§2. Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của khối đa diện

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Các định nghĩa.

a) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó, và biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành ${M}'$ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng\[M{M}'\]

b) Mặt phẳng đối xứng của một hình. Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành

chính nó thì (P) gọi là mặt phẳng đối xứng của hình (H).

c) Phép biến hình là một phép dời hình F trong không gian nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

d) Hai hình (H) và \[\left( {{H}'} \right)\] gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

2. Các tính chất.

a) Phép đối xứng qua mặt phẳng là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

b) Hai hình tứ diện ABCD và \[{A}'{B}'{C}'{D}'\] bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau.

c) Hai tứ diện đều có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.

d) Hai hình lập phương có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.

b) Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến mặt phẳng thành mặt phẳng, nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng.

g) Phép đối xứng qua mặt phẳng là một phép dời hình.

f) Phép dời hình bảo toàn độ lớn của góc (góc giữa hai tia, góc nhị diện).

3. Biểu thức tọa độ của phép dời hình

a) Phép tịnh tiến

Trong không gian Oxyz cho điểm \[M\left( x,\text{ }y,\text{ }z \right),\text{ }\overrightarrow{v}\left( a;\text{ }b;\text{ }c \right).\]

Gọi \[{M}'\left( {x}';\text{ }{y}';\text{ }{z}' \right)=\text{ }T\left( M \right)\]

b) Phép đối xứng tâm

Trong không gian Oxyz cho điểm \[M\left( x,\text{ }y,\text{ }z \right),\text{ I}\left( {{x}_{0}};\text{ }{{y}_{0}};\text{ }{{z}_{0}} \right)\]

Gọi \[{M}'\left( {x}',\text{ }{y}',\text{ }{z}' \right)\text{ }=\text{ }{{\text{D}}_{1}}\left( M \right)\]

c) Phép đối xứng qua mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho điểm M(x, y, z). Gọi M'(x, y, z) là ảnh của M qua phép đối xứng qua mặt phẳng:

d) Phép đối xứng qua trục

Trong không gian cho điểm M(x, y, z). Gọi \[{M}'\left( {x}';\text{ }{y}';\text{ }{z}' \right)\] là ảnh của M qua phép đối xứng qua các trục:

Chú ý: Đối với phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến:

- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng cùng phương với nó.

- Biến một mặt phẳng thành một mặt phẳng cùng phương với nó.

+ Hợp thành của các phép dời hình là một phép dời hình.

+ Trong không gian: phép tịnh tiến, phép đối xứng qua mặt phẳng, phép đối xứng qua tâm và phép quay quanh một trục:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng.

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng.

c) Biến mặt phẳng thành mặt phẳng.

d) Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó.

e) Biến một góc thành một góc bằng nó.

f) Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó.

g) Biến một tứ diện thành một tứ diện.

h) Biến mặt cầu bán kính r thành một mặt cầu bán kính r.