§4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
.png)
Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu một trong hai mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Như vậy:
$\alpha \perp \beta$ ⇔ $\exists$a $\in$ $\alpha$: a $\perp$ $\beta$
2. CÁC TÍNH CHẤT
Định lí 1:
.png)
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Tức là:
.png)
Định lí 2:
.png)
Nếu hai mặt phẳng $\alpha$ và $\beta$ vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trên $\alpha$ thì đường thẳng a đi qua A và vuông góc với $\beta$ sẽ nằm trong $\alpha$.
Tức là:
.png)
Định lí 3:
.png)
Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Tức là:
.png)
Định lí 4: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng, ta dựng được một và chỉ một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ấy.
3. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Định nghĩa: Một hình lăng trụ được gọi là hình lăng trụ đứng nếu các cạnh bên của nó vuông góc với các mặt đáy.
Nhận xét rằng các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật và đều vuông góc với đáy.
.png)
Ta có các trường hợp:
1. Một hình lăng trụ đứng có đáy là một miền đa giác đều được gọi là lăng trụ đều. Như vậy, lăng trụ đều có các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau.
2. Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng. Như vậy, hình hộp đứng có bốn mặt bên là những hình chữ nhật và hai đáy là hình bình hành.
3. Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật. Như vậy, hình hộp chữ nhật có sáu mặt đều là những hình chữ nhật.
4. Hình hộp có tất cả các mặt đều là hình vuông gọi là hình lập phương.
4. HÌNH CHÓP ĐỀU
.png)
Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là miền đa giác đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đa giác đều đó.
Nhận xét rằng các cạnh bên của hình chóp đều thì bằng nhau và các mặt bên của nó là những tam giác cân bằng nhau.
Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp với trung điểm của một cạnh đáy bất kì gọi là trung đoạn của hình chóp đều.
5. HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU
.png)
Định nghĩa: Một hình chóp cụt được cắt ra từ một hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.
Khi đó:
• Hai đáy là hai đa giác đều và đồng dạng.
• Đường nối tâm $OO_{1}$ của hai đáy gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.
• Các mặt bên của hình chóp cụt đều là những hình thang cân và bằng nhau.
• Đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đáy thuộc một mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp cụt đều.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bài toán 1: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta đi chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
2. Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ngoài những cách ta biết, ta còn có thêm hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng kết quả của định lí 1.
Cách 2: Sử dụng kết quả của định lí 3.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và SA = SB = SC = a.
a. Chứng minh rằng (SBD) $\perp$ (ABCD).
b. Chứng minh rằng $\Delta$SBD vuông.
Giải
.png)
a. Gọi O là tâm của hình thoi, ta có:
AC $\perp$ SO, vì $\Delta$SAC cân tại S
AC $\perp$ BD, vì ABCD là hình thoi
suy ra:
(SBD) $\perp$ AC $\in$ (ABCD) ⇒ (SBD) $\perp$ (ABCD).
b. Nhận xét rằng:
$\Delta$DAC = $\Delta$SAC = $\Delta$BAC (c.c.c) ⇒ OD = OS = OB
⇒ $\Delta$SBD vuông tại S vì có trung tuyến bằng nửa cạnh huyền.
Ví dụ 2: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC), (ABD) cùng vuông góc với mặt phẳng (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của $\Delta$BCD và đường cao DK của $\Delta$ACD.
a. Chứng minh rằng AB $\perp$ (BCD).
b. Chứng minh rằng (ABE) $\perp$ (ADC) và (DFK) $\perp$ (ADC).
c. Gọi O và H lần lượt là trực tâm của $\Delta$BCD và $\Delta$ACD. Chứng minh rằng OH $\perp$ (ACD).
Giải
.png)
a. Ta có:
.png)
b. Ta có:
.png)
⇒ (ABE) $\perp$ (ADC)
Ta có:
.png)
Mặt khác, ta lại có:
DK $\perp$ AC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(DFK) $\perp$ AC $\in$ (ACD) ⇒ (DFK) $\perp$ (ADC).
c. Từ kết quả trong b) là:
(ABE) $\perp$ CD ⇒ AE $\perp$ CD ⇒ AE $\cap$ DK = H.
