§4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Định nghĩa:

Hai mặt phẳng ($\alpha$), ($\beta$) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. Khi đó ta kí hiệu:

($\alpha$) // ($\beta$) hay ($\beta$) // ($\alpha$).

2. Tính chất:

* Định lý 1:

Nếu mặt phẳng ($\alpha$) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng ($\beta$) , thì ($\alpha$) song song với ($\beta$).

* Hệ quả:

Nếu hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) song song với nhau, thì mọi đường thẳng a nằm trong ($\alpha$) đều song song với ($\beta$).

$\left\{\begin{matrix} (\alpha )//(\beta )\\ a\subset (\alpha ) \end{matrix}\right.$ ⇒ a // ($\beta$)

* Định lý 2:

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

A $\notin$ ($\alpha$) ⇒ tồn tại duy nhất ($\beta$) $\ni$ A: ($\beta$) // ($\alpha$)

* Hệ quả 1:

Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng ($\alpha$) thì qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với ($\alpha$).

d // ($\alpha$) ⇒ tồn tại duy nhất ($\beta$) $\supset$ d: ($\beta$) // ($\alpha$)

* Hệ quả 2:

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

$\left\{\begin{matrix} (\alpha )//(\beta )\\ (\gamma )//(\beta ) \end{matrix}\right.$ ⇒ ($\alpha$) // ($\gamma$)

* Định lý 3:

Cho hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng sắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

3. Định lý Ta-let (Thales):

* Định lý 4 (Định lý Ta-lét):

- Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

- Nếu d, d' là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song ($\alpha$), ($\beta$), ($\gamma$) lần lượt tại các điểm A, B, C và A', B', C' thì:

$\large \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}$

4. Hình lăng trụ và hình hộp:

a. Định nghĩa hình lăng trụ:

• Cho hai mặt phẳng song song ($\alpha$) và ($\alpha$'). Trên ($\alpha$) cho đa giác lồi $A_{1}A_{2}...A_{n}$. Qua các đỉnh $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt ($\alpha$') lần lượt tại $A'_{1},A'_{2},...,A'_{n}$.

• Hình gồm hai đa giác $A_{1}A_{2}...A_{n}$, $A'_{1}A'_{2}...A'_{n}$ và các hình bình hành $A_{1}A'_{1}A'_{2}A_{2}$, $A_{2}A'_{2}A'_{3}A_{3}$,...,$A_{n}A'_{n}A'_{1}A_{1}$ được gọi là hình lăng trụ và được kí hiệu là $A_{1}A_{2}...A_{n}$.$A'_{1}A'_{2}...A'_{n}$ (h.2.57).

- Hai đa giác $A_{1}A_{2}...A_{n}$ và $A'_{1}A'_{2}...A'_{n}$ được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ.

- Các đoạn thẳng $A_{1}A'_{1}$, $A_{2}A'_{2}$,..., $A_{n}A'_{n}$ được gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ.

- Các hình bình hành $A_{1}A'_{1}A'_{2}A_{2}$, $A_{2}A'_{2}A'_{3}A_{3}$,..., $A_{n}A'_{n}A'_{1}A_{1}$ được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.

- Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các đỉnh của hình lăng trụ.

b) Nhận xét:

• Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.

• Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.

• Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.

Người ta gọi tên của hình lăng trụ dựa vào tên của đa giác đáy, xem hình 2.58.

5. Hình chóp cụt:

• Định nghĩa:

- Cho hình chóp $S.A_{1}A_{2}...A_{n}$, một mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh $SA_{1}$, $SA_{2}$,...,$SA_{n}$ lần lượt tại $A'_{1}$, $A'_{2}$,...,$A'_{n}$. Hình tạo bởi thiết diện $A'_{1}A'_{2}...A'_{n}$ và đáy $A_{1}A_{2}...A_{n}$ của hình chóp cùng với các tứ giác $A'_{1}A'_{2}A_{2}A_{1}$, $A'_{2}A'_{3}A_{3}A_{2}$,...,$A'_{n}A'_{1}A_{1}A_{n}$ gọi là hình chóp cụt. (h.2.60)

- Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện $A'_{1},A'_{2},...,A'_{n}$ gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt. Các tứ giác $A'_{1}A'_{2}A_{2}A_{1}$, $A'_{2}A'_{3}A_{3}A_{2}$,...,$A'_{n}A'_{1}A_{1}A_{n}$ gọi là các mặt bên của hình chóp cụt. Các đoạn thẳng $A_{1}A'_{1}$, $A_{2}A'_{2}$,..., $A_{n}A'_{n}$ gọi là các cạnh bên của hình chóp cụt.

- Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác..., ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác,...

- Vì hình chóp cụt được cắt ra từ một hình chóp nên ta dễ dàng suy ra các tính chất sau đây của hình chóp cụt.

• Tính chất:

- Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

- Các mặt bên là những hình thang.

- Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.

II. TRẢ LỜI CÂU HỎI SÁCH GIÁO KHOA:

1. Cho hai mặt phẳng song song ($\alpha$) và ($\beta$). Đường thẳng d nằm trong ($\alpha$). Hỏi d và ($\beta$) có điểm chung không?

BÀI GIẢI

• Giả sử d $\cap$ ($\beta$) = M ⇒ $\left\{\begin{matrix} M\in d\\ M\in (\beta ) \end{matrix}\right.$

• Mà d $\subset$ ($\alpha$) ⇒ M $\in$ ($\alpha$) ⇒ ($\alpha$) và ($\beta$) phải cắt nhau hoặc trùng nhau.

Điều này trái với giả thiết ($\alpha$) $\cap$ ($\beta$) =

• Vậy d và ($\beta$) không có điểm chung.

2. Cho tứ diện SABC. Hãy dựng mặt phẳng ($\alpha$) qua trung điểm I của đoạn SA và song song với mặt phẳng (ABC).

BÀI GIẢI

$\left\{\begin{matrix} (\alpha )//(ABC)\\ (SAB)\cap (ABC)=AB\\ I\in (SAB)\cap (\alpha ) \end{matrix}\right.$

⇒ (SAB) $\cap$ ($\alpha$) = IM // AB (M $\in$ SB)

• Mà I là trung điểm của SA ⇒ M là trung điểm của SB.

$\left\{\begin{matrix} (\alpha )//(ABC)\\ (SAC)\cap (ABC)=AC\\ I\in (SAC)\cap (\alpha ) \end{matrix}\right.$ ⇒ (SAC) $\cap$ ($\alpha$) = IN // AC (N $\in$ SC)

• Mà I là trung điểm của SA ⇒ N là trung điểm của SC.

• Vậy mặt phẳng cần dựng là (IMN).

3. Phát biểu định lí Ta-lét trong hình học phẳng.

BÀI GIẢI

Định lí Ta-lét trong hình học phẳng: “Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác”.

III.GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA:

1. Trong mặt phẳng ($\alpha$) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên ($\alpha$). Trên a, b, c lần lượt lấy ba điểm A', B', C' tùy ý.

a) Hãy xác định giao điểm D' của đường thẳng d với mặt phẳng (A'B'C').

b) Chứng minh A'B'C'D' là hình bình hành.

BÀI GIẢI

a) Xác định: D' = d $\cap$ (A'B'C').

⇒ (A'B'C') $\cap$ (c,d) = C'x // A'B'.

• Goi D' = C'x $\cap$ d.

Khi đó $\left\{\begin{matrix} D'\in C'x\subset (A'B'C')\\ D'\in d \end{matrix}\right.$ ⇒ D' = d $\cap$ (A'B'C')

b) Chứng minh A'B'C'D' là hình bình hành.

• Ta có: C'D' // A'B' (chứng minh câu a) (1)

• Mặt khác: $\left\{\begin{matrix} AD//BC\\ a//b\\ a\cap AD=A \end{matrix}\right.$ ⇒ (a,d) // (b,c)

• Mà (A'B'C') $\cap$ (a, d) = A'D'.

(A'B'C') $\cap$ (b, c) = B'C'.

• Suy ra: A'D' // B'C'. (2)

• Từ (1), (2) ⇒ tứ giác A'B'C'D' là hình bình hành.

2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C'.

a) Chứng minh rằng AM song song với A'M'.

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB'C') với đường thẳng A'M.

c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB'C') và (BA'C').

d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM'M). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB'C'.

BÀI GIẢI

a) Chứng minh AM // A'M'.

