§8. PHÉP ĐỒNG DẠNG
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1. ĐỊNH NGHĨA PHÉP ĐỒNG DẠNG
Định nghĩa 1: Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M và N bất kì và ảnh M' và N' của chúng ta luôn có M'N' = kMN.
Định lí: Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k > 0) đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D.
Hệ quả: Phép đồng dạng tỉ số k:
• Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.
• Biến đường thẳng thàng đường thẳng, biến tia thành tia.
• Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng và độ dài được nhân lên với k.
• Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k.
• Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính kR.
• Biến góc thành góc bằng nó.
2. HAI HÌNH ĐỒNG DẠNG
Định nghĩa 2: Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bài toán 1: Tìm phép đồng dạng biến hình ($H_{1}$) thành ($H_{2}$).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thường thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm một phép dời hình D biến hình ($H_{1}$) thành ($H'_{1}$).
Bước 2: Tìm một phép vị tự V biến hình ($H'_{1}$) thành ($H_{2}$).
Bước 3: Kết luận: tồn tại phép đồng dạng F là hợp thành của phép vị tự V và phép dời hình D.
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau.
Giải
Gọi $P_{1}$ và $P_{2}$ là hai đa giác đều có cùng số cạnh, ta thực hiện:
• Phép quay biến $P_{1}$ thành $P'_{1}$ có cạnh song song với cạnh của $P_{2}$.
• Khi đó, sẽ tồn tại một phép vị tự biến $P'_{1}$ thành $P_{2}$.
Từ đó, theo định lí trên thì tồn tại một phép đồng dạng biến $P_{1}$ thành $P_{2}$ nên $P_{1}$ đồng dạng với $P_{2}$.
Bài toán 2: Chứng minh tính chất hình học
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. Với bài toán định tính, ta thường gặp các dạng yêu cầu sau:
Dạng 1: Chứng minh ($H_{1}$) là ảnh của ($H_{2}$) qua phép đồng dạng D, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Lấy điểm $M_{1}$ tuỳ ý thuộc ($H_{1}$), ta đi chứng minh $M_{2}$ = D($M_{1}$) $\in$ ($H_{2}$).
Bước 2: Ngược lại, lấy điểm $M_{2}$ tuỳ ý thuộc ($H_{2}$), ta đi chứng minh $M_{1}$ = D($M_{2}$) $\in$ ($H_{1}$).
Dạng 2: Chứng minh tính chất K, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xác định một phép đồng dạng để thiết lập mối liên kết giữa các yếu tố.
Bước 2: Sử dụng các tính chất của phép đồng dạng để giải các yêu cầu của bài toán.
2. Với bài toán định lượng, bằng việc thiết lập được phép đồng dạng thích hợp, ta có thể tính toán được các yếu tố trong một hình.
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng nếu phép đồng dạng F biến $\Delta$ABC thành $\Delta$A'B'C' thì trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ABC lần lượt biến thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$A'B'C'.
Giải
a. Gọi M là trung điểm của đoạn BC và G là trọng tâm $\Delta$ABC. Giả sử:
F(M) = M' và F(G) = G'.
Từ hệ quả, ta suy ra:
M' là trung điểm của B'C' ⇒ A'M' là trung tuyến. (1)
.png)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra G' là trọng tâm $\Delta$A'B'C'.
b. Gọi $AA_{1}$, $BB_{1}$ là hai đường cao của $\Delta$ABC và H là trực tâm $\Delta$ABC. Giả sử:
F($B_{1}$) = $B'_{1}$, F($A_{1}$) = $A'_{1}$ và F(H) = H'.
• Từ tính chất của phép đồng dạng, ta suy ra:
H' = $A_{1}A'_{1}\cap B_{1}B'_{1}$ (3)
• Từ tính chất bảo toàn độ lớn góc của phép đồng dạng, ta suy ra:
$A_{1}A'_{1}$, $B_{1}B'_{1}$ là các đường cao của $\Delta$A'B'C'. (4)
Từ (3) và (4) suy ra H' là trực tâm $\Delta$A'B'C'.
c. Ta lần lượt xét:
• Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ABC. Giả sử:
F(O) = O'.