Ta có:
.png)
Ví dụ 3: Cho $\Delta$ACD và $\Delta$BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, AC = AD = BC = BD = a và CD = 2x. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
a. Chứng minh rằng IJ vuông góc với AB và CD.
b. Tính AB và IJ theo a và x.
c. Xác định x sao cho (ABC) $\perp$ (ABD).
Giải
.png)
a. Xét $\Delta$ACD và $\Delta$BCD, ta có:
CD chung
AC = AD = BC = BD
suy ra:
AJ = BJ ⇔ $\Delta$JAB cân tại J ⇒ IJ $\perp$ AB.
Xét $\Delta$CAB và $\Delta$DAB, ta có:
AB chung
AC = AD = BC = BD
suy ra:
DI = CI ⇔ $\Delta$ICD cân tại I ⇒ IJ $\perp$ CD
b. Trong $\Delta$AJC vuông tại J, ta có:
.png)
Nhận xét rằng:
.png)
Trong $\Delta$AJB vuông cân tại J, ta có:
.png)
c. Nhận xét rằng:
.png)
do đó, để (ABC) $\perp$ (ABD) điều kiện là:
DI $\perp$ (ABC) ⇒ DI $\perp$ CI ⇔ $\Delta$ICD vuông tại đỉnh I
.png)
Vậy, với a = $x\sqrt{3}$ thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại B và AD vuông góc với (ABC). Chứng minh rằng (ABD) $\perp$ (BCD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên (SAC) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi I là trung điểm SC.
a. Chứng minh rằng (SBC) $\perp$ (SAC).
b. Chứng minh rằng (ABI) $\perp$ (SBC).
Bài 3. Cho $\Delta$ABC vuông tại A. Vẽ $BB_{1}$ và $CC_{1}$ cùng vuông góc với mặt phắng (ABC).
a. Chứng minh rằng ($ABB_{1}$) $\perp$ ($ACC_{1}$).
b. Gọi AH, AK là các đường cao của $\Delta$ABC và $\Delta AB_{1}C_{1}$. Chứng minh rằng hai mặt phẳng ($BCC_{1}B_{1}$) và ($AB_{1}C_{1}$) cùng vuông góc với mặt phắng (AHK).
Bài 4. Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để:
a. (ABC) $\perp$ (BCD).
b. (ABC) $\perp$ (ACD).
Bài 5. Cho $\Delta$ABC đều cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho .png)
Chứng minh rằng:
a. (SAB) $\perp$ (SAC).
b. (SBC) $\perp$ (SAD).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), M và N là hai điểm lần lượt nằm trên các cạnh BC, CD. Đặt BM = x, DN = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, x, y để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
Bài toán 2: Xác định mặt phẳng $\beta$ chứa đường thẳng a và vuông góc với mặt phẳng $\alpha$ (a không vuông góc với $\alpha$) – Thiết diện.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
.png)
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chọn một điểm A trên a sao cho qua A có thể dựng được đường thẳng b vuông góc với $\alpha$ một cách dễ nhất.
Bước 2: Khi đó, mặt phẳng (a, b) chính là mặt phẳng $\beta$ cần dựng.
Chú ý: Nếu có đường thẳng d $\perp$ $\alpha$ thì $\beta$ // d hay $\beta$ chứa d.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O và cạnh a, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a. Gọi $\alpha$ là mặt phẳng qua O, trung điểm M của SD và vuông góc với (ABCD). Hãy xác định mặt phẳng $\alpha$, mặt phẳng $\alpha$ cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện.
b. Gọi $\beta$ là mặt phẳng qua A, trung điểm E của CD và vuông góc với (SBC). Hãy xác định mặt phẳng $\beta$, mặt phẳng $\beta$ cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện.
Giải
.png)
a. Ta lần lượt thực hiện:
• Xác định mặt phẳng $\alpha$
Trong (SAD) dựng Mx // SA và cắt AD tại Q là trung điểm của AD, ta có:
MQ $\perp$ (ABCD) ⇒ MQ $\in$ $\alpha$.
