13. Cho góc nhọn xOy, ở bên trong góc đó có một tia Oz cố định, M là điểm di động trên tia Oz. Gọi $M_{1}$ và $M_{2}$ lần lượt là các điểm đối xứng của M qua Ox và Oy. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn $M_{1}M_{2}$.

Bài 14. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB của đường tròn đó. Tìm tất cả các tam giác nội tiếp trong đường tròn (O) và có một cạnh là dây AB.

Bài 15. Dựng ảnh của $\Delta$ABC cho trước qua phép đối xứng trục mà trục là:

a. Đường thẳng AB.

b. Đường phân giác AD.

Bài 16. Dựng ảnh của đường tròn (O) cho trước qua phép đối xứng trục mà trục là:

a. Đường thẳng (d) không đi qua tâm O.

b. Đường thẳng (d) đi qua tâm O.

Bài 17. Cho đường thẳng (d) và hai điểm A, B nằm cùng một phía đối với (d). Hãy xác định điểm M $\in$ (d) sao cho đường phân giác của góc $\widehat{AMB}$ nằm trên (d).

Bài 18. Cho đường thẳng xx' và hai điểm P, Q cùng nằm một phía đối với xx'. Dụng điểm A $\in$ xx' sao cho $\widehat{PAx}$ = 2$\widehat{QAx'}$.

Bài 19. Cho ba đường tròn ($d_{1}$), ($d_{2}$) và ($d_{3}$). Dựng hình vuông ABCD có A, C thuộc ($d_{1}$), còn B, D theo thứ tự thuộc ($d_{2}$) và ($d_{3}$).

Bài 20. Trên đường tròn (O) cho hai dây cung AB và CD không cắt nhau và một điểm I trên dây CD, Dựng một điểm I trên dây CD. Dựng một điểm M trên (O) sao cho các dây cung AM và BN chắn CD một đoạn EF nhận I là trung điểm.

Bài 21. Cho góc xOy, tia đối của tia Ox là tia Ox'. Trong góc $\widehat{x'Ox}$ có hai điểm A, B sao cho đoạn thẳng AB không song song cũng như không vuông góc với Oy. Dựng điểm C trên tia Ox sao cho tia Oy cắt các đoạn AC, CB tại các điểm tương ứng M, N tạo thành tâm giác AMN cân tại C.

Bài 22. Cho góc nhọn xOy và một điểm A ở trong góc đó. Hãy dựng một tam giác có đỉnh A, mỗi đỉnh còn lại nằm trên một cạnh của góc đã cho và sao cho chu vi tam giác nhỏ nhất.

Bài 23. Cho $\Delta$ABC biết A(1; 3), B(5; 1), C(-3; -1).

a. Tìm toạ độ điểm H là trực tâm $\Delta$ABC.

b. Tìm toạ độ điểm K đối xứng với H qua BC.

Bài 24. Tìm trên trục hoành điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P tới các điểm A(1; 2) và B(3; 4) là nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 25. Cho $\Delta$ABC biết A(0; 3) và hai đường phân giác trong của góc B, C có phương trình ($d_{B}$): x - y = 0 và ($d_{C}$): 2x + y - 6 = 0. Lập phương trình các cạnh của $\Delta$ABC.

Bài 26. Cho $\Delta$ABC biết A(4; -1) và hai đường phân giác trong của góc B, C có phương trình ($d_{B}$): 2x - 3y + 12 = 0 và ($d_{C}$): 2x + 3y = 0. Lập phương trình các cạnh của $\Delta$ABC.

Bài 27. Cho $\Delta$ABC biết A(3; 5), B(4; -3) và phân giác trong của góc C có phương trình ($d_{C}$): x + 2y - 8 = 0. Lập phương trình các cạnh của $\Delta$ABC.

Bài 28. Xác định phương trình đường thẳng ($d_{1}$) đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng ($\Delta$), biết:

a. (d): x + 2y - 13 = 0 và ($\Delta$): 2x - y - 1 = 0.

b. (d): x - 3y + 3 = 0 và ($\Delta$): 2x - 6y + 3 = 0.

c. (d): x - 3y + 6 = 0 và ($\Delta$): 2x - y - 3 = 0.

Bài 29. Cho $\Delta$ABC biết phương trình cạnh (BC): 4x - y + 3 = 0 và hai đường phân giác trong của góc B, C có phương trình ($d_{B}$): x - 2y + 1 = 0 và ($d_{C}$): x + y + 3 = 0. Lập phương trình cạnh AB, AC.

Bài 30. Cho $\Delta$ABC biết phương trình cạnh (BC): 9x + 1/y + 5 = 0 và hai đường phân giác trong của góc B, C có phương trình ($d_{B}$): 2x - 3y + 12 = 0 và ($d_{C}$): 2x + 3y = 0. Lập phương trình cạnh AB, AC.

Bài 31. Xác định phương trình đường tròn ($C_{1}$) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d), biết:

a. (C): $x^{2}$ + $y^{2}$ - 4x - 2y - 4 = 0 và (d): y - 3 = 0.

b. (C): $x^{2}$ + $y^{2}$ - 2x + 8y + 1 = 0 và (d): x - 2 = 0.

Bài 32. Cho $\Delta$ABC biết B(1; 1), C(3; 2) và trực tâm H(2; 2). Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ABC.

Bài 33. Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị (C) và đối xứng nhau qua (d), biết:

Bài 34. Giải thích tại sao phương trình:

với m > 1 có hai nghiệm phân biệt có tổng không đổi.

Bài 35. Xác định m để đồ thị hàm số (C) có trục đối xứng song song với Oy, biết: