§2. PHÉP TỊNH TIẾN

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

3. ĐỊNH NGHĨA PHÉP TỊNH TIẾN

Định nghĩa: Phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$, kí hiệu $T_{\vec{v}}$ là một phép dời hình biến điểm M thành M' sao cho $\overrightarrow{MM'}$ = $\vec{v}$.

4. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TỊNH TIẾN

Định lí 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M' và N' thì M'N' = MN.

Ý nghĩa của định lí 1 là "Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì".

Định lí 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

Hệ quả: Phép tịnh tiến biến:

• Đường thẳng thành đường thẳng.

• Tia thành tia.

• Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

• Tam giác thành tam giác bằng nó.

• Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

• Góc thành góc bằng nó.

5. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA PHÉP TỊNH TIẾN

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$(a; b) biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với:

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1: Tìm vectơ tịnh tiến $\vec{v}$ biến hình ($H_{1}$) thành hình ($H_{2}$).

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng song song a và a'. Tìm tất cả các phép tịnh tiến biến a thành a'.

Giải

Mọi phép tịnh tiến T theo vectơ $\vec{v}$ = $\overrightarrow{AA'}$ với A $\in$ a và A' $\in$ a' đều biến đường thẳng a thành a'.

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn ($C_{1}$) và ($C_{2}$) lần lượt có tâm $O_{1}$, $O_{2}$ và đều có bán kính R. Tìm phép tịnh tiến biến ($C_{1}$) thành ($C_{2}$).

Giải

Lấy $M_{1}$ tuỳ ý thuộc ($C_{1}$) và gọi $M_{2}$ là ảnh của M qua $T_{\overrightarrow{O_{1}O_{2}}}$, ta có:

Ngược lại: lấy $M_{2}$ là một điểm tuỳ ý thuộc ($C_{2}$) và gọi $M_{1}$ là tạo ảnh của nó qua $T_{\overrightarrow{O_{1}O_{2}}}$, ta có:

Vậy ($C_{2}$) là ảnh của ($C_{1}$) qua $T_{\overrightarrow{O_{1}O_{2}}}$

Bài toán 2: Chứng minh tính chất hình học.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. Với bài toán định tính, ta thường gặp các dạng yêu cầu sau:

Dạng 1: Chứng minh ($H_{1}$) là ảnh của ($H_{2}$) qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Lấy điểm $M_{1}$ tuỳ ý thuộc ($H_{1}$), ta đi chứng minh $M_{2}$ = $T_{\vec{v}}$ ($M_{1}$) $\in$ ($H_{2}$).

Bước 2: Ngược lại, lấy điểm $M_{2}$ tuỳ ý thuộc ($H_{2}$), ta đi chứng minh $M_{1}$ = $T_{\vec{v}}$($M_{2}$) $\in$ ($H_{1}$).

Dạng 2: Chứng minh tính chất K, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định một hoặc nhiều phép tịnh tiến để thiết lập mối liên kết giữa các yếu tố.

Bước 2: Sử dụng các tính chất của phép tịnh tiến để giải các yêu cầu của bài toán.

2. Với bài toán định lượng, bằng việc thiết lập được các phép tịnh tiến thích hợp, ngoài việc chứng minh được các tính chất hình học ta còn có thể tính toán được các yếu tố trong một hình.

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:

MP + NQ = $\large \frac{1}{2}$(AB + BC + CD + DA). (*)

Giải

Thực hiện phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{BC}}$: D $\mapsto$ E.

Khi đó tứ giác BCED là hình bình hành, vì P là trung điểm của CD nên P cũng là trung điểm của BE.

Do đó ta có:

Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi:

A, D, E thẳng hàng ⇔ AD // BC

Chứng minh tương tự ta cũng có:

Dấu bằng chỉ xảy ra ⇔ AB // CD

Cộng theo vế (1), (2), ta được:

Vậy để có (*) thì dấu “=” xảy ra ở (3) ⇔ dấu “=” xảy ra tại (1) và (2)

Ví dụ 2: Cho hai điểm B và C cố định trên đường tròn (O, R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm $\Delta$ABC nằm trên một đường tròn cố định.

Giải

Nếu BC là đường kính thị trực tâm H của $\Delta$ABC chính là A. Vậy H nằm trên đường tròn cố định (O; R).

Nếu BC không phải là đường kính, vẽ đường kính BB' của đường tròn.

Dễ thấy rằng nếu H là trực tâm của $\Delta$ABC thì $\overrightarrow{AH}$ = $\overrightarrow{B'C}$.

Như vậy, phép tịnh tiến theo vectơ cố định $\overrightarrow{B'C}$ biến điểm A thành điểm H. Do đó, khi A thay đổi trên (O; R) thì trực tâm H luôn nằm trên đường tròn cố định là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép tịnh tiến nói trên.

Ví dụ 3: Tứ giác ABCD có AB = $\sqrt{3}$, BC = 3, CD = 2$\sqrt{3}$, $\widehat{BAD}$ = $\widehat{CDA}$ = 60°. Tìm số đo góc $\widehat{ABC}$ và $\widehat{BCD}$

Giải

Xét phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{DC}}$: A $\mapsto$ A', khi đó tứ giác ADCA' là hình bình hành và $\widehat{BAA'}$ = 60°.

Trong $\Delta$ABA', ta có:

$\widehat{BAA'}$ = 60°,

AA' = 2AB.

Do đó, $\Delta$ABA' vuông tại B và $\widehat{BA'A}$ = 30°, A'B = 3

Vì A'B = BC = 3 nên $\Delta$BCA' cân tại B, do đó:

$\widehat{BCA'}$ = $\widehat{BA'C}$ = $\widehat{AA'C}$ - $\widehat{BA'A}$ = 60° – 30° = 30°.

$\widehat{ABC}$ = 360° - ($\widehat{BAD}$ + $\widehat{CDA}$ + $\widehat{BCD}$) = 360° – (60° + 60°+ 90°) = 150°.

Ví dụ 4: Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cách nhau một con sông (xem rằng hai bờ sông là hai đường thẳng song song).

Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (tất nhiên cầu phải vuông góc với bờ sông) và đắp hai đoạn thẳng từ A đến M và từ B đến N. Hãy xác định vị trí của chiếc cầu MN sao cho AM + BN ngắn nhất.

Giải

Lấy điểm $M_{0}$ $\in$ a ta có duy nhất điểm $N_{0}$ $\in$ b sao cho $M_{0}N_{0}$ $\perp$ a và $M_{0}N_{0}$ $\perp$ b.

Gọi B' = $T_{\overrightarrow{N_{0}M_{0}}}$ và M = AB' $\cap$ a, khi đó với điểm M' bất kì thuộc a tương ứng với điểm N' thuộc b (sao cho M'N' $\perp$ a) ta có:

Ta có:

M'A + N'B = M'A + M'B $\geq$ AB' = MA + MB' = MA + NB.

Tức là AM + BN ngắn nhất.

Bài toán 3: Tìm tập hợp điểm M.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm một phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$, biến điểm E di động thành điểm M.

Bước 2: Tìm tập hợp (H) của các điểm E.

Bước 3: Vậy tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$.

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A và B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích điểm M' sao cho $\overrightarrow{MM'}$ + $\overrightarrow{MA}$ = $\overrightarrow{MB}$.

Giải

Từ giả thiết, ta có:

$\overrightarrow{MM'}$ = $\overrightarrow{MB}$ - $\overrightarrow{MA}$ = $\overrightarrow{AB}$.

Tức là M' là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Vậy, quỹ tích điểm M' là đường tròn (O') là ảnh của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O) và ($O_{1}$) cắt nhau tại hai điểm, gọi A là một giao điểm. Đường thẳng (d) di động qua A và cắt hai đường tròn đã cho tại M và N. Trên hai tia AM và AN lấy hai điểm B và C sao cho:

2 $\overrightarrow{BA}$ = 2 $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{MN}$

Tìm quỹ tích các điểm B và C.

Giải

Dựng OE và $O_{1}F$ vuông góc với (d).

