§8. PHÉP CHIẾU SONG SONG

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. PHÉP CHIẾU SONG SONG

Cho mặt phẳng $\alpha$ và một đường thẳng l không song song với $\alpha$.

Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng qua M song song với l sẽ cắt $\alpha$ tại điểm M'. Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng $\alpha$ theo phương l.

Mặt phẳng $\alpha$ gọi là mặt phẳng chiếu.

Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M' của nó trên $\alpha$ được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng $\alpha$ theo phương l.

Chú ý: Nếu a // l thì hình chiếu của a lên $\alpha$ là một điểm trên $\alpha$ (chính là giao điểm của a với $\alpha$), do vậy các tính chất trong phần sau chỉ xét những đoạn thẳng hoặc đường thẳng không song song với l.

2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG

Định lí 1:

Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó

Hệ quả: Hình chiếu song song của đường thẳng là đường thẳng, của tia là tia, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

Định lí 2:

Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Hệ quả: Hình chiếu song song của một hình bình hành không nằm trong mặt phẳng song song với phương chiếu là một hình bình hành.

Định lí 3:

Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng hoặc song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.

Tức là:

3. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN TRÊN MẶT PHẲNG

Ta thường vẽ các hình không gian như hình chóp, hình lăng trụ, ... trên bảng hay trên trang giấy, các hình vẽ đó gọi là hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng.

3.1. Định nghĩa

Định nghĩa: Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của H lên một mặt phẳng nào đó theo một phương chiếu nào đó.

3.2. Các yêu cầu đối với một hình biểu diễn

1. Hình biểu diễn phải đúng: Để vẽ đúng chúng ta cần quan tâm tới các yếu tố được bảo toàn sau:

a. Sự thẳng hàng và thứ tự của các điểm trên một đường thẳng.

b. Sự song song của các đường thẳng, các tia hoặc các đoạn thẳng.

c. Tỉ số độ dài của các đoạn thẳng cùng phương.

Như vậy, các tính chất của hình không thay đổi qua phép chiếu song song đều được giữa nguyên trên hình biểu diễn.

2. Hình biểu diễn phải nổi: Giúp chúng ta dễ tưởng tượng.

Chúng ta có:

• Tam giác: Một $\Delta$ABC có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác bất kì (đều, cân, vuông).

• Hình bình hành: Một hình bình hành ABCD có thể xem là hình biểu diễn của các loại hình bình hành như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi và hình bình hành bất kì.

• Đường tròn: Để biểu diễn đường tròn chúng ta sử dụng một hình Elíp.

B. VÍ DỤ MINH HOẠ

Ví dụ1: Hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song với nhau hay không?

Giải

Từ hình vẽ, ta thấy hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau a và b theo phương chiếu l trên mặt phẳng $\alpha$ có thể song song với nhau. Trường hợp này xảy ra khi " Mặt phẳng $\beta$ song song với a và b sẽ chứa l hoặc song song với l".

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm $\Delta$ABC.

a. Chứng minh hình chiếu song song K của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AD là trọng tâm $\Delta$BCD.

b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, N, P trong phép chiếu song song ở câu a).

Giải

a. Từ giả thiết, ta được:

GK // AD,

AG $\cap$ DK = E là trung điểm BC, suy ra:

⇒ K là trọng tâm $\Delta$BCD

b. Ta lần lượt thực hiện:

• Trong (ABD) dựng Mx Song song với AD và cắt BD tại M', khi đó M' chính là hình chiếu song song của điểm M trong phép chiếu song song ở câu a).

• Vì N thuộc AD nên D chính là hình chiếu song song của điểm N trong phép chiếu song song ở câu a).

• Trong (ACD) dựng Ny song song với AD và cắt CD tại N’, khi đó N' chính là hình chiếu song song của điểm N trong phép chiếu song song ở câu a).

Ví dụ 3: Cho ba điểm A, B, C nằm ngoài mặt phẳng $\alpha$. Giả sử BC song song với $\alpha$, còn AB và AC cắt $\alpha$ lần lượt tại D và E. Hãy chọn phương chiếu l sao cho hình chiếu của tam giác ABC trên $\alpha$ theo phương l là một tam giác đều.

Giải

Thực hiện cách dựng:

• Trong mặt phẳng $\alpha$, dựng điểm A' sao cho $\Delta$A'ED đều.

• Dựng hình chiếu B', C' của B và C trên mặt phẳng $\alpha$ theo phương chiếu AA'.

Ta đi chứng minh $\Delta$A'B'C là tam giác đều.

Thật vậy, ta có ngay:

E, A', C' thẳng hàng

D, A', B' thẳng hàng

ED // B'C'

suy ra $\Delta$A'DE và $\Delta$A'B'C' đồng dạng, tức là $\Delta$A'B'C' là tam giác đều.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau có thể song song với nhau hay không ?

Bài 2. Cho hai điểm A và B ở ngoài mặt phẳng $\alpha$. Gọi A' và B' theo thứ tự là hình chiếu song song của hai điểm A và B trên mặt phẳng $\alpha$ theo phương của đường thẳng l cho trước. Chứng minh rằng " Nếu AB song song với $\alpha$ thì AB = A'B' ". Đảo lại có đúng không ?

Bài 3. Cho hai điểm A và B ở ngoài mặt phẳng $\alpha$, giả sử đường thẳng AB cắt $\alpha$ tại O. Gọi A' và B' theo thứ tự là hình chiếu song song của hai điểm A và B trên mặt phẳng $\alpha$ theo phương của đường thẳng l cho trước nào đó.

a. Chứng minh rằng ba điểm O, A', B' thẳng hàng.

b. Hãy chọn phương l sao cho:

AB = A'B'

AB = 2A'B'.

Bài 4. Chứng minh rằng trọng tâm G của $\Delta$ABC có hình chiếu song song là trọng tâm G' của $\Delta$A'B'C', trong đó $\Delta$A'B'C' là hình chiếu song song của $\Delta$ABC.

Bài 5. Trong mặt phẳng $\alpha$ cho $\Delta$ABC bất kì. Chứng minh rằng có thể xem:

a. $\Delta$ABC là hình chiếu song song của một tam giác cân nào đó.

b. $\Delta$ABC là hình chiếu song song của một tam giác đều nào đó.

c. $\Delta$ABC là hình chiếu song song của một tam giác vuông nào đó.

Bài 6. Trong mặt phẳng $\alpha$ cho hình bình hành ABCD bất kì. Chứng minh rằng có thể xem:

a. ABCD là hình chiếu song song của một hình chữ nhật nào đó.

b. ABCD là hình chiếu song song của một hình thoi nào đó.

c. ABCD là hình chiếu song song của một hình vuông nào đó.