§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Định nghĩa:

- Cho đường thẳng d, phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

- Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng. Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd

- Nếu hình là ảnh của hình qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói đối xứng với qua d, hay và đối xứng với nhau qua d.

- Nhận xét:

* Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi $M_{0}$ là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d.

Khi đó: M' = Đd (M) ⇔ $\vec{M_{0}M'}$ = -$\vec{M_{0}M'}$.

* M' = Đd (M) ⇔ M = Đd (M')

2. Biểu thức tọa độ:

• Nếu ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với đường thẳng d và có điểm M = (x; y), M' = Đd (M) = (x'; y') thì:

$\left\{\begin{matrix} x'=x\\ y'=-y \end{matrix}\right.$

• Nếu chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với đường thẳng d và có điểm M = (x; y), M' = Đd (M)= (x'; y') thì:

$\left\{\begin{matrix} x'=-x\\ y'=y \end{matrix}\right.$

3. Tính chất:

Tính chất 1:

- Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2:

- Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

4. Trục đối xứng của một hình:

Định nghĩa:

- Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình nếu phép đối xứng qua d biến thành chính nó.

- Khi đó ta nói là hình có trục đối xứng.

II. GIẢI ĐÁP CÂU HỎI SÁCH GIÁO KHOA:

1. Cho hình thoi ABCD. Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC.

BÀI GIẢI

- Ảnh của A, B, C, D lần lượt là A, D, C, B.

2. Chứng minh nhận xét 2.

BÀI GIẢI

• M' = Đd (M) ⇔ $\vec{M_{0}M'}$ = -$\vec{M_{0}M}$ ⇔ $\vec{M_{0}M}$ = -$\vec{M_{0}M'}$ ⇔ M = Đd (M').

3. Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(0; -5) qua phép đối xứng trục Ox.

BÀI GIẢI

• Ảnh của A là A'(1;-2), ảnh của B là B'(0; 5).

4. Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(5; 0) qua phép đối xứng trục Oy.

BÀI GIẢI

• Ảnh của A là A'(-1; 2), ảnh của B là B'(-5; 0).

5. Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với trục đối xứng, rồi dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox để chứng minh tính chất 1.

BÀI GIẢI

• Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục đối xứng d trùng với trục Ox, giả sử các điểm M'(x'; y') và N'($x'_{1}$; $y'_{1}$) là ảnh của các điểm M(x; y) và N($x_{1}$; $y_{1}$) qua Đd = Đox

• Khi đó $\left\{\begin{matrix} x'=x\\ y'=-y \end{matrix}\right.$ và $\left\{\begin{matrix} x'_{1}=x_{1}\\ y'_{1}=-y_{1} \end{matrix}\right.$

• Do đó: M'N' = $\sqrt{(x'_{1}-x')^{2}+(y'_{1}-y')^{2}}$ = $\sqrt{(x_{1}-x)^{2}+(-y_{1}+y)^{2}}$

= $\sqrt{(x_{1}-x)^{2}+(y_{1}-y)^{2}}$ = MN

6. a) Trong những chữ cái dưới đây, chữ nào là hình có trục đối xứng?

H A L O N G

b) Tìm một số hình tứ giác có trục đối xứng.

BÀI GIẢI

a) Các chữ H, A, O là những hình có trục đối xứng.

b) Hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi- là những hình có trục đối xứng.

III.GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA:

1. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox.

BÀI GIẢI

• Gọi A' = Đox (A), suy ra $\left\{\begin{matrix} x_{A'}=x_{A}\\ y_{A'}=-y_{A} \end{matrix}\right.$ ⇒ A'(1; 2).

• Gọi B' = Đox (B), suy ra $\left\{\begin{matrix} x_{B'}=x_{B}\\ y_{B'}=-y_{B} \end{matrix}\right.$ ⇒ B'(3; -1).

• Khi đó: Đox (AB) = A'B' có phương trình:

$\large \frac{x-x_{A'}}{x_{B'}-x_{A'}}$ = $\large \frac{y-y_{A'}}{y_{B'}-y_{A'}}$ ⇔ $\large \frac{x-1}{2}$ = $\large \frac{y-2}{-3}$ ⇔ 3x + 2y - 7 = 0

2. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y + 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.

BÀI GIẢI

• Gọi M(x; y) tùy ý thuộc d, suy ra 3x - y + 2 = 0. (1)

M' (x'; y') = Đoy (M) ⇒ $\left\{\begin{matrix} x'=-x\\ y'=y \end{matrix}\right.$ ⇒ $\left\{\begin{matrix} x=-x'\\ y=y' \end{matrix}\right.$

• Thay vào (1), ta được: 3.(-x') - y' + 2 = 0 ⇔ 3x' + y' - 2 = 0.

• Vậy tọa độ M' thỏa phương trình d': 3x + y - 2 = 0.

3. Trong các chữ cái sau, chữ nào là hình có trục đối xứng?

BÀI GIẢI

• W, V, E, T, A, M: mỗi chữ là một hình có một trục đối xứng.

• I, O: mỗi chữ là một hình có hai trục đối xứng.

• Chữ N là hình không có trục đối xứng.