§6. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. HÌNH LĂNG TRỤ

Định nghĩa: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai đáy đều song song với nhau.

Trong đó:

• Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.

• Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng trụ.

• Tuỳ theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác,...

Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau:

a. Các cạnh bên song song và bằng nhau.

b. Các mặt bên và các các mặt chéo là những hình bình hành.

c. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

2. HÌNH HỘP

Định nghĩa:

a. Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.

b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.

c. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.

Chú ý: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1: Sử dụng tính chất của hình lăng trụ - Thiết diện.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. Nắm vững định nghĩa và các tính chất của hình lăng trụ để vẽ hình và chứng minh một số tính chất khác.

2. Việc xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi một mặt phẳng cũng tiến hành tương tự như đối với hình chóp. Lưu ý rằng " Hai đáy hình lăng trụ song song, do đó giao tuyến của mặt phẳng cắt 2 mặt đó, nếu có, là hai đoạn thẳng song song ".

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi H là trung điểm của cạnh A'B'.

a. Chứng minh rằng đường thẳng B'C song song với mặt phẳng (AHC).

b. Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (A'B'C') và (A'BC). Chứng minh rằng d song song với mặt phẳng (BB'C'C).

c. Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.A'B'C' khi cắt bởi mặt phẳng (H, d)

Giải

a. Giả sử:

AC' $\cap$ A'C = {N} ⇒ N là trung điểm AC' và A'C

⇒ B'C // NH - tính chất đường trung bình ⇒ B'C // (AHC'), đpcm.

b. Giả sử:

AB' $\cap$ A'B = {M} ⇒ (A'B'C') $\cap$ (A'BC) = MN.

Từ tính chất đường trung bình, suy ra:

MN // BC $\subset$ (BB'C'C) ⇒ MN // (BB'C'C), đpcm.

c. Nối MH cắt AB tại P (P là trung điểm AB), khi đó:

(H, d) $\cap$ (ABC) = Px // MN // BC,

⇒ Px cắt AC tại Q (Q là trung điểm AC).

(H, d) $\cap$ (A'B'C') = Hy // MN // BC // B'C'

⇒ Hy cắt A'C' tại R (R là trung điểm A'C').

Khi đó, ta được thiết diện là hình bình hành HPQR.

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$. Gọi M, $M_{1}$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC và $B_{1}C_{1}$.

a. Chứng minh rằng AM // $A_{1}M_{1}$.

b. Tìm giao điểm của mặt phẳng ($AB_{1}C_{1}$) với đường thẳng $A_{1}M$.

c. Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng ($AB_{1}C_{1}$) và ($BA_{1}C_{1}$).

d. Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng ($AMA_{1}$). Chứng minh rằng G là trọng tâm $\Delta$$AB_{1}C_{1}$.

Giải

a. Từ giả thiết, ta được:

⇔ $AMM_{1}A_{1}$ là hình bình hành ⇒ AM // $A_{1}M_{1}$.

b. Chọn mặt phẳng phụ ($AMM_{1}A_{1}$) chứa $A_{1}M$.

Nhận xét rằng:

($AMM_{1}A_{1}$) $\cap$ ($AB_{1}C_{1}$) = $AM_{1}$

$AM_{1}$ $\cap$ $A_{1}M$ = I

suy ra $A_{1}M$ $\cap$ ($AB_{1}C_{1}$) = I.

c. Gọi O = $AB_{1}$ $\cap$ $A_{1}B$ khi đó ta nhận được:

($AB_{1}C_{1}$) $\cap$ ($BA_{1}C_{1}$) = $OC_{1}$, chính là đường thẳng d cần tìm.

d. Chọn mặt phẳng phụ ($AB_{1}C_{1}$) chứa d (chứa $OC_{1}$).

Nhận xét rằng:

($AMA_{1}$) $\cap$ ($AB_{1}C_{1}$) = $AM_{1}$

$AM_{1}$ $\cap$ $OC_{1}$ = G

suy ra d $\cap$ ($AMA_{1}$) = G.

Dễ thấy G là trọng tâm $\Delta$$AB_{1}C_{1}$, bởi trong $\Delta$$AB_{1}C_{1}$ thì G là giao điểm của hai đường trung tuyến.

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$ đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên $ABB_{1}A_{1}$, $ACC_{1}A_{1}$ là hình vuông. Gọi I, J là tâm các mặt bên nói trên và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

a. Chứng minh IJ song song với mặt phẳng (ABC).

b. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (IJO). Chứng minh thiết diện là hình thang cân. Tính diện tích của nó theo a.

Giải

a. Nhận xét rằng:

⇒ IJ // BC $\subset$ (ABC) ⇒ IJ // (ABC).

b. Ta lần lượt có:

và Ox cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F.

Nối EI cắt $A_{1}B_{1}$ tại H và nối FI cắt $A_{1}C_{1}$ tại G. Như vậy, thiết diện là từ giác EFGH.