Ta có E, F lần lượt là trung điểm các đoạn AM, AN và:

Dựng $O_{1}I$ vuông góc với OE, khi đó tứ giác $O_{1}IEG$ là hình chữ nhật

Từ đó suy ra:

⇒ $O_{1}ABI$ là hình bình hành

• Vì $\widehat{OIO_{1}}$ vuông nên tập hợp các điểm I là đường tròn ($O_{2}$) đường kính $OO_{1}$, từ đó suy ra tập hợp các điểm B là đường tròn ($O'_{2}$) với:

• Tương tự, ta có tập hợp điểm C là đường tròn ($O'_{3}$) với:

Ví dụ 3: Cho $\Delta$ABC cố định. Gọi Bx, Cy theo thứ tự là các tia đối của các tia BA, CA. Các điểm D, E thứ tự chuyển động trên các tia Bx, Cy. Tìm quỹ tích các trung điểm M của DE biết BD = 2CE.

Giải

Dựng hình bình hành BCEK, ta có K ở trên tia Bz Cố định song song cùng chiều với tia Cy. Trên tia Bz lấy lần lượt hai điểm cố định $D_{0}$, $K_{0}$ sao cho $BD_{0}$ = 2$BK_{0}$

Vì BD = 2CE = 2BK nên BK // $D_{0}K_{0}$. Gọi N và $N_{0}$ lần lượt là trung điểm của BD và $D_{0}K_{0}$ thì $N_{0}$ cố định và quỹ tích của N là tia $BN_{0}$

Ta có:

với I là trung điểm BC.

Suy ra:

M = $T_{\overrightarrow{BI}}$ = (N).

Do đó quỹ tích của M là tia $I_{m}$ là ảnh của tia $BN_{0}$ qua phép tịnh tiến theo véctơ $\overrightarrow{BI}$

Bài toán 4: Dựng hình.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta luôn thực hiện theo 4 bước đã biết.

Ví dụ 1: Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết hai đường chéo AC = a, BD = b, góc $\widehat{ABC}$ = $\alpha$ và đường trung bình MN = c.

Giải

Phân tích: Giả sử đã dựng được hình thang ABCD thoả mãn điều kiện đầu bài.

Thực hiện phép tịnh tiến

khi đó tứ giác ACDD' là hình bình hành nên ta có:

BD' = BA + AD' = AB + DC = 2MN = 2c

⇒ $\Delta$BDD' dựng được, (biết 3 cạnh).

Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện:

- Dựng $\Delta$BDD' với BD' = 2c, BD = b, DD' = a

- Dựng Dx // BD'

- Dựng By hợp với BD' góc $\alpha$, By cắt Dx tại C.

- Dựng Cz // DD', Cz cắt BD' tại A

Thì tứ giác ABCD là hình thang cần dựng

Chứng minh: Theo cách dựng ta có:

- CD // AB nên ABCD là hình thang; BD = b, góc $\widehat{ABC}$ = $\alpha$

- AC = DD' = a (do ACDD' là hình bình hành) và

MN = $\large \frac{1}{2}$(AB + DC) = $\large \frac{1}{2}$(AB + AD') = $\large \frac{1}{2}$BD' = c

Biện luận: Bài toán có nghiệm hình khi và chỉ khi:

$\Delta$BDD' dựng được ⇔ $\mid$a – b$\mid$ < 2c < a + b.

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O, R) và (O', R'), R $\neq$ R' và một đường thẳng ($\Delta$). Hãy dựng một đường thẳng (d) song song với ($\Delta$) cắt (O) và (O') lần lượt tại các điểm A, B, A', B' sao cho AB = A'B'

Giải

Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng (d) song song với ($\Delta$), cắt (O) và (O') lần lượt tại các điểm A, B, A', B' sao cho AB = A'B'.

Vì $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{A'B'}$ nên $\overrightarrow{AA'}$ = $\overrightarrow{BB'}$.

Thực hiện phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow{AA'}$ thì (O; R) có ảnh là ($O_{1}$; R) đi qua A' và B' với I là giao điểm của đường thẳng Ox // ($\Delta$).

Cách dựng: Ta lần lượt thực hiện:

- Dựng Ox // ($\Delta$).

