CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 3

1. Nhắc lại định nghĩa vectơ trong không gian.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Hãy kể tên những vectơ bằng vectơ $\vec{AA'}$ có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ.

BÀI GIẢI

* Định nghĩa:

• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.

• Vectơ bằng vectơ $\vec{AA'}$ là $\vec{BB'}$ và $\vec{CC'}$

2. Trong không gian cho ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ và $\vec{c}$ đều khác $\vec{0}$. Khi nào ba vectơ đó đồng phẳng.

BÀI GIẢI

• Ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

3. Trong không gian hai đường thẳng không cắt nhau có thể vuông góc với nhau không? Giả sử hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec{u}$ và $\vec{v}$. Khi nào ta có thể kết luận a và b vuông góc với nhau?

BÀI GIẢI

• Trong không gian hai đường thẳng không cắt nhau có thể vuông góc nhau (khi góc giữa hai đường thẳng này bằng 90°).

• a $\perp$ b ⇔ $\vec{u}$ $\perp$ $\vec{v}$ ⇔ $\vec{u}$.$\vec{v}$ = 0.

4. Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$) có cần chứng minh a vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng ($\alpha$) hay không?

BÀI GIẢI

• Không.

• Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$) ta chỉ cần chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp ($\alpha$).

5. Hãy nhắc lại nội dung của định lí ba đường vuông góc.

BÀI GIẢI

• Định lí ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$) và a’ là hình chiếu vuông góc của a trên

($\alpha$). Khi đó đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ($\alpha$) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với a'.

6. Nhắc lại định nghĩa:

a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

b) Góc giữa hai mặt phẳng.

BÀI GIẢI

a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Định nghĩa:

• Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng ($\alpha$) tại điểm O và không vuông góc với ($\alpha$).

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ($\alpha$) là góc tạo bởi đường thẳng d và hình chiếu vuông góc d' của d trên mặt phẳng ($\alpha$), kí hiệu ($\widehat{d,\alpha }$).

• Nếu d vuông góc với ($\alpha$), ta quy ước ($\widehat{d,\alpha }$) = 90°

• Nếu d // ($\alpha$) hay d nằm trong ($\alpha$), ta quy ước ($\widehat{d,\alpha }$) = 0°.

b) Góc giữa hai mặt phẳng:

Định nghĩa:

• Giả sử hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) cắt nhau theo giao tuyến c. Từ điểm I bất kì trên c ta dựng trong

($\alpha$) đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong ($\beta$) đường thẳng b vuông góc với c. Ta gọi góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$). Như vậy góc giữa hai mặt phẳng

($\alpha$) và ($\beta$) luôn có số đo bé hơn hoặc bằng 90°.

• Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0°. Góc giữa hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) được kí hiệu là ($\alpha$, $\beta$), ta có 0° $\leq$ ($\alpha$, $\beta$) $\leq$ 90°.

7. Muốn chứng minh mặt phẳng ($\alpha$) vuông góc với mặt phẳng ($\beta$) thì phải chứng minh như thế nào?

BÀI GIẢI

• Muốn chứng minh mp($\alpha$) $\perp$ mp($\beta$) ta thường sử dụng một trong hai cách sau:

Cách 1: Chứng minh mp($\alpha$) chứa đường thẳng a và a $\perp$ mp($\beta$).

Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) bằng 90°.

8. Hãy nêu cách tính khoảng cách:

a) Từ một điểm đến một đường thẳng.

b) Từ đường thẳng a đến mặt phẳng ($\alpha$) song song với a.

c) Giữa hai mặt phẳng song song.

BÀI GIẢI

a) Cách tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a:

Cách 1: (Hình 1)

• Xác định đoạn thẳng MH $\perp$ a (H $\in$ a).

• Tính độ dài MH.

Cách 2: (Hình 2)

• Tính độ dài đường cao MH của tam giác MAB với A, B $\in$ a.

Cách 3: (Hình 3)

• Tính khoảng cách ngắn nhất từ M đến một điểm nằm trên a.

MA $\geq$ MH (MH không đổi), A $\in$ a.

⇒ MH = d(M, a).

b) Cách tính khoảng cách từ đường thẳng a đến mp($\alpha$) // a.

Cách 1: (Hình 1)

Chọn M $\in$ a và tính d(M, ($\alpha$)).

Cách 2: (Hình 2)

• Chứng minh a $\subset$ ($\beta$) // ($\alpha$).

• Chọn A $\in$ ($\beta$) rồi tính d(A, ($\alpha$)), lúc đó d(a, ($\alpha$)) = d(A, ($\alpha$)).

Chú ý: Cách 2 thường được sử dụng khi tính d(A, ($\alpha$)) được thực hiện dễ dàng hơn việc tính trực tiếp d(a, ($\alpha$)).

c) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ($\alpha$) và ($\beta$).

Cách 1: (Hình 1)

Chọn M $\in$ ($\alpha$) và tính d(M, ($\beta$)), lúc đó d(($\alpha$), ($\beta$)) = d(M, ($\beta$))

Cách 2: (Hình 2)

• Xác định hình lăng trụ ABC...A'B'C'... có hai đáy lần lượt nằm trên ($\alpha$) và ($\beta$).

• Tính độ dài đường cao của hình lăng trụ ABC...A'B'C'...

9. Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau này bằng những cách nào?

BÀI GIẢI

• Ta có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng một trong những cách sau:

Cách 1:

• Xác định đoạn vuông góc chung IJ của a và b.

• Tính độ dài đoạn thẳng IJ.

Cách 2:

• Xác định mặt phẳng ($\alpha$) chứa một trong hai đường thẳng a và b và song song với đường thằng kia (chẳng hạn, mp($\alpha$) chứa a và song song với b).

• Tính khoảng cách giữa đường thẳng b và mp($\alpha$).

Cách 3:

• Xác định mp($\alpha$) chứa a và mp($\beta$) chứa b sao cho ($\alpha$) // ($\beta$).

• Tính khoảng cách giữa ($\alpha$) và ($\beta$).

Cách 4:

• Lấy M $\in$ a và N $\in$ b.

• Xác định giá trị bé nhất của độ dài MN.

10. Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

BÀI GIẢI

• Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

• $\Delta$ là đường thẳng đi qua O và vuông góc với mp(ABC) $\equiv$ mp($\alpha$).

Thuận:

• Lấy M $\in$ $\Delta$.

• Ta có $\Delta$MOA = $\Delta$MOB = $\Delta$MOC (Ba tam giác vuông tại O, MO chung và OA = OB = OC).

⇒ MA = MB = MC.

• Vậy M ở trên đường thẳng $\Delta$ thì M cách đều ba điểm A, B, C.

Đảo

• Xét điểm M cách đều ba điểm A, B, C (MA = MB = MC).

* Vẽ MO $\perp$ mp(ABC), O $\in$ mp(ABC).

• Ta có $\Delta$MOA = $\Delta$MOB = $\Delta$MOC (Ba tam giác vuông tại O, MO chung và MA = MB = MC)

⇒ OA = OB = OC.

⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

⇒ Đường thẳng MO trùng với đường thẳng $\Delta$.

• Vậy M cách đều A, B, C thì M ở trên đường thẳng $\Delta$.

Kết luận: Tập hợp của các điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC).