§5. PHÉP QUAY

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

4. ĐỊNH NGHĨA PHÉP QUAY

Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác $\alpha$ không đổi. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM = OM' và (OM, OM') = $\alpha$ được gọi là phép quay tâm O với góc quay $\alpha$.

Kí hiệu $Q_{O}^{\alpha }$ hay $Q_{(O,\alpha )}$

Định lí: Phép quay là một phép dời hình.

Biểu thức toạ độ của phép quay: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho điểm I(a; b).

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1: Tìm phép quay biến hình ($H_{1}$) thành hình ($H_{2}$).

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép quay (phép đối xứng tâm).

Ví dụ 1: Cho hai tam giác đều OAB và OA'B' như hình vẽ. Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA' và BB'.

a. Tìm phép quay Q biến đoạn AA' thành đoạn BB'.

b. Chứng minh rằng OCD là tam giác đều

Giải

Xét phép quay Q tâm O với góc quay bằng một góc lượng giác (OA, OB). Rõ rằng Q biến đoạn AA' thành đoạn BB'.

Do đó OC = OD và $\widehat{COD}$ = 60°.

Vậy, ta được $\Delta$OCD đều.

Bài toán 2: Chứng minh tính chất hình học.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. Với bài toán định tính, ta thường gặp các dạng yêu cầu sau:

Dạng 1: Chứng minh ($H_{1}$) là ảnh của ($H_{2}$) qua phép quay tâm O với góc quay $\alpha$, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Lấy điểm $M_{1}$ tuỳ ý thuộc ($H_{1}$), ta đi chứng minh $M_{2}$ = $Q_{O}^{\alpha }$($M_{1}$) $\in$ ($H_{2}$).

Bước 2: Ngược lại, lấy điểm $M_{2}$ tuỳ ý thuộc ($H_{2}$), ta đi chứng minh $M_{1}$ = $Q_{O}^{\alpha }$($M_{2}$) $\in$ ($H_{1}$).

Dạng 2: Chứng minh tính chất K, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định một hoặc nhiều phép quay để thiết lập mối liên kết giữa các yếu tố.

Bước 2: Sử dụng các tính chất của phép quay để giải các yêu cầu của bài toán.

2. Với bài toán định lượng, bằng việc thiết lập được các phép quay thích hợp, ta có thể tính toán được các yếu tố trong một hình.

Ví dụ 1: Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA'B' có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn thẳng AB' và nằm ngoài đoạn thẳng A'B (hình bên). Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm các tam giác OAA' và OBB'. Chứng minh rằng GOG' là tam giác vuông cân.

Giải

Xét phép quay Q tâm O góc quay 90°, ta có ngay:

Vậy, ta được $\Delta$GOG' là tam giác vuông cân.

Ví dụ 2: Cho $\Delta$ABC có các định được kí hiệu theo hướng ân, dựng ở ngoài tam giác ấy hai hình vuông ABDE và BCKF. Gọi P là trung điểm cạnh AC, H là điểm đối xứng của D qua B, M là trung điểm đoạn FH.

a. Xác định ảnh của hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BP}$ trong phép quay tâm B, góc 90°.

b. Chứng minh rằng DF = 2BP và DF vuông góc với BP.

Giải

a. Ta có:

b. Vì P là trung điểm của AC nên theo tính chất của phép quay ta có ảnh của P qua phép quay trên trung điểm M của HF.

Mặt khác:

Bài toán 3: Tìm tập hợp điểm M.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm một phép quay $Q_{O}^{\alpha }$, biến điểm E di động thành điểm M.

Bước 2: Tìm tập hợp (H) của các điểm E.

Bước 3: Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép quay $Q_{O}^{\alpha }$.

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O, R), A là một điểm cố định không trùng với tâm O, BC là một dây cung của (O), BC di động nhưng số đo của cung BC luôn bằng 120°. Gọi I là trung điểm của BC, vẽ tam giác đều AIJ. Tìm tập hợp điểm J.

Giải

Ta có I là trung điểm của BC và cung BC = 120°.

Nên OI $\perp$ BC và $\widehat{BOI}$ = 60°.

