§6. HAI HÌNH BẰNG NHAU.

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Định nghĩa: Hai hình gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Định lí: Nếu hình ($H_{1}$) bằng hình ($H_{2}$) và hình ($H_{2}$) bằng hình ($H_{3}$) thì hình ($H_{1}$) bằng hình ($H_{3}$).

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1: Chứng tỏ rằng nếu $\Delta$ABC và $\Delta$A'B'C' là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến $\Delta$ABC thành $\Delta$A'B'C'.

CHỨNG MINH

Gọi F là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho nếu

Ta đi chứng minh F là một phép dời hình cần tìm.

Thật vậy, với điểm N và F biến N thành N', tức là nếu $\overrightarrow{CN}$ = k$\overrightarrow{CA}$ + l$\overrightarrow{CB}$ (k, l $\in$ R) thì .

Khi đó, ta lần lượt có:

nên từ (1) và (2) suy ra:

MN = M'N' ⇔ F là một phép dời hình.

Mặt khác, ta nhận thấy phép dời hình F biến A, B, C lần lượt thành A', B', C', tức là biến $\Delta$ABC thành $\Delta$A'B'C'.

Bài toán 2: Chứng minh hai hình bằng nhau.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để chứng minh hình ($H_{1}$) bằng hình ($H_{2}$), ta thường lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1: (Sử dụng định nghĩa): Tìm một phép biến hình biến ($H_{1}$) thành hình ($H_{2}$) hoặc ngược lại.

Cách 2: (Sử dụng định lí): Tìm một hình (H) rồi khẳng định:

(H) = ($H_{1}$) và (H) = ($H_{2}$) ⇒ ($H_{1}$) = ($H_{2}$).

Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng hai hình chữ nhật cùng kích thước thì bằng nhau.

Giải

Giả sử hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' có AB = A'B' và BC = B'C'.

Gọi O, O' theo thứ tự là tâm của hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D'.

Ta có:

$\Delta$ABC = $\Delta$A'B'C' ⇒ tồn tại một phép dời hình f để $\Delta$A'B'C' = f($\Delta$ABC)

⇒ A'O' = f(AO) ⇒ D' = f(D)

Vậy, ta được:

A'B'C'D' = f(ABCD) ⇒ hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' bằng nhau.

Ví dụ 2: Hình $H_{1}$ gồm ba đường tròn ($O_{1}$; $r_{1}$), ($O_{2}$; $r_{2}$), ($O_{3}$; $r_{3}$) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Hình $H_{2}$ gồm ba đường tròn ($I_{1}$; $r_{1}$), ($I_{2}$; $r_{2}$), ($I_{3}$; $r_{3}$) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Chứng tỏ rằng hai hình $H_{1}$ và $H_{2}$ bằng nhau.

Giải

Xét hai tam giác $O_{1}O_{2}O_{3}$ và $I_{1}I_{2}I_{3}$, ta có:

suy ra:

$\Delta$$O_{1}O_{2}O_{3}$ = $\Delta$$I_{1}I_{2}I_{3}$ (c.c.c)

⇒ tồn tại một phép dời hình f để $\Delta$$O_{1}O_{2}O_{3}$ = f($\Delta$$I_{1}I_{2}I_{3}$) ⇒ ($H_{1}$) = f($H_{2}$)

Vậy, hai hình $H_{1}$ và $H_{2}$ bằng nhau.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai parabol (P) và (P') lần lượt có phương trình y = a$x^{2}$ và y = a$x^{2}$ + bx + c (a $\neq$ 0). Chứng minh rằng hai parabol đó bằng nhau.

Giải

Viết lại phương trình parabol (P') dưới dạng:

Như vậy, tồn tại phép tịnh tiến T theo vectơ để (P') = T(P)

Vậy, hai parabol (P) và (P') bằng nhau.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Theo định nghĩa tổng quát về sự bằng nhau của hai hình, hãy chứng minh rằng:

a. Hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau thì bằng nhau.

b. Hai góc có cùng số đo thì bằng nhau.

c. Hai đường tròn có bán kính bằng nhau thì bằng nhau.

Bài 2. a. Chứng minh rằng hai tứ giác có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

b. Chứng minh rằng hai tứ giác có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau và một cặp góc tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

c. Hai tứ giác có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì có bằng nhau hay không?

Bài 3. Cho hai hình bình hành. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua hai tâm của hai hình bình hành sẽ chia mỗi hình bình hành đó thành hai hình bằng nhau.

Bài 4. Đa giác lồi n cạnh gọi là n-giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau. Chứng tỏ rằng hại n-giác đều bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cạnh bằng nhau.

Bài 5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai parabol (P) và (P') lần lượt có phương trình

Chứng minh rằng hai parabol đó bằng nhau.

Bài 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, gọi (C) và (C') lần lượt là đồ thị của các hàm số y = f(x) = $x^{3}$ + 3x + 1 và y = g(x) = $x^{3}$ - 3$x^{2}$ + 6x - 1. Chứng minh rằng hai hình (C) và (C') bằng nhau.

Bài 7. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, gọi (C) và (C') lần lượt là đồ thị của các hàm số

Chứng minh rằng hai hình (C) và (C') bằng nhau.

Bài 8. Cho hai hình bình hành. Hãy vẽ một đường thẳng chia mỗi hình bình hành thành hai hình bằng nhau.