- Dựng O'K $\perp$ ($\Delta$), O'K cắt Ox tại I.

- Dựng ($O_{1}$; R) và ($O_{1}$; R) cắt (O'; R') tại A' và B' thì đường thẳng A'B' là đường thẳng (d) phải dựng.

Chứng minh: Vì:

- (d) $\perp$ O'K nên (d) // ($\Delta$).

- (d) cắt ($O_{1}$; R) tại A', B' nên (d) cắt (O; R) tại A, B và AB = A'B'.

Biện luận: Bài toán có nghiệm hình khi và chỉ khi:

Hai đường tròn (I; R) và (O'; R') cắt nhau.

Khi đó bài toán chỉ có một nghiệm

Bài toán 5: Hệ toạ độ đối với phép tịnh tiến.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta trình bày phương pháp thực hiện hai dạng toán:

Dạng 1: Xác định điểm $M_{1}$ là ảnh của điểm $M_{0}$($x_{0}$; $y_{0}$) qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$(a; b).

Khi đó, toạ độ điểm $M_{1}$(x; y) được cho bởi:

Dạng 2: Tìm phương trình của hình ($H_{1}$) là ảnh của hình (H): f(x, y) = 0 qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$(a; b).

Khi đó, mỗi điểm M(x; y) $\in$ ($H_{1}$) là ảnh của một điểm $M_{0}$($x_{0}$; $y_{0}$) $\in$ (H) qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$(a; b), ta có:

Phương trình (*) chính là phương trình của ($H_{1}$).

Ví dụ 1: Tìm toạ độ của điểm $M_{1}$ là ảnh của điểm $M_{0}$(1; -3) qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$(1; 2).

Giải

Giả sử $M_{1}$(x; y), ta có:

Vậy, ta được $M_{1}$(2; -1).

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với $\alpha$, a, b là những số cho trước, xét phép biến hình F biến mỗi điểm M(x;y) thành điểm M'(x', y'), trong đó:

a. Cho hai điểm M($x_{1}$, $y_{1}$), N($x_{2}$, $y_{2}$) và gọi M', N' lần lượt là ảnh của M, N qua phép F. Hãy tìm toạ độ của M' và N'.

b. Tính khoảng cách d giữa M và N, khoảng cách d' giữa M' và N'.

c. Phép F có phải là phép dời hình hay không?

d. Khi $\alpha$ = 0, chứng tỏ rằng F là phép tịnh tiến.

Giải

a. Ta lần lượt có:

b. Ta lần lượt có:

c. Từ (1) và (2) suy ra d = d'(hay MN = M'N').

Váy, phép biến hình F bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì nên theo định nghĩa nó là một phép dời hình.

d. Với $\alpha$ = 0, ta thấy:

Ví dụ 3: Tìm phương trình của đường thẳng ($d_{1}$) là ảnh của đường thẳng (d): x + 3y - 2 = 0 qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$(1; 1).

Giải

Mỗi điểm M(x, y) $\in$ ($d_{1}$) là ảnh của một điểm $M_{0}$($x_{0}$, $y_{0}$) $\in$ (d) qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$(1; 1), ta có:

⇒ (x - 1) + 3(y - 1) - 2 = 0 ⇔ x + 3y - 6 = 0. (*)

Phương trình (*) chính là phương trình của ($d_{1}$).

Ví dụ 4: Tìm phương trình của đường tròn ($C_{1}$) là ảnh của đường thẳng (C): $(x+2)^{2}$ + $(y-1)^{2}$ = 4 qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$(2; 1).

Giải

Mỗi điểm M(x; y) $\in$ ($C_{1}$) là ảnh của một điểm $M_{0}$($x_{0}$, $y_{0}$) $\in$ (C) qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$(2, 1), ta có:

Phương trình (*) chính là phương trình của ($C_{1}$).

Ví dụ 5: Hãy tìm vectơ $\vec{v}$(a; b) sao cho khi tịnh tiến đồ thị y = f(x) = $x^{3}$ + 3x + 1 theo $\vec{v}$ ta nhận được đồ thị hàm số y = g(x) = $x^{3}$ - 3$x^{2}$ + 6x – 1.

Giải

Từ giả thiết, ta có:

Vậy, ta được g(x) = f(x - 1) + 2, tức là có vectơ $\vec{v}$(-1; 2).

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho phép tịnh tiến $T_{\vec{u}}$ theo $\vec{u}$ và phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$ theo $\vec{v}$. Với điểm M bất kì, $T_{\vec{u}}$ biến M thành điểm M', $T_{\vec{v}}$ biến M' thành M". Chứng tỏ rang phép biến hình biến điểm M thành M" là một phép tịnh tiến.

Bài 2. Cho $\Delta$ABC. Gọi $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Xác định phép tịnh tiến biến $\Delta AB_{1}C_{1}$ thành:

a. $\Delta B_{1}CA_{1}$

b. $\Delta C_{1}A_{1}B$

Bài 3. Tìm ảnh của đường thẳng (d) (cho trước) trong phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$ ((d) không cùng phương với $\vec{v}$).

Bài 4. Từ đỉnh B của hình bình hành ABCD kẻ các đường cao BK và BH của nó. Biết rằng KH = a, BD = b. Tính khoảng cách từ B đến trực tâm E của $\Delta$BHK theo a và b.

Bài 5. Cho tứ giác ABCD, AB = 6$\sqrt{3}$, CD = 12, $\widehat{A}$ = $60^{0}$, $\widehat{B}$ = $120^{0}$, $\widehat{D}$ = $90^{0}$. Tìm độ dài các cạnh BC và AD.

Bài 6. Cho hai đường tròn bằng nhau ($O_{1}$; R) và ($O_{2}$; R) cắt nahu tại A và B. Một đường thẳng (d) vuông góc với AB và cắt ($O_{1}$; R) tại C và D, cắt ($O_{2}$; R) tại E và F với $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng với $\overrightarrow{EF}$.

a. Chứng minh độ lớn $\widehat{CAE}$ không phụ thuộc vào vị trí của (d)

b. Tính độ dài đoạn CE theo R và AB = a.

Bài 7. Cho tứ giác lồi ABCD và M là ba điểm bên trong tứ giác đó sao cho ABMD là hình bình hành. Chứng minh rằng: Nếu $\widehat{CBM}$ = $\widehat{CBM}$ thì $\widehat{ACD}$ = $\widehat{BDM}$.

Bài 8. Cho $\Delta$ABC nhọn và BC = a, CA = b, AB = c. gọi H là giao điểm ba đường cao. Chứng minh rằng:

Bài 9. Cho $\Delta$ABC, gọi I là trung điểm thuộc đoạn AC. Trên tia IB lấy một điểm B'. Dựng các hình bình hành BB'A'A, BB'C'C và $AA_{1}C_{1}C$ sao cho A là trung điểm của $A'A_{1}$. Chứng minh rằng diện tích hình bình hành $AA_{1}C_{1}C$ bằng tổng diện tích các hình bình hành BB'A'A, BB'C'C.

Bài 10. Trong hình thang ABCD có BC // AD. Điểm M là giao điểm của các đường phân giác góc A và góc B; N là giao điểm của các đường phân giác góc C và D. Chứng minh rằng:

2MN = $\mid$AB + CD - BC - AD$\mid$.

Bài 11. Cho $\Delta$ABC, có A cố định, góc A không đổi và vectơ $\overrightarrow{BC}$ không đổi. Tìm quỹ tích các đỉnh B và C.

Bài 12. Cho $\Delta$ABC, có AB cố định. Đường tròn (O) ngoại tiếp $\Delta$ABC cố định. Gọi H là trực tâm $\Delta$ABC và P, Q là giao điểm của đường tròn tâm C bán kính CH với đường tròn tâm H bán kính HC. Tìm quỹ tích P và Q.

Bài 13. Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng cố định (d). Điểm A di động trên đường tròn. Tìm quỹ tích các đỉnh B, C của hình bình hành OABC sao cho AC song song với (d) và AC = a cho trước.

Bài 14. Cho hình bình hành ABCD có đường chéo BD cố định, A di động trên đường tròn tâm D bán kính R.

a. Tìm quỹ tích đỉnh C của hình bình hành ABCD.

b. Tìm quỹ tích đỉnh E của hình bình hành ADBE.