Vậy $\alpha$ là mặt phẳng (OMQ).
• Xác định thiết diện: Kéo dài QO cắt BC tại P là trung điểm của BC, ta có:
.png)
và My cắt SC tại N là trung điểm của SC.
Vậy, mặt phẳng $\alpha$ cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình thang vuông MNPQ.
• Tính diện tích thiết diện: Ta có:
.png)
trong đó:
.png)
vì MN là đường trung bình của $\Delta$SCD
PQ = a
.png)
vì MQ là đường trung bình của $\Delta$SAD
suy ra:
.png)
b.
.png)
Ta lần lượt thực hiện:
• Xác định mặt phẳng $\beta$: Trong (SAB) hạ AH $\perp$ SB và H là trung điểm của AB, ta có:
.png)
Như vậy:
.png)
Vậy $\beta$ là mặt phẳng (AHE).
• Xác định thiết diện: Kéo dài AE cắt BC tại K, nối HK cắt SC tại F.
Vậy, mặt phẳng $\beta$ cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AEFH.
• Tính diện tích thiết diện: Ta có:
.png)
Trong $\Delta$SAB, ta có:
.png)
Trong $\Delta$ADE, ta có:
.png)
Trong $\Delta$KAB, ta có:
.png)
và AK = 2AE = a = a$\sqrt{5}$.
.png)
Trong $\Delta$HAK vuông tại H, ta có:
.png)
Trong $\Delta$SBK, ta có SC và SH là hai đường trung tuyến, do đó:
.png)
Từ đó, ta được:
.png)
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD, có ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a$\sqrt{3}$ và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi $\alpha$ là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).
a. Hãy xác định mặt phẳng $\alpha$, mặt phẳng $\alpha$ cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì ?
b. Tính diện tích thiết diện.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD, có ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a. Chứng minh rằng (SAD) $\perp$ (SCD) và (SAC) $\perp$ (SBC).
b. Gọi $\alpha$ là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Hãy xác định mặt phẳng $\alpha$, mặt phẳng $\alpha$ cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD, có ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a. Giả sử hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của SA, M là một điểm trên cạnh AD, đặt AM = x, với 0 $\leq$ x $\leq$ a. Gọi $\alpha$ là mặt phẳng chứa EM và vuông góc với mặt phẳng (SAD).
a. Hãy xác định mặt phẳng $\alpha$, mặt phẳng $\alpha$ cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện.
b. Tìm tập hợp hình chiếu của D trên $\alpha$ khi M di động trên cạnh AD.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA = a$\sqrt{3}$ vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SC và SB, M là một điểm trên cạnh AB, đặt AM = x, với 0 $\leq$ x < a. Gọi $\alpha$ là mặt phẳng chứa EM và vuông góc với mặt phẳng (SAB).
a. Hãy xác định rõ mặt phẳng $\alpha$, mặt phẳng $\alpha$ cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
b. Chứng minh rằng .png)
Tính diện tích thiết diện theo a và x.
c. Gọi K là hình chiếu vuông góc của S trên $\alpha$. Tìm tập hợp các điểm K khi M di động trên cạnh AB.
Bài toán 3: Hình lăng trụ đứng.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. Nắm vững định nghĩa và các tính chất của hình lăng trụ đứng để vẽ hình và chứng minh một số tính chất khác.
2. Việc xác định thiết diện của hình lăng trụ đứng cắt bởi một mặt phẳng được thực hiện dựa trên những phương pháp đã biết.
Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có AB = a, BC = b, $CC_{1}$ = c. Chứng minh rằng các đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng nhau.
Giải
.png)
Nhận xét rằng hai hình chữ nhật $AA_{1}C_{1}C$ và $BB_{1}D_{1}D$ bằng nhau, suy ra:
$AC_{1}$ = $A_{1}C$ = $BD_{1}$ = $D_{1}B$
tức là, các đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng nhau.
