III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, O là trung điểm AG. Tìm tập hợp điểm M trong không gian sao cho $3M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}={{k}^{2}}$ (k là hằng số).

2. Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và có độ dài lần lượt a, b, c. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

3. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và góc \[\widehat{ASB}=\alpha \] .

a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp.

c) Chứng minh rằng tâm hai mặt cầu đó trùng nhau khi và chỉ khi α = 45°.

4*. Tứ diện ABCD có các đường thẳng nối đỉnh của tứ diện với tâm đường tròn nội tiếp của mặt đối diện đồng quy. Chứng minh rằng nếu một mặt cầu đi qua ba đỉnh của tứ diện và cắt các cạnh kề với đỉnh thứ tư tại ba điểm thì ba điểm này là các đỉnh của một tam giác đều.

5*. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ diện ABCD có 6 cạnh cùng tiếp xúc với một hình cầu là: AB + CD = AC + BD = AD + CB.

6. Cho hình lập phương cạnh a.

a) Tính thể tích khối cầu (S) tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình lập phương.

b) Gọi I là tâm của hình lập phương. Hãy tính bán kính các mặt cầu nội tiếp trong các hình chóp có chung đỉnh I và có đáy là các mặt bên của hình lập phương.

V. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Hình nào sau đây luôn nội tiếp mặt cầu ?

(A) Hình chóp đáy là tam giác; (B) Hình chóp đáy là tứ giác;

(C) Hình lăng trụ tam giác; (D) Hình lăng trụ tứ giác.

Câu 2. Cho điểm M nằm trên mặt cầu (S). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) Mọi đường thẳng đi qua M đều cắt (S) tại hai điểm phân biệt;

(B) Mọi mặt phẳng qua M đều cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn;

(C) Mặt phẳng qua M và qua tâm mặt cầu thì cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn;

(D) Đường thẳng qua M cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn.

Câu 4. Cho mặt cầu (S) và một điểm A nằm ngoài mặt cầu (S). Khi đó qua điểm A ta kẻ được:

(A) Một tiếp tuyến với mặt cầu

(B) Hai tiếp tuyến với mặt cầu;

(C) Bốn tiếp tuyến với mặt cầu;

(D) Vô số tiếp tuyến với mặt cầu.

Câu 5. Trong mặt phẳng (d) cho tứ giác ABCD và điểm M thỏa mãn MA.MB = MC.MD khi đó có:

(A) Một mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.

(B) Có vô số mặt cầu đi qua A, B, C, D.

(C) Có vô số đường tròn đi qua A, B, C, D.

(D) Cả (A), (B), (C) đều sai.

Câu 6. Khối cầu có bán kính R = 2. Khi đó thể tích của nó bằng:

(A) $16\pi $; (B) $\frac{16\pi }{3}$ (C)$\frac{32\pi }{5}$ (D) $\frac{32\pi }{3}$

Câu 7. Hình hộp chữ nhật có các kích thước 3; 4; 5. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp bằng:

(A)$5\sqrt{2}$ (B) $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ (C) $\frac{2\sqrt{2}}{5}$ (D) $\frac{2}{2\sqrt{2}}$

Câu 8. Trong các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R thì:

(A) Hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất;

(B) Hình lập phương có thể tích lớn nhất;

(C) Hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số nhân công bội khác 1 có thể tích lớn nhất;

(D) Hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số cộng công sai khác 0 có thể tích lớn nhất.

Câu 9. Một hình cầu có thể tích ngoại tiếp một hình lập phương. Trong các số sau đây, số nào là thể tích khối lập phương?

(A)$\frac{8\sqrt{3}}{9}$ (B) $\frac{8}{3}$ (C) 1; (D) $2\sqrt{3}$ .

Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

(A) Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau;

(B) Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song;

(C) Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau;

(D) Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng phân biệt.

V. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

* Bài tập tự luận

1. Chứng minh $3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$. Sau đó chứng minh

$3M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}=6M{{O}^{2}}+3O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}$

Theo đề bài ta có: $3M{{O}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}={{k}^{2}}$

$\Leftrightarrow M{{O}^{2}}=\frac{{{k}^{2}}}{6}-\frac{3O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}}{6}$

+ Nếu $\frac{{{k}^{2}}}{6}<\frac{3O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}}{6}$ thì tập hợp $M=\varnothing $

+ Nếu $\frac{{{k}^{2}}}{6}=\frac{3O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}}{6}$ thì $M\equiv O$

+ Nếu $\frac{{{k}^{2}}}{6}>\frac{3O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}}{6}$ thì tập hợp điểm M là mặt cầu tâm O, bán kính $R=\sqrt{\frac{3O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}}{6}}$

2. $R=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$

3. a) $R=\frac{a}{4\sqrt{\cos \alpha .\sin \frac{\alpha }{2}}}$ b) $r=\frac{a\sqrt{\cos \alpha }}{2\left( \cos \frac{\alpha }{2}+\sin \frac{\alpha }{2} \right)}$

c) \[\alpha =\widehat{ASB}=\widehat{ACB}=45{}^\circ \Rightarrow \] Tâm hai mặt cầu trùng nhau.

4.

Giả sử mặt cầu đi qua ba đỉnh B, C, D và cắt các cạnh AB, AC, AD tại B1,C1,D1

Gọi A', B' là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và tam giác ACD, I là giao AB' với CD $\Rightarrow $ A' $\in $ BI

Do AI, BI là các đường phân giác trong của $\Delta $ACD; $\Delta $BCD nên

$\frac{AC}{AD}=\frac{IC}{ID}=\frac{BC}{BD}\Rightarrow AC.BD=AD.BC$

Tương tự ta có: AB.CD = AC.BD = AD.BC (1)

Xét $\Delta $AB1C $\backsim $ $\Delta $ACB có $\frac{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}{BC}=\frac{A{{B}_{1}}}{AC}$

hay ${{B}_{1}}{{C}_{1}}=\frac{A{{B}_{1}}.BC}{AC}$ (2)

Tương tự ${{B}_{1}}{{D}_{1}}=\frac{A{{B}_{1}}.BD}{AD}$ (3). Từ (1), (2), (3) ta có

Chứng minh tương tự , hay là tam giác đều.

5. + Điều kiện cần: Dựa vào tính chất các đoạn tiếp tuyến kẻ từ cùng một điểm tới mặt cầu thì bằng nhau.

+ Điều kiện đủ: Giả sử tứ diện ABCD thỏa mãn AB + CD = AC + DB = AD + BC.

Gọi là tâm các đường tròn nội tiếp Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

6. a)

b)

* Câu hỏi trắc nghiệm