Bài tập tự luyện và câu hỏi trắc nghiệm (có đáp án và hướng dẫn giải)

III.BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài 9. Cho ba đường thẳng song song nhưng không đồng phẳng a, b, c. Trên a, b, c lần lượt lấy các đoạn AA', BB’, CC’ thỏa mãn AA' < BB’ < CC’. Hãy chia khối đa diện ABC.A'B'C thành một khối chóp và một khối lăng trụ.

Bài 10*. Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\] có ba kích thước a, b, c. Đường chéo\[A{{C}_{1}}\], tạo với các cạnh xuất phát từ A các góc $\alpha ,\,\beta \,,\,\gamma $

a) Chứng minh rằng: \[co{{t}^{2}}\alpha \text{ }+\text{ }co{{t}^{2}}\beta \text{ }+\text{ }co{{t}^{2}}\gamma \text{ }=\text{ }1\]

b) Chứng minh tổng các khoảng cách từ đỉnh B, A, D đến \[A{{C}_{1}}\] không vượt quá $\sqrt{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}$

Bài 11. Chứng minh rằng nếu một hình đa diện có các mặt đều là những miền tam giác thì số mặt của nó phải là số chẵn.

Bài 12. Chứng minh rằng các tâm của các mặt của hình tám mặt đều là các đỉnh của một hình lập phương.

Bài 13. Chứng minh rằng các tâm của các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình tám mặt đều.

Bài 14. Chứng minh rằng chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa diện đều \[\left\{ 3;3 \right\};\,\left\{ 4;3 \right\};\,\left\{ 5;3 \right\};\,\left\{ 3;5 \right\}\,và\,\,\left\{ 3;4 \right\}\]

IV. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM.

Câu 1. Các hình sau đây, hình nào không phải là đa diện?

(A) Hình lập phương;

(B) Hai hình lập phương có một đỉnh chung duy nhất;

(C) Hai hình lập phương rời nhau;

(D) Hai hình lập phương có một cạnh chung.

Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) Số đỉnh và số mặt của hình đa diện lồi luôn bằng nhau;

(B) Tồn tại một hình đa diện lồi có số đỉnh và số cạnh bằng nhau;

(C) Không có hình đa diện nào có số cạnh bằng số đỉnh hoặc số mặt;

(D) Có một hình đa diện lồi có số cạnh và đỉnh bằng nhau.

Câu 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Số các đỉnh hoặc các mặt của bất kì hình đa diện nào cũng:

(A) Lớn hơn hoặc bằng 4;

(B) Lớn hơn 4;

(C) Lớn hơn hoặc bằng 5;

(D) Lớn hơn 5.

Câu 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Số các cạnh của một hình đa diện luôn:

(A) Lớn hơn hoặc bằng 6;

(B) Lớn hơn 6;

(C) Lớn hơn 7;

(D) Lớn hơn hoặc bằng 8.

Câu 5. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Có hình đa diện lồi mà:

(A) Số đỉnh, số cạnh và số mặt đều lẻ;

(B) Số đỉnh và số cạnh chẵn, còn số các mặt lẻ;

(C) Số đỉnh và số cạnh lẻ còn số mặt chẵn;

(D) Số đỉnh và số mặt chẵn còn số cạnh lẻ.

Câu 6. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

(A) Một khối đa diện bất kỳ luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện;

(B) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác đối với hình đa điện;

(C) Có một hình đa diện lồi có số cạnh và mặt bằng nhau;

(D) Khối đa diện có các mặt là các tam giác thì số mặt phải là số chẵn

Câu 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Khối hộp có thể phân chia thành năm khối tứ diện;

(B) Khối hộp có thể phân chia thành sáu khối tứ diện;

(C) Khối tứ diện có thể phân chia thành bốn khối tứ diện;

(D) Khối tứ diện có thể phân chia thành năm khối tứ diện bởi hai mặt phẳng.

Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Phần bên trong của khối đa diện chứa ít nhất một đường thẳng

(B) Phần bên ngoài của khối đa diện chứa ít nhất một đường thẳng

(C) Hai điểm bất kỳ cùng thuộc một phần của khối đa diện có thể nối với nhau bằng một đường gấp khúc không có điểm chung với hình đa diện;

(D) Mọi đường gấp khúc nối hai điểm thuộc hai phần khác nhau đều có điểm chung với hình đa diện.

Câu 9. Cho một hình tứ diện, ta có thể lắp ghép thành hình hộp, gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện.

Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

(A) Tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau thì hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật

(B) Nếu tứ diện đều thì hình hộp ngoại tiếp là hình lập phương;

(C) Nếu tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc thì các mặt của hình hộp là những hình thoi

(D) Nếu tứ diện vuông thì hình hộp ngoại tiếp là hình hộp chữ nhật.

Câu 10. Chọn mệnh đề sai?

(A) Tâm các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của hình tứ diện đều;

(B) Khối đa diện có các mặt là tam giác mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh là khối tứ diện;

(C) Khối đa diện có số cạnh lớn hơn 8;

(D) Khối đa diện có các mặt là những hình đa giác có số lẻ cạnh thì tổng các mặt là số chẵn.

ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài tập tự luận.

Bài 9.

Trên đoạn BB' ta lấy điểm ${{B}_{1}}$ và trên đoạn $C{C}'$ ta lấy điểm ${{C}_{1}}$ sao cho $C{{C}_{1}}=B{{B}_{1}}\text{=A{A}'}$.

Thiết diện ${A}'{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ chia khối đa điện $ABC.{A}'{B}'{C}'$ thành hai khối đa điện, đó là khối lăng trụ $ABC.{A}'{{B}_{1}}{{C}_{1}}$ và khối chóp ${A}'{{B}_{1}}{B}'{C}'{{C}_{1}}$.

Bài 10.

a) Giả sử hình hộp chữ nhật $ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ có $AB=a,\,A{{A}_{1}}=b,\,AD=c.$ Đường

chéo $A{{C}_{1}}$ tạo với AB, \[\text{A}{{\text{A}}_{1}}\], AD các góc bằng $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma $ .

Do \[AB\bot \left( BCCB \right)\] nên\[AB\bot B{{C}_{1}}\].

Trong tam giác vuông\[AB{{C}_{1}}\] , ta có:

$\cos \alpha =\frac{AB}{A{{C}_{1}}}=\frac{a}{d}$ (d là độ dài đường chéo$A{{C}_{1}}$).

Tương tự \[\,cos\beta =\frac{b}{d},\,cos\gamma =\frac{c}{d}\]

Vậy \[co{{s}^{2}}\alpha \text{ +}\,co{{s}^{2}}\beta +co{{s}^{2}}\gamma =\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{{{d}^{2}}}=1\].

b) Gọi H, K, L lần lượt là chân đường cao hạ từ $B,{{A}_{1}},D$ xuống $A{{C}_{1}}$ .Ta có tổng khoảng cách từ \[B,\text{ }{{A}_{1}},\text{ }D\] đến $A{{C}_{1}}$là:

$BH+{{A}_{1}}K+DL=a\sin \alpha +b\sin \beta +c\sin \gamma \,\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{{{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta +{{\sin }^{2}}\gamma }=\sqrt{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}$

(do ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\sin }^{2}}\beta +{{\sin }^{2}}\gamma =2$ )

Bài 11. Gọi m là số mặt, c là số cạnh của hình đa diện. Do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có $-2c=3m$, do đó m phải là số chẵn.

Bài 12. Gọi (H) là hình tám mặt đều cạnh a. Bốn trọng tâm của bốn mặt cùng chung một đỉnh của (H) tạo thành hình vuông cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{3}$ . Từ tám trọng tâm của các mặt của hình (H) ta xác định được sáu hình vuông như vậy, mỗi trọng tâm là đỉnh của đúng ba hình vuông. Từ đó suy ra sáu hình vuông ấy là các mặt của hình lập phương cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{3}$ .

Bài 13. Gọi (H) là hình lập phương cạnh a. Ba trọng tâm của ba mặt cùng chung một đỉnh của (H) tạo thành hình tam giác đều cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.Từ sáu trọng tâm của các mặt của (H) ta xác định được tám hình tam giác như vậy, mỗi trọng tâm là đỉnh của đúng bốn hình tam giác. Từ đó suy ra tám hình tam giác ấy là các mặt của hình tám mặt đều cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Bài 14. Xét khối đa diện (H) đều loại $\left\{ p;q \right\}$.Gọi d, c, m theo thứ tự là tổng số các đỉnh, các cạnh, các mặt của (H). Do mỗi mặt của nó có p cạnh nên m mặt có pm cạnh, nhưng mỗi cạnh lại là cạnh chung của đúng hai mặt nên 2c = pm. Vì mỗi đỉnh là đỉnh chung của q mặt, nên có q cạnh tại mỗi đỉnh. Vậy ở d đỉnh có qd cạnh, tuy nhiên mỗi cạnh lại nối hai đỉnh nên 2c = qd.

Do đó ta có qd = 2c = pm.

Từ các đẳng thức trên và định lý Ơle: d = c + m = 2, ta có

\[\frac{d}{\frac{1}{q}}=\frac{c}{\frac{1}{2}}=\frac{m}{\frac{1}{p}}=\frac{d-c+m}{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}+\frac{1}{p}}=\frac{\left( d-c+m \right)2pq}{2p+2q-pq}=\frac{4pq}{2p+2q-pq}\]

Từ đó suy ra: $d=\frac{4p}{2p+2q-pq};\,c=\frac{2pq}{2p+2q-pq};\,m=\frac{4q}{2p+2q-pq}\,(*)$

Vì d, c, m, p, q là những số nguyên dương lớn hơn 2, nên:

\[2p+2q-pq>0\text{ }hay\text{ }\left( p-2 \right)\left( q-2 \right)<4\]

Từ đó suy ra \[p2,\text{ }q2\] chỉ có thể bằng 1, 2 hoặc 3.

+ Nếu \[p-2=1\] thì \[q-2\] có thể bằng 1, 2, 3 như vậy ta có các hình đa diện đều kiểu \[\left\{ 3;\text{ }3 \right\};\text{ }\left\{ 3;\text{ }4 \right\};\text{ }\left\{ \text{3};\text{ }5 \right\}.\] Áp dụng công thức (*) ta thấy chúng theo thứ tự ứng với các hình tứ diện đều, hình tám mặt đều và hình mười hai mặt đều.

+ Nếu \[p-2=2\] thì q – 2 chỉ có thể bằng 1. Ta có hình đa diện đều kiểu \[\left\{ 4;\text{ }3 \right\}\] đó là hình lập phương.

+ Nếu \[p-2=3\] thì q - 2 chỉ có thể bằng 1. Ta có hình đa diện đều kiểu {5; 3}. Đó là hình mười hai mặt đều.

* Câu hỏi trắc nghiệm