Hai đường thẳng vuông góc

§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

a) Góc giữa hai vectơ trong không gian:

Định nghĩa:

Trong không gian cho $\vec{u}$, $\vec{v}$ là hai vectơ khác $\vec{0}$. Lấy điểm A bất kì. Gọi B, C là hai điểm sao cho $\vec{AB}$ = $\vec{u}$, $\vec{AC}$ = $\vec{v}$ khi đó ta gọi góc $\widehat{BAC}$ là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$.

b) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

Trong không gian cho hai vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$ khác $\vec{0}$. Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$ là một số kí hiệu $\vec{u}$. $\vec{v}$ được xác định bởi công thức:

$\vec{u}$. $\vec{v}$ = $\mid \vec{u}\mid$.$\mid \vec{v}\mid$cos($\vec{u}$, $\vec{v}$)

2. Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng:

Định nghĩa: Vectơ $\vec{a}$ khác $\vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của $\vec{a}$ song song hoặc trùng với d.

3. Góc giữa hai đường thẳng:

Góc giữa hai đường a, b trong không gian. Kí hiệu (a, b) là góc giữa hai đường thẳng a', b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a, b.

4. Hai đường thẳng vuông góc:

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90°. Kí hiệu a $\perp$ b.

Nhận xét:

• Gọi $\vec{u}$, $\vec{v}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a, b thì:

a $\perp$ b ⇔ $\vec{u}$.$\vec{v}$ = 0

• Cho hai đường thẳng song song, nếu có một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

• Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

II. GIẢI ĐÁP CÂU HỎI SÁCH GIÁO KHOA:

1. Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$;

b) $\vec{CH}$ và $\vec{AC}$.

BÀI GIẢI

• Với tứ diện đều ABCD và H là trung điểm của cạnh AB. Ta có:

($\vec{AB}$, $\vec{BC}$) = 120°

($\vec{CH}$, $\vec{AC}$) = 150°

2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.

a) Hãy phân tích các vectơ $\vec{AC'}$ và $\vec{BD}$ theo ba vecto $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AA'}$.

b) Tính góc cos($\vec{AC'}$ và $\vec{BD}$) và từ đó suy ra $\vec{AC'}$ và $\vec{BD}$ vuông góc với nhau.

BÀI GIẢI

a) Ta có $\vec{AC'}$ = $\vec{AB}$ + $\vec{AD}$ + $\vec{AA'}$

$\vec{BD}$ = $\vec{AD}$ - $\vec{AB}$ = -$\vec{AB}$ + $\vec{AD}$.

b) Ta có trong đó:

⇒ cos($\vec{AC'}$, $\vec{BD}$) = 0.

• Do đó $\vec{AC'}$ và $\vec{BD}$ vuông góc với nhau.

3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:

a) AB và B'C';

b) AC và B'C';

c) A'C' và B'C.

BÀI GIẢI

• Góc giữa hai đường thẳng AB và B'C' bằng 90°.

• Góc giữa hai đường thẳng AC và B'C' bằng 40°.

• Góc giữa hai đường thẳng A'C' và B'C bằng 60°.

4. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Hãy nêu tên các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với:

a) Đường thẳng AB;

b) Đường thẳng AC.

BÀI GIẢI

• Các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương và vuông góc với đường thẳng AB là:

BC, AD, B'C', A'D', AA', BB', CC', DD', AD', A'D, BC', B'C.

• Các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương và vuông góc với đường thẳng AC là:

AA', BB', CC', DD', BD, B'D', B'D, BD'.

5. Tìm những hình ảnh trong thực tế minh họa cho sự vuông góc của hai đường thẳng trong không gian (trường hợp cắt nhau và trường hợp chéo nhau).

BÀI GIẢI

• Học sinh tự làm.

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA:

1. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) $\vec{AB}$ và $\vec{EG}$;

b) $\vec{AF}$ và $\vec{EG}$;

c) $\vec{AB}$ và $\vec{DH}$.

BÀI GIẢI

a) Góc giữa $\vec{AB}$ và $\vec{EG}$.

• Ta có $\vec{EG}$ = $\vec{AC}$ ⇒ ($\vec{AB}$, $\vec{EG}$) = ($\vec{AB}$, $\vec{AC}$) = $\widehat{BAC}$.

• Mà ABCD là hình vuông nên $\widehat{BAC}$ = 45°.

• Vậy ($\vec{AB}$, $\vec{EG}$) = 45°.

b) Góc giữa $\vec{AF}$ và $\vec{EG}$.

• $\vec{EG}$ = $\vec{AC}$ ⇒ ($\vec{AF}$, $\vec{EG}$) = ($\vec{AF}$, $\vec{AC}$) = $\widehat{FAC}$.