Từ tính chất tỉ lệ về độ dài giữa hai hai đoạn thẳng, ta suy ra:
O'A' = O'B' = O'C' bởi OA = OB = OC
Vậy, điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$A'B'C'.
Bài toán 3: Dựng hình.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thường thực hiện theo 4 bước đã biết.
Ví dụ 1: Dựng $\Delta$ABC nếu biết hai góc $\widehat{B}$ = $\beta$, $\widehat{C}$ = $\gamma$ và một trong các yếu tố sau:
a. Đường cao AH = h.
b. Đường trung tuyến AM = m.
c. Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.
Giải
Dựng $\Delta A_{0}B_{0}C_{0}$ có $\widehat{B_{0}}$ = $\beta$, $\widehat{C_{0}}$ = $\gamma$.
a. Giả sử $\Delta A_{0}B_{0}C_{0}$ có đường cao $A_{0}H_{0}$ = $h_{0}$, khi đó thực hiện phép đồng dạng $F_{1}$ tỉ số $k_{1}$ = $\large \frac{h}{h_{0}}$ ta sẽ được:
$F_{1}$($\Delta A_{0}B_{0}C_{0}$) = $\Delta$ABC.
b. Giả sử $\Delta A_{0}B_{0}C_{0}$ có đường trung tuyến $A_{0}M_{0}$ = $m_{0}$, khi đó thực hiện phép đồng dạng $F_{2}$ tỉ số $k_{2}$ = $\large \frac{m}{m_{0}}$ ta sẽ được:
$F_{2}$($\Delta A_{0}B_{0}C_{0}$) = $\Delta$ABC.
c. Giả sử $\Delta A_{0}B_{0}C_{0}$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp $R_{0}$, khi đó thực hiện phép đồng dạng $F_{3}$ tỉ số $k_{3}$ = $\large \frac{R}{R_{0}}$ ta sẽ được:
$F_{3}$($\Delta A_{0}B_{0}C_{0}$) = $\Delta$ABC.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Chứng minh rằng hai hình vuông bất kì đồng dạng với nhau.
Bài 2. a. Chứng minh rằng với hai đoạn thẳng bất kì AB và A'B' luôn có phép đồng dạng biến A thành A' và biến B thành B'.
b. Chứng minh rằng hai đường Cônic có cùng tâm sai e thì đồng dạng với nhau.
Bài 3. Cho $\Delta$ABC vuông tại A, AC = 2AB. Gọi Q là phép quay tâm A, góc quay $\varphi$ = (AB, AC), V là phép vị tự tâm A tỉ số 2, còn F là phép hợp thành của V và Q.
a. Tìm ảnh của các điểm A, B, C qua phép F.
b. Phép F biến đường tròn tâm B bán kính BA thành đường tròn nào ?
c. Chứng minh rằng với mỗi điểm M nằm trên đường tròn tâm B bán kính BA (M khác A), có một điểm N nằm trên đường tròn tâm C bán kính CA sao cho $\Delta$AMN đồng dạng với $\Delta$ABC.
d. Chứng tỏ rằng F cũng là phép hợp thành của Q và V.
Bài 4. Cho hai đường tròn (I; R) và (I'; 2R) tiếp xúc ngoài với nhau tại O, d là đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn tại O. Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số 2, Đ là phép đối xứng qua đường thẳng d, F là phép hợp thành của V và Đ.
a. F biến điểm O và I thành những điểm nào?
b. F biến đường tròn (I; R) thành hình nào?
c. Với điểm M không nằm trên d và M' = F(M). Chứng minh rằng nếu E là giao điểm của MM' và d thì EM' = 2EM.
d. Chứng tỏ rằng F cũng là phép hợp thành của Đ và V.
Bài 5. Dựng $\Delta$ABC nếu biết hai góc $\widehat{B}$ = 30°, $\widehat{C}$ = 120° và một trong các yếu tố sau:
a. Đường cao AH = 2cm.
b. Đường trung tuyến AM = 6cm.
c. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng 4cm.