Trong $\Delta$OIB:

Do đó tập hợp các điểm I là đường tròn ($\gamma$) tâm O bán kính $\large \frac{R}{2}$.

Mặt khác, $\Delta$AIJ đều nên ta có:

Mà tập hợp các điểm I là đường tròn ($\gamma$) nên tập hợp các điểm J là hai đường tròn ($\gamma _{1}$) và ($\gamma _{2}$) với

($\gamma _{1}$) là đường tròn tâm ($O_{1}$), bán kính $\large \frac{R}{2}$ với $O_{1}$ = $Q_{A}^{60^{0}}$ (O).

($\gamma _{2}$) là đường tròn tâm ($O_{2}$), bán kính $\large \frac{R}{2}$ với $O_{2}$ = $Q_{A}^{-60^{0}}$ (O).

Bài toán 4: Dựng hình.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thường thực hiện theo 4 bước đã biết.

Ví dụ 1: Cho phép quay Q tâm O với góc quay $\varphi$ và cho đường thẳng d. Hãy nêu cách dựng ảnh d' của d qua phép quay Q.

Giải

Lấy hai điểm phân biệt A, B trên đường thẳng d, khi đó ta dựng:

A' = $Q_{O}$(A) và B' = $Q_{O}$(B).

Nối A' và B', đó chính là đường thẳng d'.

Ví dụ 2: Cho phép đối xứng tâm Đ$_{O}$ và đường thẳng d không đi qua O. Hãy nêu cách dựng ảnh d' của đường thẳng d qua Đ$_{O}$. Tìm cách dựng d' mà chỉ sử dụng compa một lần và thước thẳng ba lần.

Giải

a. Lấy hai điểm phân biệt A, B trên đường thẳng d, khi đó ta dựng:

A' = Đ$_{O}$(A) và B' = Đ$_{O}$(B).

Nối A' và B', đó chính là đường thẳng d'.

b. Có thể thực hiện được, cụ thể:

• Lấy điểm A trên d, dùng thước thẳng dụng tia AO

• Dùng compa dựng đường tròn (O; OA), đường tròn này cắt đường thẳng d tại B và tia AO tại A'.

• Dùng thước thẳng dựng tia BO cắt đường tròn tại B'.

• Dùng thước thẳng nối A' với B' ta được đường thẳng d' cần dựng.

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng (d) và (d') song song và một điểm A không ở trên (d) và (d'). Hãy dựng điểm B trên (d) và điểm C trên (d') sao cho ABC là tam giác đều, có các đỉnh được kí hiệu theo hướng dương.

Giải

Phân tích: Giả sử đã dựng được tam giác đều ABC theo hướng dương. Thực hiện phép quay tâm A, góc 60°

Vậy C là điểm chung của ($d_{1}$) và (d'), ta cũng có B = $Q_{A}^{-60^{0}}$ (C).

Cách dựng: Ta thực hiện:

- Dựng đường thẳng ($d_{1}$) với ($d_{1}$) = $Q_{A}^{60^{0}}$ thì ($d_{1}$) là đường thẳng qua K và vuông góc với AK.

- ($d_{1}$) cắt (d') tại C

- Dựng điểm B với B = $Q_{A}^{-60^{0}}$ (C). Tam giác ABC là tam giác phải dựng.

Chứng minh: Theo cách dựng ta có:

- B $\in$ (d), C $\in$ (d')

- AC = AB và ($\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}$) = - 60° ⇒ ABC là tam giác đều và ($\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$) = 60°

Biện luận: Vì (d) // (d') nên ta luôn có một và chỉ một điểm chung C của ($d_{1}$) và (d'). Do đó bài toán có một nghiệm hình.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tập 1: Cho $\Delta$ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác ta dựng các hình vuông ABDE và ACFH. Gọi I là trung điểm của cạnh BCE.

a. Chứng minh rằng AE = CD.

b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AE và CD. CMR $\Delta$BIJ là một tam giác đều.

Bài tập 2: Cho tam giác ABC; P và Q là hai điểm di động lần lượt ở trên cạnh AB và AC sao cho AP = CQ

a. Xác định tâm và góc của phép quay biến $\overrightarrow{AP}$ thành $\overrightarrow{CQ}$.

b. Chứng minh rằng đường tròn (APQ) qua một điểm cố định khác A.

