§3. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. ĐỊNH NGHĨA

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

2. CÁC ĐỊNH LÍ

Định lí 1: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước ta dựng được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Tức là: với B $\notin$ a thì $\exists$! b qua B và b // a.

Hệ quả 1: Trong mặt phẳng $\alpha$ cho đường thẳng a và điểm B $\notin$ a. Nếu từ B ta dựng đường thẳng b song song với a thì b nằm trong mặt phẳng $\alpha$.

Tức là:

Định lí 2: Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào cắt đường thẳng này ắt phải cắt đường kia.

Tức là:

Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Tức là:

Định lí 4: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Tức là, với $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ phân biệt và thoả mãn:

Hệ quả 2: (Về giao tuyến) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song cho trước thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng ấy.

Tức là:

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Bài toán 1: Chứng minh hai đường thẳng song song.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1: Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình của tam giác, định lí Talét đảo, tính chất song song của hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba,...).

Cách 2: Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3.

Cách 3: Áp dụng định lí về giao tuyến (định lí 4 hoặc hệ quả 2).

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm $\Delta$SAB và $\Delta$SAD. Chứng minh rằng IJ // BD.

Giải

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, AD, ta có:

Mặt khác, trong $\Delta$ABD ta có MN là đường trung bình nên:

MN // BD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // BD.

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và CD (AB > CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.

a. Chứng minh rằng MN // CD.

b. Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ADN).

c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh rằng SI // AB // CD.

Tứ giác SABI là hình gì ?

Giải

a. Trong $\Delta$SAB, ta có:

MN // AB – tính chất đường trung bình. (1)

Mặt khác:

AB // CD – vì ABCD là hình thang đáy AB, CD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // CD.

b. Gọi E = AD $\cap$ BC.

P = SC $\cap$ EN $\subset$ (ADN) ⇒ P = SC $\cap$ (ADN).

c. Ta có:

⇒ SI // AB // CD.

Nhận xét rằng:

⇔ SABI là hình bình hành.

Ví dụ 1: Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD.

a. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua điểm G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy.

b. Gọi A' là trọng tâm của $\Delta$BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA'.

Giải

a. Nối AG cắt BN tại A', ta cần chứng minh A' là trọng tâm $\Delta$BCD.

Kẻ MM' song song với AA' (M' $\in$ BN), khi đó:

MM' là đường trung bình của $\Delta$ABA'

⇒ M'B = M'A'. (1)

GA' là đường trung bình của $\Delta$M'MN

⇒ M'A' = NA'. (2)

Từ (1) và (2) suy ra BA' = 2NA'.

Và vì A' thuộc trung tuyến BN của $\Delta$BCD nên A' là trọng tâm $\Delta$BCD.

b. Xét $\Delta$ABA' với M, G, N thẳng hàng, theo định lí Melelaus, ta được:

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các $\Delta$ABC và $\Delta$ABD. Chứng minh rằng IJ // CD.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh MPNQ là hình bình hành. Từ đó, suy ra 3 đoạn MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu 4 điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì:

a. Ba đường thẳng PQ, SR, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.

b. Ba đường thẳng PS, QR, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.

Bài 5. Cho $\Delta$ABC nằm trong mặt phẳng $\alpha$. Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm về cùng một phía đối với $\alpha$. M và N là hai điểm di động lần lượt trên Bx, Cy sao cho CN = 2BM.

a. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định I khi M, N di động.

b. E thuộc đoạn AM và 3EM = EA, IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của BE và CF. Chứng minh rằng AQ song song với Bx và Cy và (QMN) chứa một đường thẳng cố định khi M, N di động.

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD.

a. Chứng minh rằng PQ // SA.

b. Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng điểm K nằm trên một đường thẳng cố định khi M di động trên BC.

c. Qua Q dựng các đường thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm giao điểm của Qx với (SAB) và của Qy với (SCD).

Bài 7. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Có thể dựng hai đường thẳng song song cắt cả a và b không ?

Bài 8. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng song song với a và cắt b đều nằm trong một mặt phẳng.

Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

Thiết diện chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng ngoài phương pháp "Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng", ta sử dụng định lí 4, như sau:

Bước 1: Chỉ ra rằng $\alpha$, $\beta$ lần lượt chứa hai đường thẳng song song a và b.

Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng.

Bước 3: Khi đó:

$\alpha$ $\cap$ $\beta$ = Mx // a // b.

Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng chứa một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước được xác định bằng cách phối hợp hai cách xác định giao tuyến đã biết.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho 2SM = MA, trên đoạn SB lấy điểm N sao cho 2SN = NB

a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD), (SBC) và chứng minh MN // CD.

b. Điểm P nằm trên cạnh SC không trùng với S. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SCD).

Giải

a. Ta có:

⇒ Sx // AD // BC.

Từ giả thiết, ta có:

(1)

Mặt khác, vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // CD.

b. Ta có:

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định giao điểm S của mặt phẳng (PQR) với cạnh AD nếu:

a. PR // AC.

b. PR cắt AC.

Giải

a.

Ta có:

Giả sử Qx cắt AD tại S thì S chính là giao điểm của (PQR) với cạnh AD.

b.

Ta có:

⇒ Qy, PR và AC đồng quy tại I.

Giả sử Qx cắt AD tại S thì S chính là giao điểm của (PQR) với cạnh AD.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang, các cạnh đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các $\Delta$SAD, $\Delta$SBC.

a. Tìm giao tuyến của (SAD) với (SBC).

b. Tìm giao tuyến của (BCI) với (SAD).

c. Tìm giao tuyến của (ADJ) với (SBC)

d. Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Giải

a. Ta có:

⇒ Sx // AD // BC.

b. Ta có:

⇒ ly // AD // BC

và ly cắt SA, SD theo thứ tự tại M, N.

c. Ta có:

⇒ Jz // AD // BC

và Jz cắt SB, SC theo thứ tự tại E, F.

d. Giả sử AE cắt BM tại H và CN cắt DF tại K, và ta cần đi tính độ dài HK.

Bạn đọc tự làm dựa trên định lí Ta – lét, đáp số HK = $\large \frac{2}{5}$(a + b).

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB, CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC và G là trọng tâm $\Delta$SAB.

a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG).

b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì ? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.

Giải

a. Ta có:

⇒ Gx // AB // IJ.

b. Giả sử Gx cắt SA, SB theo thứ tự tại M, N. Khi đó ta được 4 đoạn giao tuyến là IJ, IM, MN và NJ. Do đó thiết diện là hình thang MNJI. Ta có:

– tính chất đoạn trung bình.

Để hình thang MNJI là hình bình hành điều kiện là:

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD, các cạnh bằng nhau và bằng 6a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.

a. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.

b. Tính diện tích thiết diện theo a.

Giải

a. Ta có:

Giả sử Kx cắt AD theo thứ tự tại H. Khi đó ta được 4 đoạn giao tuyến là IJ, IH, HK và KJ. Do đó thiết diện là hình thang IJKH.

Mặt khác, ta thấy ngay:

$\Delta$ACD = $\Delta$BCD ⇒ IH = JK.

Vậy, thiết diện IJKH là hình thang cân.

b.

Trong $\Delta$ABC, ta có:

Trong $\Delta$ABD, ta có:

Trong $\Delta$BJK, ta có:

BJ = 3a, BK = 4a

Xét hình thang IJKH, hạ đường cao KP, ta có:

Nhận xét: Trong lời giải câu b), vì thiết diện IJKH là hình thang cân nên việc tính diện tích của nó khá đơn giản.

Trong nhận xét này, chúng ta cùng xem xét một đề xuất khác để tính được diện tích thiết diện và nó đặc biệt có ích trong trường hợp thiết diện là những đa giác không có dạng đặc thù.

Kéo dài IH và JK, chúng cắt nhau tại Q.

Khi đó:

$S_{IJKH}$ = $S_{\Delta QIJ}$ - $S_{\Delta QHK}$

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều. Cho SC = SD = $a\sqrt{3}$. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB. M là một điểm trên cạnh AD. Mặt phẳng (HKM) cắt BC tại N.

a. Chứng minh HKMN là hình thang cân.

b. Đặt AM = x (0 $\leq$ x $\leq$ a), tính diện tích của tứ giác HKMN theo a, x.

Tính x để diện tích này nhỏ nhất.

c. Tìm tập hợp giao điểm của HM và KN; của HN và KM.

Giải

a. Ta có:

⇒ MN // AB // KH. (1)

Mặt khác, ta lại có:

$\Delta$SAD = $\Delta$SBC (c.c.c) ⇒ $\widehat{SAD}$ = $\widehat{SBC}$

⇒ $\Delta$HAM = $\Delta$KBN (c.g.c)

⇒ MH = NK. (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNKH là hình thang

b.

Ta có ngay:

Trong $\Delta$SAD, ta có:

Trong $\Delta$HAM, ta có:

Trong hình thang cân MNKH, gọi P là chân đường cao hạ từ H, ta có:

Ta có biến đổi

Vậy, ta được đạt được khi

c. Hướng dẫn: Quĩ tích là đoạn $SE_{0}$ trên St // AD.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC. Trên đoạn BD lấy điểm P.

a. Tìm giao tuyến của (DMN) với (BCD).

b. Tìm giao tuyến của (MNP) với (BCD).

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm $\Delta$SAB và $\Delta$SAD. M là trung điểm CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJM).

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành.

a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

b. Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh SC nhưng không trùng với S, mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tứ giác ABMN là hình gì ?

Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là tam giác đều. Ngoài ra $\widehat{SAD}$ = 90°. Gọi Dx là đường thẳng qua D song song với SC.

a. Tìm giao điểm I của Dx với mặt phẳng (SAB).

b. Chứng minh rằng AI // SB.

c. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ACI). Tính diện tích của thiết diện.

Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. I, J lần lượt là trung điểm của SB, AB. M là một điểm bất kỳ trên nửa đường thẳng Ax chứa C. Biện luận theo vị trí của điểm M trên Ax các dạng của thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJM).

Bài 14. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Mặt phẳng $\alpha$ qua IJ cắt các cạnh AB, AC, DC, DB tại M, N, P, Q.

a. Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song.

b. Đặt AM = x, AN = y. Chứng minh rằng a(x + y) = 3xy.

c. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a, x và y.

Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. SA = SB = SC = SD = a. Gọi M là một điểm trên đoạn AO; $\alpha$ là mặt phẳng qua M và song song với AD và SO. Đặt $\large \frac{AM}{AO}$ = k, với 0 < k < 1.

a. Chứng minh thiết diện của hình chóp đã cho cắt bởi $\alpha$ là hình thang cân.

b. Tính các cạnh của thiết diện theo a và k.

c. Tìm k để thiết diện trên ngoại tiếp được một đường tròn. Trong trường hợp này hãy tính diện tích thiết diện theo a.