BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II.

1. Cho hai hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: (AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF).

b) Lấy M là điểm thuộc đoạn DF. Tìm giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (BCE).

c) Chứng minh hai đường thẳng AC và BF không cắt nhau.

BÀI GIẢI

a) Giao tuyến của các mặt phẳng:

• Giao tuyến của (AEC) và (BFD).

+ Trong hình thang ABCD, AC cắt DB tại I, ta có:

$\left\{\begin{matrix} I\in AC\subset (AEC)\\ I\in DB\subset (BFD) \end{matrix}\right.$ ⇒ I $\in$ (AEC) $\cap$ (BFD)

+ Trong hình thang ABEF, AE cắt BF tại J, ta có:

$\left\{\begin{matrix} J\in AE\subset (AEC)\\ J\in BF\subset (BFD) \end{matrix}\right.$

⇒ J $\in$ (AEC) $\cap$ (BFD)

+ Vậy IJ = (AEC) $\cap$ (BFD).

• Giao tuyến của (BCE) và (ADF).

+ Trong hình thang ABCD:

BC $\cap$ AD = P, ta có:

$\left\{\begin{matrix} P\in BC\subset (BCE)\\ P\in AD\subset (ADF) \end{matrix}\right.$

⇒ P $\in$ (BCE) $\cap$ (ADF)

+ Trong hình thang ABEF, BE $\cap$ AF = Q.

$\left\{\begin{matrix} Q\in BE\subset (BCE)\\ Q\in AF\subset (ADF) \end{matrix}\right.$ ⇒ Q $\in$ (BCE) $\cap$ (ADF)

+ Vậy PQ = (BCE) $\cap$ (ADF).

b) Giao điểm của AM với mp(BCE).

• Trong mp(ADF), AM $\cap$ PQ = N, ta có:

+ N $\in$ AM.

+ N $\in$ PQ $\subset$ (BCE) ⇒ N $\in$ (BCE).

• Vậy N = AM $\cap$ (BCE).

c) Chứng tỏ AC, BF không cắt nhau.

• Giả sử AC $\cap$ BF = O, suy ra O $\in$ (ABCD).

• Vậy O, A, B $\in$ (ABCD) nên hình thang ABEF đồng phẳng với hình thang ABCD. Điều này mâu thuẫn với giả thiết nên AC, BF không cắt nhau.

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng SA, BC, CD. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, hãy tìm giao điểm của đường thẳng SO với mặt phẳng (MNP).

BÀI GIẢI

* Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).

• Trong mp(ABCD), gọi E = NP $\cap$ AB, F = NP $\cap$ AD.

• Trong mp(SAB), gọi Q = ME $\cap$ SB.

• Trong mp(SAD), gọi R = MF $\cap$ SD.

• Khi đó, ta có:

(MNP) $\cap$ (ABCD) = NP.

(MNP) $\cap$ (SCD) = PR.

(MNP) $\cap$ (SDA) = RM.

(MNP) $\cap$ (SAB) = MQ.

(MNP) $\cap$ (SBC) = QN.

• Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(MNP) là ngũ giác NPRMQ.

* Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mp(MNP).

• Ta có: (MNP) $\cap$ (SBD) = QR.

• Trong mp(SBD), gọi H = QR $\cap$ SO.

• Khi đó: $\left\{\begin{matrix} H\in SO\\ H\in QR\subset (MNP) \end{matrix}\right.$ ⇒ H = SO $\cap$ (MNP)

• Vậy H là giao điểm của SO và mặt phẳng (MNP).

3. Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).

c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN).

BÀI GIẢI

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC):

• Gọi I = AD $\cap$ BC.

• Ta có:

$\left\{\begin{matrix} I\in AD\Rightarrow I\in (SAD)\\ I\in BC\Rightarrow I\in (SBC) \end{matrix}\right.$

• Do đó: I $\in$ (SAD) $\cap$ (SBC).

• Mà: S $\in$ (SAD) $\cap$ (SBC)

nên SI = (SAD) $\cap$ (SBC).

• Vậy SI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

b) Giao điểm của SD và mp(AMN):

• Ta có: $\left\{\begin{matrix} SI\subset (SAD)\Rightarrow (SAD)\equiv (SAI)\\ SI\subset (SBC)\Rightarrow (SBC)\equiv (SBI) \end{matrix}\right.$

• Trong mp(SBI), gọi J = MN $\cap$ SI ⇒ (AMN) $\equiv$ (AMJ).

• Trong mp(SAI), AJ $\cap$ SD = K

⇒ $\left\{\begin{matrix} K\in SD\\ K\in AJ\Rightarrow K\in (AMN) \end{matrix}\right.$ ⇒ K = SD $\cap$ (AMN)

• Vậy K là giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).

c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(AMN).

• Mặt phẳng (AMN) cắt các mặt bên của hình chóp S.ABCD theo các đoạn giao tuyến AM, MN, NK, KA.

• Các đoan giao tuyến này khép kín tạo thành thiết diện là tứ giác AMNK.

4. Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng ($\beta$) lần lượt cắt Ax, By, Cz và Dt tại A', B', C' và D'.

a) Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt).

b) Gọi I = AC $\cap$ BD, J = A'C' $\cap$ B'D'. Chứng minh IJ song song với AA'.

c) Cho AA' = a, BB' = b, CC' = c. Hãy tính DD'.

BÀI GIẢI

a) Chứng minh (Ax, By) // (Cz, Dt).

• Mp(Ax, By) chứa hai đường thẳng cắt nhau Ax, AB.

• Vậy(Ax, By) // (Cz, Dt).

b) Chứng minh: IJ // AA'.

⇒ A'B' // C'D'. (1)

• Mặt khác, ta có:

(2)

• Từ (1), (2) ⇒ A'B'C'D' là hình bình hành.

• Do đó: I, J lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD, A'B'C'D'.

⇒ I, J là trung điểm của AC, A'C' ⇒ IJ // AA'.

• Vậy IJ song song với AA'.

c) Tính DD'.

• Do I, J là trung điểm của cạnh bên AC, A'C' của hình thang AA'C'C

⇒ AA' + C'C = 2IJ. (3)

• Do I, J là trung điểm của cạnh bên B'D', BD của hình thang BB'D'D

⇒ B'B + D'D = 2IJ. (4)

• Từ (3) và (4) ⇒ AA' + C'C = B'B + D'D

⇒ DD' = AA' + C'C - BB' = x + z - y.

• Vậy DD' = x + z - y.