§2. HÌNH CHÓP

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. ĐỊNH NGHĨA

Trong mặt phẳng $\alpha$ cho đa giác $A_{1}A_{2}...A_{n}$ và cho điểm S nằm ngoài $\alpha$. Nối S với các đỉnh $A_{1}$, $A_{2}$,..., $A_{n}$ ta được n miền tam giác $SA_{1}A_{2}$, $SA_{2}A_{3}$,..., $SA_{n-1}A_{n}$.

Hình tạo bởi n miền đa giác đó và miền đa giác $A_{1}A_{2}...A_{n}$ được gọi là hình chóp $S.A_{1}A_{2}...A_{n}$.

Trong đó:

• Điểm S gọi là đỉnh của hình chóp.

• Các đoạn thẳng $A_{1}A_{2}$, $A_{2}A_{3}$,..., $A_{n-1}A_{n}$ gọi là các cạnh đáy của hình chóp.

• Các đoạn thẳng $SA_{1}$, $SA_{2}$, ..., $SA_{n}$ gọi là các cạnh bên của hình chóp.

• Các miền tam giác $SA_{1}A_{2}$, $SA_{2}A_{3}$,..., $SA_{n-1}A_{n}$ gọi là các mặt bên của hình chóp.

Nếu đáy của hình chóp là một miền tam giác, tứ giác, ngũ giác, ... thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, ...

Chú ý: Hình chóp tam giác còn gọi là tứ diện.

2. THIẾT DIỆN

Định nghĩa: Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\alpha$ là một đa giác phẳng tạo bởi các đoạn giao tuyến của $\alpha$ với các mặt bên hay mặt đáy của hình chóp.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1: Thiết diện của hình chóp.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để tìm thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng $\alpha$, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của $\alpha$ với một mặt của hình chóp (có thể là mặt phẳng trung gian).

Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp, ta sẽ được các điểm chung mới của $\alpha$ với các mặt khác. Từ đó xác định được giao tuyến với các mặt này.

Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC. Trong $\Delta$BCD lấy điểm M sao cho hai đường thẳng KM và CD cắt nhau. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (HKM).

Giải

Gọi I = KM $\cap$ CD. Ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Điểm I thuộc đoạn CD (Hình a). Khi đó ta được ba đoạn giao tuyến là HK, KI và IH. Do đó thiết diện cần tìm là $\Delta$HIK.

Trường hợp 2: Điểm I ở ngoài đoạn CD (Hình b). Khi đó:

• Gọi $M_{1}$ = KM $\cap$ BD.

• Nối IH cắt AD tại $I_{1}$.

Ta được 4 đoạn giao tuyến là HK, KI và IH. Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác $HKM_{1}I_{1}$.

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, SD và OC.

a. Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) và tìm giao điểm của SA với (MNP).

b. Tìm thiết diện của hình chóp với (MNP)

c. Tính tỷ số mặt phẳng (MNP) chia các cạnh SA, BC và CD.

Giải

a. Ta lần lượt thực hiện:

• Nối MN cắt SO tại $O_{1}$

• Nối $O_{1}P$ cắt SA tại $S_{1}$.

Vậy, ta được:

(MNP) $\cap$ (SAC) = $PS_{1}$

(MNP) $\cap$ SA = $S_{1}$.

b. Ta lần lượt thực hiện:

• Nối $S_{1}N$ kéo dài cắt AD tại $D_{1}$.

• Nối $S_{1}M$ kéo dài cắt AB tại $B_{1}$

• Nối $B_{1}D_{1}$ cắt CD, CB theo thứ tự tại $D_{2}$, $B_{2}$

Khi đó, ta được 5 đoạn giao tuyến là $S_{1}M$, $MB_{2}$, $B_{2}D_{2}$, $D_{2}N$ và $NS_{1}$. Do đó thiết diện cần tìm là đa giác $S_{1}MB_{2}D_{2}N$.

c. Ta lần lượt có:

• MN là đường trung bình của $\Delta$SBD nên $O_{1}$ là trung điểm SO, suy ra:

• Xét $\Delta$SAD với $S_{1}$, N, $D_{1}$ thẳng hàng, theo định lí Melelaus, ta được:

• Xét $\Delta$SAB với $S_{1}$, M, $B_{1}$ thẳng hàng, theo định lý Menelaus, ta được:

Từ (1), (2), suy ra:

BD // $B_{1}D_{1}$ ⇒ $B_{2}D_{2}$ là đường trung bình của $\Delta$CBD

⇒ nên $B_{2}$, $D_{2}$ theo thứ tự là trung điểm BC, CD

do đó:

Chú ý: Định lí Melelaus có nội dung như sau: "Trên các cạnh AB, BC, CA của $\Delta$ABC (hoặc trên phần kéo dài của chúng) lấy các điểm $C_{1}$, $A_{1}$, $B_{1}$ thì $C_{1}$, $A_{1}$, $B_{1}$ thẳng hàng khi và chỉ khi: ''

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là ba điểm lấy trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với (MNI).

Bài 2. Cho hình chóp SABCD. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với (MNP).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD. Trong $\Delta$SBC và $\Delta$SCD lần lượt lấy điểm M, N.

a. Tìm giao điểm của MN và (SAC).

b. Tìm giao điểm của SC và (AMN).

c. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (AMN).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SB, G là trọng tâm $\Delta$SAD.

a. Tìm giao điểm I của GM và mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng CD nằm trong mặt phẳng (CGM).

b. Chứng minh rằng (CGM) đi qua trung điểm của SA. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (CGM).

c. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (AGM).

Bài toán 2: Diện tích của thiết diện.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định thiết diện.

Bước 2: Diện tích thiết diện được tính thông qua diện tích tam giác và tứ giác dạng đặc biệt.

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD, độ dài các cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC, gọi P là trọng tâm $\Delta$BCD. Tính diện tích thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNP).

Giải

a. Xác định thiết diện: Trong $\Delta$BCD, ta thấy ngay N, P, D thẳng hàng. Suy ra MND là thiết diện cần dựng.

b. Tính diện tích thiết diện.

Xét $\Delta$MND, ta có ngay:

MN = $\large \frac{1}{2}$AB = a, vì MN là đường trung bình.

vì DN là đường trung tuyến trong tam giác đều.

vì DM là đường trung tuyến trong tam giác đều.

như vậy $\Delta$MND cân tại D, gọi H là chân đường cao hạ từ D, ta được:

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Kéo dài BC một đoạn CE = a. Kéo dài BD một đoạn DF = a. Gọi M là trung điểm AB. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MEF) và tính diện tích thiết diện.

Bài 6. Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi G là trọng tâm $\Delta$ACD.

a. Tính độ dài IJ.

b. M là điểm di động trên đoạn BC Tim tập hợp giao điểm N của AM và (ICD).

c. Xác định thiết diện của tứ diện với (IGM) khi M là trung điểm của BC. Tính các tỉ số mà (IGM) chia các cạnh CD và AD. Thiết diện là hình gì ? Tính diện tích của nó.

Bài 7. Cho hai hình thang (không bình hành) ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng (ACE) và (BDF); (BCE) và (ADF).

b. Lấy điểm M trên đoạn DF. Tìm giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (BCE).

c. Chứng minh rằng hai đường thẳng AC và BF không cắt nhau.

Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Gọi $G_{1}$, $G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, ACD.

a. Chứng minh $AG_{1}$ và $BG_{2}$ cắt nhau. Gọi giao điểm này là I. Tính các tỉ số

b. Chứng minh I là trung điểm đoạn thẳng nối các trung điểm của AB và CD.

c. Chứng minh các đường thẳng đi qua đỉnh của tứ diện và trọng tâm của mặt đối diện đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trọng tâm của tứ diện.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABC. Gọi I, H theo thứ tự là trung điểm của SA và AB. Lấy điểm K trên đoạn SC sao cho CK = 3KS.

a. Tìm giao điểm đường thẳng BC với mặt phẳng (IHK).

b. Gọi M là trung điểm của IH. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với mặt phẳng (ABC).

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD.

a. Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).

b. DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.

c. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang ABCD với AB // CD và AB > CD. Gọi I là trung điểm của CS. Mặt phẳng $\alpha$ quay quanh AI cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N.

a. Chứng minh MN luôn đi qua điểm cố định.

b. IM kéo dài cắt BC tại P, IN kéo dài cắt CD tại Q. Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định.

c. Tìm tập hợp giao điểm của IM và AN.

Bài 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi I là điểm nằm trên đường thẳng BD nhưng không thuộc đoạn BD. Trong mặt phẳng (ABD), ta vẽ một đường thẳng qua I và cắt hai đoạn AB, AD theo thứ tự tại K và L. Trong mặt phẳng (BCD), ta vẽ một đường thẳng qua I và cắt hai đoạn CB, CD theo thứ tự tại M và N.

a. Chứng minh rằng 4 điểm K, L, M, N đồng phẳng.

b. Gọi $O_{1}$ là giao điểm của hai đường thẳng BN và DM, $O_{2}$ là giao điểm của hai đường thẳng BL và DK, và J là giao điểm của hai đường thẳng LM và KN. Chứng minh rằng ba điểm A, J, $O_{1}$ thẳng hàng và ba điểm C, J, $O_{2}$ thẳng hàng.

c. Giả sử hai đường thẳng KM và LN cắt nhau tại H. Chứng minh rằng H thuộc đường thẳng AC.