Trong $\Delta$ABC vuông tại B, ta có:
.png)
Trong $\Delta$$ACC_{1}$ vuông tại C, ta có:
.png)
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$, đáy là tam giác đều cạnh a, $AA_{1}$ = a$\sqrt{2}$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và $A_{1}C_{1}$.
a. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng $\alpha$ qua MN và vuông góc với ($BCC_{1}B_{1}$). Thiết diện là hình gì?
b. Tính diện tích thiết diện.
Giải
.png)
a. Gọi E, $E_{1}$ theo thứ tự là trung điểm của BC và $B_{1}C_{1}$, ta có ngay:
.png)
Do đó:
• Dựng Mx // AE cắt BC tại Q là trung điểm của BE.
• Dựng Ny // $A_{1}E_{1}$ cắt $B_{1}C_{1}$ tại P là trung điểm của $E_{1}C_{1}$.
Vì MQ // NP nên M, N, P, Q đồng phẳng, do vậy MNPQ chính là thiết diện cần dựng.
Nhận xét rằng:
.png)
⇒ MNPQ là hình bình hành.
MQ $\perp$ ($BCC_{1}B_{1}$) ⇒ MQ $\perp$ PQ.
Vậy, thiết diện MNPQ là hình chữ nhật.
b, Ta có:
$S_{MNPQ}$ = MQ.NP.
Trong $\Delta$ABC, ta có:
.png)
vì $\Delta$ABC đều và có cạnh bằng a.
Trong $\Delta$ABE, ta có:
.png)
vì MQ là đường trung bình.
Trong $\Delta$$ECC_{1}$, ta có:
.png)
Từ đó, ta được:
.png)
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 11. Chứng minh rằng một hình hộp có:
a. Hai mặt chéo vuông góc với nhau là một hình hộp chữ nhật.
b. Bốn đường chéo bằng nhau là một hình hộp chữ nhật.
Bài 12. Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Chứng minh rằng:
a. $AC_{1}$ $\perp$ ($A_{1}BD$) và $AC_{1}$ $\perp$ ($CB_{1}D_{1}$).
b. $BC_{1}$ $\perp$ ($A_{1}B_{1}CD$).
Bài 13. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = a, $AA_{1}$ = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và $A_{1}C_{1}$.
a. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng $\alpha$ qua MN và vuông góc với ($BCC_{1}B_{1}$). Thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện.
b. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng $\beta$ qua A và vuông góc với $B_{1}C$. Thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện.
c. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng $\gamma$ qua $B_{1}$ và vuông góc với $A_{1}I$, với I là trung điểm của cạnh BC. Thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện.
Bài 14. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có AB = a, BC = b, $CC_{1}$ = c. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và $C_{1}D_{1}$.
a. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng $\alpha$ qua ME và vuông góc với ($BDD_{1}B_{1}$). Thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện.
b. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng $\beta$ qua MN và vuông góc với ($ACB_{1}$). Thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện.
Bài 15. Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$, cạnh đáy a, đường cao h. $\alpha$ là mặt phẳng qua A và vuông góc với $B_{1}C$. Biện luận theo a, h các dạng thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng $\alpha$ và tính diện tích thiết diện.
Bài 16. Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, cạnh a. M và N là hai điểm di động lần lượt trên cạnh $A_{1}D$ và BD sao cho $A_{1}M$ = DN = x$\sqrt{2}$ , với 0 < x < a. Gọi $\alpha$ là mặt phẳng qua MN và vuông góc với ($A_{1}B_{1}CD$).
a. Tuỳ theo x hãy tìm thiết diện của hình lập phương và mặt phẳng $\alpha$
b. Tính thiết diện khi nó là hình ngũ giác.
Bài 17. Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ cạnh a. Điểm M thuộc $AD_{1}$ và điểm N thuộc BD sao cho AM = DN = x, với 0 < x < a$\sqrt{2}$.
a. Chứng minh rằng khi .png)
thì MN ngắn nhất.
b. Chứng minh rằng MN luôn luôn song song với mặt phẳng ($A_{1}D_{1}BC$) khi x biến thiên.
c. Khi MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đoạn thẳng vuông góc chung của $AD_{1}$ và DB và MN song song với $A_{1}C$.