Bài tập 3: Cho tam giác ABC và I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng $\overrightarrow{IA}$.sinA + $\overrightarrow{IB}$.sinB + $\overrightarrow{IC}$.sinC = $\vec{0}$

Bài tập 4: Qua điểm K lấy trong hình vuông ABCD và đường thẳng cắt các cạnh AB, CD lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng giao điểm thứ hai của đường tròn qua K, P, B với đường tròn qua K, Q, D nằm trên đường chéo BD.

Bài tập 5: Cho đoạn thẳng AC và một điểm B ở trong đoạn đó. Dựng về cùng một phía của đường thẳng AC hai tam giác đều ABE và CBF. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AF và CE. Chứng minh rằng BMN là tam giác đều.

Bài tập 6: Cho hai đường tròn ($O_{1}$; R) và ($O_{2}$; R); M là điểm di động trên ($O_{1}$; R), N là điểm di động ($O_{2}$; R) sao cho ($\overrightarrow{O_{1}M}$, $\overrightarrow{O_{2}N}$) có số đo không đổi. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn MN luôn qua một điểm cố định.

Bài tập 7: Cho tam giác ABC, dựng ở phía ngoài tam giác ấy các tam giác đều $ABC_{1}$, $ACB_{1}$, $BCA_{1}$. Chứng minh rằng:

a. $AA_{1}$ = $BB_{1}$ = $CC_{1}$

b. $AA_{1}$ = $BB_{1}$ = $CC_{1}$ đồng quy tại điểm O

c. Đối với $\Delta$ABC nhọn, điểm O nằm trong tam giác và $OA_{1}$ = OB + OC.

Bài tập 8: Cho tam giác ABC, dựng ở ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân IAB, KAC ($\widehat{I}$ = $\widehat{K}$ = 90°), dựng hình bình hành IBCM. Trên tia đối của tia AI lấy điểm N sao cho AN = AI. Chứng minh rằng tam giác KMN vuông cân.

Bài tập 9: Cho đường thẳng ($\Delta$) và một điểm A cố định không ở trên ($\Delta$). M là một điểm di động trên ($\Delta$). Vẽ tam giác AMN vuông vân tại A. Tìm tập hợp điểm N.

Bài tập 10: Trên đường tròn (O), cho hai điểm A và B cố định. Gọi M là một điểm di động trên cung lớn AB. Trên tia BM, lấy điểm N sao cho BN = AM

a. Gọi I là trung điểm của cung lớn AB. CMR: IM = IN

b. Chứng minh rằng điểm N là ảnh của điểm M trong một phép quay xác định. Tìm tập hợp các điểm N khi M di động trên cung lớn AB

Bài tập 11: Cho hai trục vuông góc Ox và Oy và một độ dài a. Trên Ox lấy một điểm cố định A và một điểm di động M, trên Oy lấy một điểm cố định B và một điểm di động N sao cho $\overline{OA}$ = $\overline{OB}$ = a và $\overline{OM}$ + $\overline{ON}$ = 2a

a. Chứng minh AM = BN

b. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn MN qua một điểm cố định E. Tam giác EMN có đặc tính gì?

c. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN.

Bài tập 12: Dựng $\Delta$ABC vuông cân ($\widehat{A}$ = 1v) cho trước đỉnh A còn hai đỉnh B, C theo thứ tự ở trên:

a. Hai đường $d_{1}$, $d_{2}$ cho trước.

b. Hai đường tròn ($O_{1}$), ($O_{2}$) cho trước.

Bài tập 13: Cho $\Delta$ABC có ($\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$) = 60°. Hãy dựng điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh AC sao cho BM = CN và BC = 2MN.

Bài tập 14: Dựng tam giác đều biết ba đỉnh nằm trên bốn cạnh của một hình bình hành cho trước.

Bài tập 15: Cho $\Delta$ABC có các góc đều nhọn. Hãy dựng một điểm M sao cho tổng khoảng cách MA + MB + mặt cầu là nhỏ nhất.