Nhận xét rằng:

Vì $\Delta$ABC nên $AA_{1}B_{1}B$ = $AA_{1}C_{1}C$, do đó EH = FG.

Vậy, thiết diện EFGH là hình thang cân.

• Trong $\Delta$ABC, ta có:

• Trong $\Delta A_{1}B_{1}C_{1}$, ta có:

• Trong $\Delta$IBE, ta có:

Khi đó, xét hình thang cân EFGH, hạ đường cao HM, ta có:

Chú ý: Trong lời giải trên:

1. Ở câu a), chúng ta có thể sử dụng nhận xét:

IJ là đường trung bình của $\Delta A_{1}BC$

2. Khi đó, trong câu b), chúng ta có thể tính độ dài HG dựa trên tính chất IJ là đường trung bình của hình thang EFGH như sau:

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$.

a. Tìm giao tuyến của ($AB_{1}C_{1}$) và ($BA_{1}C_{1}$).

b. Gọi M, N lần lượt là 2 điểm bất kì trên $AA_{1}$ và BC. Tìm giao điểm của $B_{1}C_{1}$ với mặt phẳng ($AA_{1}N$) và giao điểm của MN với mặt phẳng ($AB_{1}C_{1}$).

Bài 2. Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$. Gọi M là trung điểm của trung tuyến AI của đáy ABC. $\alpha$ là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng $AC_{1}$ và $B_{1}C$. Xác định thiết diện của lăng trụ đã cho với $\alpha$ và tìm tỉ số mà thiết diện chia cạnh $CC_{1}$

Bài 3. Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$. Gọi G, $G_{1}$ theo thứ tự là trọng tâm $\Delta$ABC và $\Delta A_{1}B_{1}C_{1}$.

a. Chứng minh rằng các mặt phẳng ($ABC_{1}$), ($BCA_{1}$) và ($CAB_{1}$) có một điểm chung O ở trên đoạn $GG_{1}$.

b. Tính tỉ số

Bài 4. Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$.

a. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, $A_{1}B_{1}C_{1}$, $ACC_{1}$. Chứng minh rằng (IGK) // ($BB_{1}C_{1}C$) và ($A_{1}KG$) // ($AIB_{1}$).

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của $BB_{1}$ và $CC_{1}$. Hãy dựng đường thắng qua trọng tâm tam giác ABC cắt $AB_{1}$ và MN.

Bài 5. Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và $CC_{1}$. P là điểm đối xứng của C qua A.

a. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng ($A_{1}MN$). Tính tỉ số mà thiết diện chia cạnh AB.

b. Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (MNP). Tính tỉ số mà thiết diện chia cạnh $AA_{1}$ và AB.

Bài 6. Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_{1}B_{1}C_{1}$. Gọi H là trung điểm của $A_{1}B_{1}$.

a. Chứng minh $CB_{1}$ song song với mặt phẳng ($AHC_{1}$).

b. Tìm giao điểm của $AC_{1}$ với (BCH).

c. Mặt phẳng $\alpha$ qua trung điểm của $CC_{1}$ và song song với AH và $CB_{1}$. Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia cạnh tương ứng của lăng trụ.

Bài toán 2: Sử dụng tính chất của hình hộp - Thiết diện.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. Nắm vững định nghĩa và các tính chất của hình hộp để vẽ hình và chứng minh một số tính chất khác.

2. Việc xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi một mặt phẳng cũng tiến hành tương tự như đối với hình lăng trụ.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng tổng bình phương tất cả các đường chéo của một hình hộp bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó.

Giải

Trước tiên ta đi chứng minh mệnh đề "Tổng bình phương các đường chéo của một hình bình hành bằng tổng bình phương các cạnh".

Thật vậy, với hình bình hành ABCD, theo định lí hàm số côsin ta có:

Cộng theo vế (1) và (2), ta được:

Ví dụ 2: Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$.

a. Chứng minh rằng ($BDA_{1}$) // ($B_{1}D_{1}C$).

b. Chứng minh đường chéo $AC_{1}$ đi qua các trọng tâm G, $G_{1}$ của $\Delta A_{1}BD$ và $\Delta CB_{1}D_{1}$ và G, $G_{1}$ chia đoạn $AC_{1}$ làm 3 phần bằng nhau.

c. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng ($A_{1}B_{1}G_{1}$) với hình hộp đã cho. Thiết diện là hình gì ?

d. Gọi O, K lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và $BCC_{1}B_{1}$. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng ($A_{1}OK$) với hình hộp đã cho.

Giải

a. Gọi O, $O_{1}$ theo thứ tự là tâm của các hình bình hành ABCD và $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, ta có:

Vì $AC_{1}$, AO, $CO_{1}$ cùng nằm trong mặt phẳng ($ACC_{1}A_{1}$) nên gọi:

G = $AC_{1}$ $\cap$ $A_{1}O$ và $G_{1}$ = $AC_{1}$ $\cap$ $CO_{1}$

• Trong $\Delta A_{1}BD$, điểm G thuộc trung tuyến $A_{1}O$ và vì AO // $A_{1}C_{1}$, nên:

do đó, G là trọng tâm $\Delta A_{1}BD$.

• Chứng minh tương tự $G_{1}$ là trọng tâm $\Delta CB_{1}D_{1}$.

Nhận xét rằng OG, $O_{1}G_{1}$ theo thứ tự là đường trung bình của $\Delta ACG_{1}$ và $\Delta A_{1}C_{1}G$ nên:

AG = $GG_{1}$ = $G_{1}C_{1}$

tức là G, $G_{1}$ chia đoạn $AC_{1}$ làm 3 phần bằng nhau.

c. Kéo dài $B_{1}G_{1}$ cắt $CD_{1}$ tại P, ta có P là trung điểm của $CD_{1}$ vì $G_{1}$ là trọng tâm $\Delta CB_{1}D_{1}$

Ta có:

giả sử Px theo thứ tự cắt $CC_{1}$ và $DD_{1}$ tại M và N.

Khi đó, ta nhận được thiết diện $A_{1}B_{1}MN$ là hình bình hành.

d.

Ta lần lượt có:

• Trong ($A_{1}B_{1}CD$) giả sử:

$A_{1}K$ $\cap$ DC = I

• Nối IO cắt BC và AD theo thứ tự tại E và F.

• Nối KE cắt $B_{1}C_{1}$ tại H.

Nối $A_{1}F$ và $A_{1}H$ nhận được thiết diện $A_{1}FEH$ là hình bình hành.

Ví dụ 3: Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, $B_{1}C_{1}$ và $DD_{1}$.

a. Chứng minh (MNP) song song với các mặt phẳng ($AB_{1}D_{1}$) và ($BDC_{1}$).

b. Xác định thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (MNP). Thiết diện là hình gì ? Tính diện tích của nó.

Giải

a.

Gọi O, $O_{1}$, I theo thứ tự là tâm của các hình vuông ABCD, $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$, và $BCC_{1}B_{1}$.

Nhận xét rằng:

⇔ $MOC_{1}N$ là hình bình hành

⇒ MN // $OC_{1}$. (1)

⇔ NIDP là hình bình hành

⇒ PN // DI. (2)

Từ (1) và (2) suy ra (MNP) // ($BDC_{1}$).

Mặt khác:

Vậy, (MNP) song song với các mặt phẳng ($AB_{1}D_{1}$) và ($BDC_{1}$).

b.

Từ kết quả câu a), ta nhận xét:

suy ra Nx song song với $B_{1}D_{1}$ và cắt $C_{1}D_{1}$ tại F là trung điểm của $C_{1}D_{1}$.

suy ra My song song với BD và cắt AD tại Q là trung điểm của AD.

Kéo dài FN cắt $A_{1}B_{1}$ tại G, nối GM cắt $BB_{1}$ tại E.

Vậy, thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (MNP) là lục giác MENFPQ.

Dựa theo tính chất đường trung bình ta thấy ngay MENFPQ là lục giác đều có độ dài cạnh bằng $\large \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Khi đó:

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 7. Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ cạnh a. Gọi $\alpha$ là mặt phẳng qua tâm O của mặt ABCD và song song với $B_{1}D$ và $BC_{1}$.

a. Xác định thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng $\alpha$.

b. Tính diện tích thiết diện theo a.

Bài 8. Cho hình lập phương $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ cạnh a. Trên AB, $CC_{1}$, $C_{1}D_{1}$ và $AA_{1}$ lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = $C_{1}N$ = $C_{1}P$ = AQ = x, với 0 $\leq$ x $\leq$ a.

a. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MP, NQ cắt nhau tại một điểm cố định.

b. Chứng minh mặt phẳng (MNPQ) luôn chứa một đường thẳng cố định. Định x để (MNPQ) // ($A_{1}B_{1}C_{1}$).

c. Dựng thiết diện của hình lập phương cắt bởi (MNPQ). Thiết diện có đặc điểm gì về cạnh ? Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chu vi thiết diện.

Bài 9. Cho hình hộp $ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, $CC_{1}$, $C_{1}D_{1}$, $D_{1}A_{1}$, $A_{1}A$.

a. Chứng minh rằng sau điểm M, N, P, Q, R, S đồng phẳng.

b. Chứng minh rằng lục giác MNPQRS có tâm đối xứng là giao điểm các đường chéo của hình hộp.

Bài 10. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

a. Chứng minh rằng mặt phẳng (BDA') // (B'D'C).

b. Chứng minh rằng đường chéo AC' đi qua các trọng tâm $G_{1}$, $G_{2}$ của hai tam giác BDA' và B'D'C.

c. Chứng minh rằng $G_{1}$ và $G_{2}$ chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.

d. Chứng minh rằng các trung điểm của sáu cạnh BC, CD, DD', D'A', A'B', B'B cùng nằm trên một mặt phẳng.