Bài 18. Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, cạnh có độ dài bằng 1. Điểm M di động trên cạnh AA' là điểm N di động trên cạnh BC sao cho AM = BN = h, với 0 < h < 1.
a. Chứng minh khi h thay đổi thì MN luôn cắt và vuông góc với một đường thẳng cố định.
b. Gọi T là trung điểm của $D_{1}C_{1}$. Hãy dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNT) và hình lập phương.
c. Tính h để chu vi thiết diễn đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 19. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có AB = a, BC = b, $CC_{1}$ = c. Gọi O, $O_{1}$ là tâm của ABCD và $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Gọi $\alpha$ là mặt phẳng qua $O_{1}$ và song song với $A_{1}D$ và DO.
a. Hãy dựng thiết diện của hình hộp với mặt phẳng $\alpha$. Thiết diện là hình gì?
b. Tìm điều kiện của a, b, c để thiết diện là hình thoi có một góc bằng $60^{0}$.
Bài 20. Cho lăng trụ lục giác đều $ABCDEF.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}$, cạnh đáy a, đường cao h. Gọi M là trung điểm của $DD_{1}$. Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (ABM). Tính diện tích của thiết diện.
Bài toán 4: Hình chóp đều - Hình chóp cụt đều.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. Nắm vững định nghĩa và các tính chất của hình chóp đều và hình chóp cụt đều để vẽ hình và chứng minh một số tính chất khác.
2. Việc xác định thiết diện của hình chóp đều và hình chóp cụt đều cắt bởi một mặt phẳng được thực hiện dựa trên những phương pháp đã biết.
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng $\alpha$ cắt các cạnh SA, SB, SC, SD của hình chóp theo thứ tự tại $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$.
a. Xét đặc điểm của tứ giác $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ khi $A_{1}B_{1}$ hoặc $A_{1}C_{1}$ hoặc cả hai đường thẳng đó song song với mặt phẳng (ABCD).
b. Chứng minh rằng .png)
Giải
a. Ta có:
.png)
• Với $A_{1}B_{1}$ // (ABCD) thì:
$A_{1}B_{1}$ // AB // CD ⇒ $A_{1}B_{1}$ // $C_{1}D_{1}$ và $A_{1}D_{1}$ = $B_{1}C_{1}$
Do đó, tứ giác $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ là hình thang cân.
• Với $A_{1}C_{1}$ // (ABCD) thì
$A_{1}C_{1}$ // AC.
Mặt khác, ta lại có:
.png)
Do đó, tứ giác $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ có hai đường chéo vuông góc với nhau.
• Với $A_{1}B_{1}$ // (ABCD) và $A_{1}C_{1}$ // (ABCD) thì
($A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$) // (ABCD)
Do đó, tứ giác $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ là hình vuông.
b. Bạn đọc tự làm
Hướng dẫn: Thực hiện phép tính diện tích $\Delta SA_{1}C_{1}$ và $\Delta SB_{1}D_{1}$
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 21. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a.
a. Tính độ dài đường cao và trung đoạn của hình chóp.
b. Gọi E là trung điểm của SC, chứng minh rằng (EBD) $\perp$ (SAC).
Bài 22. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi M là trung điểm SB
a. Chứng minh rằng $\Delta$SBD vuông.
b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\alpha$ qua AM và vuông góc với (SBD). Tính diện tích thiết diện.
c. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\beta$ qua DM và vuông góc với (SBD). Tính diện tích thiết diện.
Bài 23. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng $\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$ và cạnh đáy a. Gọi $\alpha$ là mặt phẳng qua A, song song với BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC).
a. Hãy xác định mặt phẳng $\alpha$. Mặt phẳng $\alpha$ cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ?
b. Tính diện tích thiết diện.
Bài 24. Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF có cạnh bên bằng 2a và cạnh đáy a.
a. Chứng minh rằng (SBE) $\perp$ (SDF).
b. Gọi $\alpha$ là mặt phẳng qua A, Song song với BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Hãy xác định mặt phẳng $\alpha$. Mặt phẳng $\alpha$ cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện.