DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT CỦA KHỐI ĐA DIỆN

A. Phương pháp.

Sử dụng định nghĩa và tính chất của từng khối đa diện.

B. Bài tập.

Bài 5. Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác và mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì đó là khối tứ diện.

Giải

Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn.

Mặt khác, các mặt là tam giác, vậy khối đa diện đó là khối tứ diện.

Bài 6. Chứng minh rằng khối không gian được giới hạn bởi các cặp mặt phẳng song song lần lượt chứa các cặp cạnh đối diện của một khối tứ diện là một khối hộp.

Giải

Giả sử $(\alpha )$ và $(\beta)$ là hai mp lần lượt qua AB và CD của hình tứ diện ABCD và $(\alpha ) // (\beta)$.

Cặp mp song song lần lượt đi qua AC và BD cắt $(\alpha )$ theo hai giao tuyến AN và BM và AN // BM.

Tương tự cặp mp song song lần lượt qua AD và BC cắt $(\alpha )$ theo hai giao tuyến AM và BN; AM // BN. Vậy AMBN là hình bình hành.

Tương tự 5 mặt còn lại của khối đa diện AMBN.IDJC đều là hình bình hành, Vậy AMBN.IDC là khối hộp.

Bài 7. Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những hình đa giác có số lẻ cạnh thì tổng các mặt của nó phải là một số chẵn.

Giải

Giả sử đa diện H có các mặt là \[{{S}_{1}},\text{ }{{S}_{2}},\text{ }...,\text{ }{{S}_{m}}\] .Gọi \[{{C}_{1}},\text{ }{{C}_{2}},\text{ }...,\text{ }{{C}_{m}}\] lần lượt là số các cạnh của chúng. Do mỗi cạnh của H là cạnh chung của đúng hai mặt nên tổng các số cạnh của H bằng:

$C=\frac{1}{2}\left( {{C}_{1}}+...+{{C}_{m}} \right)$ Vì C là số nguyên và ${{C}_{1}}+...+{{C}_{m}}$ là những số lẻ nên m phải là số chẵn.

Bài 8. Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng các số đỉnh của nó phải là một số chẵn.

Giải

Giả sử đa diện H có các đỉnh là \[{{A}_{1}},\text{ }{{A}_{2}},\text{ }...,\text{ }{{A}_{d}}.\] Gọi \[{{m}_{1}},...\text{ }{{m}_{d}}\] , lần lượt là số các mặt của H nhận chúng là đỉnh chung. Như vậy mỗi đỉnh ${{A}_{k}}$ có ${{m}_{k}}$ cạnh đi qua. Do mỗi cạnh của (H) là cạnh chung của đúng hai mặt nên tổng số các cạnh của H bằng

$C=\frac{1}{2}\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+...+{{m}_{d}} \right)$ .Vì C là số nguyên và ${{m}_{1}},\,{{m}_{2}},...,\,{{m}_{d}}$ là những số lẻ nên d phải là số chẵn.