Bài 15. Cho hình bình hành ABCD có B, D di động trên đường tròn tâm O, bán kính R = OA và BD = 1 không đổi.

a. Tìm quỹ tích trung điểm I của BD.

b. Tìm quỹ tích trực tâm H của $\Delta$ABD.

Bài 16. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có A, B cố định. Hai điểm C, D di động sao cho AD = a, CD = b (a,b > 0 cho trước). Tìm tập hợp điểm C.

Bài 17. Cho đường tròn (O, R) cố định và một đường thẳng (d). Một đường tròn ($\gamma$) di động có bán kính r không đổi và luôn tiếp xúc ngoài với (O, R). Dựng hai tiếp tuyến của ($\gamma$) song song với (d), hai tiếp điểm M, M'. Tìm tập hợp các điểm M, M' khi ($\gamma$) di động.

Bài 18. Cho đường tròn (O, R) đường kính AB cố định. Gọi MN là một đường kính di động. Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng AM, AN lần lượt tại P và Q. Tìm tập hợp các trực tâm của $\Delta$MPQ và $\Delta$NPQ.

Bài 19. Cho $\Delta$ABC. Hãy dựng đường thẳng (d) song song với BC, cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M, N sao cho AM = CN.

Bài 20. Dựng hình bình hành ABCD, biết AB = a còn C, D thuộc hai đường tròn ($d_{1}$) và ($d_{2}$).

Bài 21. Dựng tứ giác ABCD biết: AB = a, BC = b, CD = c, AD = d và góc nhọn của AB, CD là $\alpha$.

Bài 22. Cho hai đường tròn (O), ($O_{1}$) và vectơ $\vec{a}$. Dựng đoạn thẳng PQ trong đó P $\in$ (O), Q $\in$ ($O_{1}$) và $\overrightarrow{PQ}$ = $\vec{a}$.

Bài 23. Hãy dựng một đường tròn có bán kính R qua một điểm A và chắn trên một đường thẳng (d) một dây cung có độ dài l cho trước.

Bài 24. Trên đường tròn (O) cho hai dây cung AB và CD không cắt nhau. Hãy dựng điểm M trên (O) sao cho hai dây cung MA và MB chắn trên dây CD đoạn EF có độ dài a cho trước (a nhỏ hơn độ dài dây CD).

Bài 25. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các phép biến hình sau đây:

• Phép biến hình $F_{1}$ biến mỗi điểm M(x, y) thành điểm M'(y; -x).

• Phép biến hình $F_{2}$ biến mỗi điểm M(x, y) thành điểm M'(2x; y).

Trong hai phép biến hình trên, phép nào là phép dời hình.

Bài 26. Tìm toạ độ của điểm $M_{1}$ là ảnh của điểm $M_{0}$(3; 2) qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$(-4; 1).

Bài 27. Tìm phương trình của đường thẳng ($d_{1}$) là ảnh của đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$, biết:

a. (d): x + 2y - 13 = 0 và $\vec{v}$(1; 1).

b. (d): 2x - y - 1 = 0 và $\vec{v}$(2; -1).

Bài 28. Tìm phương trình của đường thẳng ($d_{1}$) là ảnh của đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$, biết:

a. (d): x - 3y + 3 = 0 và $\vec{v}$(-3; -2).

b. (d): 2x – 6y + 3 = 0 và $\vec{v}$($\large \frac{1}{2}$; -3).

Bài 29. Tìm phương trình của đường tròn ($C_{1}$) là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến vectơ $\vec{v}$, biết:

a. (C): $(x-2)^{2}$ + $(y-2)^{2}$ = 9 và $\vec{v}$(-2; 1).

b. (C): $x^{2}$ + $y^{2}$ - 2x - 4y - 2 = 0 và $\vec{v}$(0; 3).

Bài 30. Hãy tìm vectơ $\vec{v}$(a; b) sao cho khi tịnh tiến độ thị y = f(x) theo $\vec{v}$ ta nhận được đồ thị hàm số y = g(x), biết: