II . CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO.

DẠNG 1. BÀI TẬP DÙNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC

A. Phương pháp.

Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép dời hình.

Bài 1. Cho vectơ $\overrightarrow{v}$, phép biến hình mỗi điểm M thành \[{M}'\] sao cho \[\overrightarrow{M{M}'}\text{ }=\text{ }\overrightarrow{v}\] gọi là phép tịnh tiến (theo vectơ $\overrightarrow{v}$). Chứng minh rằng:

a) Phép tịnh tiến là một phép dời hình.

b) Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song \[\left( P \right)~\] và \[\left( {{P}'} \right)\] là một phép tịnh tiến.

Giải

a) Phép tịnh tiến biến điểm M thành \[{M}'\], biến N thành \[{N}'\] và \[\overrightarrow{M{M}'}=\overrightarrow{v},\text{ }NN=\overrightarrow{v}\,\Rightarrow \overrightarrow{M{M}'}=\overrightarrow{N{N}'}\]

do đó tứ giác \[MN{N}'{M}'\] là hình bình hành\[~\Rightarrow MN={M}'{N}'\] .

Vậy phép tịnh tiến là một phép dời hình.

b) Giả sử khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \[\left( P \right)\] và \[\left( {{P}'} \right)\] là h. Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến điểm M thành M', phép đối xứng qua mặt phẳng \[\left( {{P}'} \right)\]biến điểm \[{M}'\] thành \[{{M}'}'\]Ta có:

$\overrightarrow{M{{M}'}'}=\overrightarrow{M{M}'}+\overrightarrow{{M}'{{M}'}'}=2\overrightarrow{h}$

Đặt \[\overrightarrow{v}=\text{ }2\overrightarrow{h}\] là vectơ xác định (có độ dài bằng 2h, phương vuông góc (P) hướng từ trên xuống). Vậy hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song \[\left( P \right)\] và \[\left( {{P}'} \right)\] là một phép tịnh tiến.

Bài 2. Cho mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] có phương trình: \[3x-2y+z5=0\] và \[\overrightarrow{v}\left( -2,\text{ }1,\text{ }1 \right).\]

Viết phương trình mặt phẳng \[\left( {{\alpha }'} \right)\] là ảnh của \[\left( \alpha \right)\]qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$

Giải

Cách 1: Lấy một điểm \[M\left( 0;0;5 \right)\in \left( \alpha \right)\,\Rightarrow {M}'={{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( M \right)=\left( -2;1;6 \right)\]. Mặt phẳng \[\left( {{\alpha }'} \right)\]song song với \[\left( \alpha \right)\]nên phương trình có dạng: \[3x2y+2+\text{c}=0.\]

Vì \[{M}'\in \left( \alpha \right)\] ) nên \[3.\left( -2 \right)-2.1+6+c=0\Rightarrow c=2\] .

Vậy mp \[\left( \alpha \right)\]có phương trình:\[3x-2y+2+2=0\] .

Cách 2: Lấy điểm \[M\left( x,\text{ }y,\text{ }z \right)\in \left( \alpha \right).\]

thay vào phương trình \[\left( \alpha \right)\] ta được:\[3\left( {x}'+2 \right)-2\left( {y}'-1 \right)+\left( {z}'1 \right)-5=0\] hay

\[3{x}'-2{y}'+z'+2=0.\]

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( {{\alpha }'} \right)\] là \[3x-2y+2+2=0\] .

Bài 3. Trong không gian Oxyz cho phép biến hình F biến mỗi điểm M(x, y, z) thành điểm \[{M}'\left( {x}';\text{ }{y}';\text{ }{z}' \right)\] sao cho:

trong đó: $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{3}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}=1$,

\[{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}}={{a}_{1}}{{c}_{1}}+{{a}_{2}}{{c}_{2}}+{{a}_{3}}{{c}_{3}}={{b}_{1}}{{c}_{1}}+{{b}_{2}}{{c}_{2}}+{{b}_{3}}{{c}_{3}}=0\].

Chứng tỏ rằng F là một phép dời hình.

Giải

Ta lấy hai điểm bất kỳ \[M\left( {{x}_{o}};\text{ }{{y}_{o}};\text{ }{{c}_{o}} \right)\] và $N\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}};{{z}_{1}} \right)$.Khi đó F biến \[M,\,N\] thành \[{M}',{N}'\] có tọa độ:

${M}'\left( {{a}_{1}}{{x}_{o}}+{{b}_{1}}{{y}_{o}}+{{c}_{1}}{{z}_{o}}+{{p}_{1}};\,\,{{a}_{2}}{{x}_{o}}+{{b}_{2}}{{y}_{o}}+{{c}_{2}}{{z}_{o}}+{{p}_{2}};\,\,{{a}_{3}}{{x}_{o}}+{{b}_{3}}{{y}_{o}}+{{c}_{3}}{{z}_{o}}+{{p}_{3}}\, \right)$ và

${N}'\left( {{a}_{1}}{{x}_{1}}+{{b}_{1}}{{y}_{1}}+{{c}_{1}}{{z}_{1}}+{{p}_{1}};\,\,{{a}_{2}}{{x}_{1}}+{{b}_{2}}{{y}_{1}}+{{c}_{2}}{{z}_{1}}+{{p}_{2}};\,{{a}_{3}}{{x}_{1}}+{{b}_{3}}{{y}_{1}}+{{c}_{3}}{{z}_{1}}+{{p}_{3}} \right)$

Suy ra

$={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{o}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{o}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{o}} \right)}^{2}}=MN$

Vậy F là một phép dời hình.

Bài 4. Cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ vuông góc với nhau theo giao tuyến d và một đoạn AB ở trong $\left( \alpha \right)$song song với d. Gọi O là hình chiếu vuông góc của trung điểm I của AB trên ${{d}_{1}}$, Oz là một đường thẳng trong $\left( \beta \right)$ quay quanh O. Chứng minh rằng $\widehat{AOz}+\widehat{BOz}$ không đổi.

Giải

Gọi ${A}'$ là điểm đối xứng của A qua d, ta có:

$\overrightarrow{A{A}'}=2\overrightarrow{IO}$ $\Rightarrow $ O là trung điểm của AB.

Vì $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ vuông góc với nhau theo giao tuyến d, AA' cắt d tại E

$\Rightarrow $ A và \[{A}'\] đối xứng nhau qua $\left( \beta \right)$

$\Rightarrow \widehat{{A}'Oz}$ là ảnh của \[\widehat{AOz}\] qua phép đối xứng qua $\left( \beta \right)$

$\Rightarrow \widehat{{A}'Oz}=\widehat{AOz}$

Trong mặt phẳng xác định bởi Oz và\[{A}'B\], ta có

\[\widehat{{A}'Oz}+\widehat{BOz}=180{}^\circ .\]

Vậy \[\widehat{{A}'Oz}+\widehat{BOz}=180{}^\circ .\] không đổi $\Rightarrow $ đpcm.