• AC, AF, FC là các đường chéo của những hình vuông bằng nhau nên bằng nhau

• Vậy $\Delta$AFC đều nên $\widehat{FAC}$ = 60°.

• Do đó ($\vec{AF}$, $\vec{EG}$) = 60°.

c) Góc giữa $\vec{AB}$ và $\vec{DH}$.

• $\vec{DH}$ = $\vec{AE}$ nên ($\vec{AB}$, $\vec{DH}$) = ($\vec{AB}$, $\vec{AE}$) = 90°.

2. Cho tứ diện ABCD.

a) Chứng minh rằng $\vec{AB}$.$\vec{CD}$ + $\vec{AC}$.$\vec{DB}$ + $\vec{AD}$.$\vec{BC}$ = 0.

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB $\perp$ CD và AC $\perp$ DB thì AD $\perp$ BC.

BÀI GIẢI

a) Chứng minh $\vec{AB}$.$\vec{CD}$ + $\vec{AC}$.$\vec{DB}$ + $\vec{AD}$.$\vec{BC}$ = 0.

• Đưa về các vectơ có cùng gốc A, ta có:

• Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có: $\vec{AB}$.$\vec{CD}$ + $\vec{AC}$.$\vec{DB}$ + $\vec{AD}$.$\vec{BC}$ = 0. (đpcm)

b) Chứng minh “nếu AB $\perp$ CD và AC $\perp$ DB thì AD $\perp$ BC”.

• Do AB $\perp$ CD nên $\vec{AB}$.$\vec{CD}$ = 0 (4)

AC $\perp$ DB nên $\vec{AC}$.$\vec{DB}$ = 0 (5)

• Thay (4) và (5) vào hệ thức ở câu a, ta được:

0 + 0 + $\vec{AD}$.$\vec{BC}$ = 0 ⇒ AD $\perp$ BC.

3. a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không?

b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c không?

BÀI GIẢI

a) Nếu a, b vuông góc với c thì a, b chỉ song song khi a, b, c đồng phẳng.

Vậy nói chung trong không gian thì a, b không song song.

b) Nếu:

a $\perp$ b nghĩa là a, c cùng vuông góc với b thì nói chung

b $\perp$ c a, c không vuông góc với nhau chẳng hạn a // c.

4. Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC', C'A. Chứng minh rằng:

a) AB $\perp$ CC';

b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

BÀI GIẢI

a) Chứng minh AB $\perp$ CC'.

• Ta có: $\vec{AB}$.$\vec{CC'}$ = $\vec{AB}$.($\vec{AC'}$ - $\vec{AC}$) = $\vec{AB}$.$\vec{AC'}$ - $\vec{AB}$.$\vec{AC}$

= AB.AC'cos60° - AB.AC'cos60° = 0

⇒ AB $\perp$ CC'.

b) Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật.

⇒ MQ // NP và MQ = NP ⇒ MNPQ là hình bình hành

• Mặt khác PQ // AB, MQ // CC',

AB $\perp$ CC' nên MQ $\perp$ PQ.

• Do đó hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật.

5. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có $\widehat{ASB}$ = $\widehat{BSC}$ = $\widehat{CSA}$. Chứng minh rằng SA $\perp$ BC, SB $\perp$ AC, SC $\perp$ AB.

BÀI GIẢI

* Chứng minh SA $\perp$ BC:

• Ta có $\vec{SA}$.$\vec{BC}$ = $\vec{SA}$($\vec{SC}$ - $\vec{SB}$) = $\vec{SA}$.$\vec{SC}$ - $\vec{SA}$.$\vec{SB}$

= SA.SC.cos$\widehat{ASC}$ - SA.SB.cos $\widehat{ASB}$ = 0

⇒ SA $\perp$ BC.

* Chứng minh SB $\perp$ AC:

• Ta có $\vec{SB}$.$\vec{AC}$ = $\vec{SB}$.($\vec{SC}$ - $\vec{SA}$) = $\vec{SB}$.$\vec{SC}$ - $\vec{SA}$.$\vec{SB}$

= SB.SC.cos $\widehat{BSC}$ - SA.SB.cos $\widehat{ASB}$ = 0

⇒ SB $\perp$ AC.

* Chứng minh SC $\perp$ AB:

• Ta có $\vec{SC}$.$\vec{AB}$ = $\vec{SC}$($\vec{SB}$ - $\vec{SA}$) = $\vec{SB}$.$\vec{SC}$ - $\vec{SA}$.$\vec{SC}$

= SB.SC.cos $\widehat{BSC}$ - SA.SC.cos $\widehat{ASC}$ = 0

⇒ SC $\perp$ AB.

6. Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC'D' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O'. Chứng minh rằng AB $\perp$ OO' và tứ giác CDD'C' là hình chữ nhật.

BÀI GIẢI