• Ta có: MM' // BB' và MM' = BB' ⇒ MM' // AA'

Và MM' = AA' (hình lăng trụ)

⇒ tứ giác AA'M'M là hình bình hành

⇒ AM // A'M'.

b) Tìm giao điểm của A'M với (AB'C').

• Ta có: (AA'M'M) $\cap$ (AB'C') = AM'

Trong (AA'M'M), gọi I = A'M $\cap$ AM'

⇒ $\left\{\begin{matrix} I\in A'M\\ A'M\subset (AB'C') \end{matrix}\right.$ ⇒ I = A'M $\cap$ (AB'C')

• Vậy I là giao điểm của A'M và (AB'C').

c) Tìm d = (AB'C') $\cap$ (BA'C').

• Ta có: C' là điểm chung của (AB'C') và (BA'C').

• Gọi J là tâm của hình bình hành AA'BB'

⇒ J = A'B $\cap$ AB'

⇒ $\left\{\begin{matrix} J\in A'B\subset (BA'C')\\ J\in AB'\subset (AB'C') \end{matrix}\right.$ ⇒ J là điểm chung của (BA'C') và (AB'C').

• Do đó giao tuyến d của (AB'C') và (BA'C') là đường thẳng qua hai điểm C', J.

d) Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB'C'.

Ta có: $\left\{\begin{matrix} d\subset (AB'C')\\ AM'\subset (AB'C') \end{matrix}\right.$ ⇒ d $\cap$ AM' = G ⇒ $\left\{\begin{matrix} G\in d\\ G\in AM' \end{matrix}\right.$ ⇒ G $\in$ (AM'M)

• Ta lại có: C'J $\cap$ AM' = G.

Mà:

JC' là trung tuyến $\Delta$AB'C'

AM' là trung tuyến $\Delta$AB'C'

⇒ G là trọng tâm $\Delta$AB'C'

3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA') và (B'D'C) song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo AC' đi qua trọng tâm $G_{1}$ và $G_{2}$ của hai tam giác BDA' và B'D'C.

c) Chứng minh $G_{1}$ và $G_{2}$ chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và AA'C'C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A'IO) với hình hộp đã cho.

BÀI GIẢI

a) Chứng minh (BDA') // (B'D'C).

• Ta có:

A'B // D'C (vì tứ giác A'BCD' là hình bình hành)

BD // B'D' (vì tứ giác BB'D'D là hình bình hành)

⇒ mp(BDA') // (B'D'C).

b) Chứng minh: AC' đi qua trọng tâm $G_{1}$, $G_{2}$ của $\Delta$BDA' và $\Delta$B'DC.

• Ta có: $\left\{\begin{matrix} AC'\subset (AA'C'C)\\ AC\cap BD=0 \end{matrix}\right.$

⇒ (AA'C'C) $\cap$ (A'BD) = A'O

⇒ AC' $\cap$ A'O = $G_{1}$ ⇒ $\left\{\begin{matrix} G_{1}\in (A'BD)\\ G_{1}\in AC' \end{matrix}\right.$

• Mặt khác: $\Delta G_{1}AO$ $\Delta G_{1}C'A$

⇒ $\large \frac{G_{1}O}{G_{1}A'}$ = $\large \frac{OA}{A'C'}$ = $\large \frac{1}{2}$

⇒ $G_{1}$ là trọng tâm $\Delta$A'BD.

• Tương tự: $G_{2}$ = AC' $\cap$ (B'D'C).

$\Delta G_{2}O'C'$ $\Delta G_{2}CA$ ⇒ $\large \frac{G_{2}O}{G_{2}C}$ = $\large \frac{O'C'}{AC}$ = $\large \frac{1}{2}$

⇒ $G_{2}$ là trọng tâm $\Delta$B'D'C.

• Vậy đường chéo AC' đi qua trọng tâm $G_{1}$ và $G_{2}$ của hai tam giác BDA' và B'D'C.

c) Chứng minh $AG_{1}$ = $G_{1}G_{2}$ = $C'G_{2}$

• Ta có: $G_{1}$ là trọng tâm tam giác A'AC nên:

$\large \frac{AG_{1}}{AI}=\frac{2}{3}$ ⇒ $\large \frac{AG_{1}}{AC'}=\frac{1}{3}$ (AC' = 2AI)

Suy ra AG = $\large \frac{1}{3}$AC'.

• $G_{2}$ là trọng tâm tam giác A'C'C nên:

$\large \frac{C'G_{2}}{C'I}=\frac{2}{3}$ ⇒ $\large \frac{C'G_{2}}{C'A}=\frac{1}{3}$ (AC' = 2C'I)

Suy ra $C'G_{2}$ = $\large \frac{1}{3}$AC'.

• Vậy $AG_{1}$ = $G_{1}G_{2}$ = $C'G_{2}$ = $\large \frac{1}{3}$AC'.

Tức là $G_{1}$ và $G_{2}$ chia đoạn AC' thành ba phần bằng nhau.

d) Ta có: (A'IO) $\equiv$ (AA'C'C) ⇒ (A'IO) cắt hình hộp đã cho theo thiết diện là hình bình hành AA'C'C.

4. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi $A_{1}$ là trung điểm của cạnh SA và $A_{2}$ là trung điểm của đoạn $AA_{1}$. Gọi ($\alpha$) và ($\beta$) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua $A_{1}$, $A_{2}$. Mặt phẳng ($\alpha$) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$. Mặt phẳng ($\beta$) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại $B_{2}$, $C_{2}$, $D_{2}$. Chứng minh:

a) $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.

b) $B_{1}B_{2}$ = $B_{2}B$, $C_{1}C_{2}$ = $C_{2}C$, $D_{1}D_{2}$ = $D_{2}D$.

c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.

BÀI GIẢI

a) Chứng minh $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$ lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.

• Ta có:

$\left\{\begin{matrix} (\alpha )//(ABCD)\\ (SAB)\cap (\alpha )=A_{1}B_{1}\\ (SAB)\cap (ABCD)=AB \end{matrix}\right.$ ⇒ $A_{1}B_{1}$ // AB

⇒ $A_{1}B_{1}$ là đường trung bình của tam giác (SAB).

⇒ $B_{1}$ là trung điểm của SB (đpcm).

• Chứng minh tương tự ta cũng được $C_{1}$, $D_{1}$ lần lượt là trung điểm của SC, SD.

b) Chứng minh $B_{1}B_{2}$ = $B_{2}B$, $C_{1}C_{2}$ = $C_{2}C$, $D_{1}D_{2}$ = $D_{2}D$.

• Ta có: ($\alpha$) // ($\beta$) // (ABCD) (giả thiết).

• Hai cát tuyến SA, SB lần lượt cắt ($\alpha$), ($\beta$), (ABCD) tại $A_{1}$, $A_{2}$, A và $B_{1}$, $B_{2}$, B.

• Theo định lí Ta-lét, ta có:

$\large \frac{B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}$ = $\large \frac{B_{2}B}{A_{2}A}$

⇒ $B_{1}B_{2}$ = $B_{2}B$ (vì $A_{1}A_{2}$ = $A_{2}A$).

• Hai cát tuyến SA, SC lần lượt cắt ($\alpha$), ($\beta$), (ABCD) tại $A_{1}$, $A_{2}$, A và $C_{1}$, $C_{2}$, C.

• Theo định lí Ta-lét, ta có:

$\large \frac{C_{1}C_{2}}{A_{1}A_{2}}$ = $\large \frac{C_{2}C}{A_{2}A}$ ⇒ $C_{1}C_{2}$ = $C_{2}C$

• Hai cát tuyến SA, SD lần lượt cắt ($\alpha$), ($\beta$), (ABCD) tại $A_{1}$, $A_{2}$, A và $D_{1}$, $D_{2}$, D.

• Theo định lí Ta-lét, ta có:

$\large \frac{D_{1}D_{2}}{A_{1}A_{2}}$ = $\large \frac{D_{2}D}{A_{2}A}$ ⇒ $D_{1}D_{2}$ = $D_{2}D$

• Vậy: $B_{1}B_{2}$ = $B_{2}B$, $C_{1}C_{2}$ = $C_{2}C$, $D_{1}D_{2}$ = $D_{2}D$.

c) Các hình chóp cụt có 1 đáy là tứ giác ABCD là:

• Hình chóp cụt: $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.ABCD$.

• Hình chóp cụt: $A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}.ABCD$.