BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III

1. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song

c) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song.

d) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.

BÀI GIẢI

a) Đúng

$\left\{\begin{matrix} a\perp (P)\\ b\perp (P) \end{matrix}\right.$ ⇒ a // b

b) Đúng

$\left\{\begin{matrix} (P)\perp a\\ (Q)\perp a \end{matrix}\right.$ ⇒ (P) // (Q)

c) Sai. Vì a có thể thuộc mp($\alpha$).

d) Sai. Hai mp($\alpha$) và ($\beta$) cùng vuông góc với mp(P) thì ($\alpha$) và ($\beta$) vẫn có thể cắt nhau và trong trường hợp này thì giao tuyến của ($\alpha$) và ($\beta$) vuông góc với mp(P).

e) Sai. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì có thể không cùng thuộc một mặt phẳng, khi đó chúng chéo nhau. Ngay cả khi chúng cùng thuộc một mặt phẳng thì chúng vẫn có thể cắt nhau

2. Trong các điều khẳng định sau đây, điều nào đúng?

a) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng và ngược lại.

b) Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác.

c) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác.

d) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

BÀI GIẢI

a) Đúng. Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (theo tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau).

b) Sai. Qua một điểm ta có thể vẽ vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước

c) Sai. Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước.

Để khẳng định đúng ta có: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho.

d) Sai. Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường thẳng ấy.

3. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA bằng a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) Mặt phẳng ($\alpha$) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, SC, SD tại B',C', D'. Chứng minh B'D' song song với BD và AB' vuông góc với SB.

BÀI GIẢI

a) SA $\perp$ (ABCD) nên AB là hình chiếu của SB trên mp(ABCD). Vì ABCD là hình vuông nên BC $\perp$ AB.

Ta có:

$\left\{\begin{matrix} SA\perp (ABCD)\\ BC\perp AB \end{matrix}\right.$ ⇒ SB $\perp$ BC (định lí ba đường vuông góc).

⇒ $\Delta$SBC là tam giác vuông tại B.

• Mặt khác ta lại có: AD $\perp$ DC; SA $\perp$ DC (vì SA $\perp$ (ABCD)).

⇒ SD $\perp$ DC ⇒ $\Delta$SDC là tam giác vuông tại D.

• Vì SA $\perp$ (ABCD) ⇒ SA $\perp$ AB.

⇒ $\Delta$SAB vuông tại A.

Và SA $\perp$ AD ⇒ $\Delta$SAD vuông tại A.

Vậy bốn mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.

b) Ta có:

• Ta đã có:

⇒ AB' $\perp$ BC. (2)

• Từ (2) và (3) suy ra AB' $\perp$ SC.

• Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau mà AB' và AD' là các đường cao tương ứng nên: AD' = AB' (4)

• Ta cũng có: SB' = SD' và $\Delta$BSC = $\Delta$DSC ⇒ $\widehat{BSC}$ = $\widehat{CSD}$.

Do đó C'D' = C'B'. (5)

• Từ (4) và (5) suy ra A và C' nằm trên đường trung trực của D'B' nên:

D'B' $\perp$ AC' (6)

Mặt khác SC $\perp$ ($\alpha$); D'B' $\subset$ ($\alpha$)

⇒ SC $\perp$ D'B' (7)

• Từ (6) và (7) suy ra D'B' $\perp$ mp(SAC) (8)

• Từ (1) và (8) ta thấy DB và D'B' cùng vuông góc với mp(SAC) nên DB // D'B'.

• Ta đã có:

Vậy AB' $\perp$ SB.

4. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc $\widehat{BAD}$ = 60°. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = $\large \frac{3a}{4}$. Gọi E là trung điểm của đoạn BC, F trung điểm của đoạn BE.

a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).

BÀI GIẢI

a) Ta có: ABCD là hình thoi cạnh a nên: AB = BC = CD = DA = a.

⇒ $\Delta$ABD là tam giác cân có: $\widehat{BAD}$ = 60°.

Vậy $\Delta$ABD là tam giác đều ⇒ BD = a ⇒ OB = $\large \frac{a}{2}$ (1)

Mặt khác ta lại có: OA = OC và EC = EB.

⇒ OE là đường trung bình của $\Delta$ABC.

⇒ OE = $\large \frac{a}{2}$ (2)

Và EB = $\large \frac{a}{2}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OB = OE = EB.

Vậy $\Delta$BOE là tam giác đều, cạnh $\large \frac{a}{2}$

do đó OF là đường cao nên: OF $\perp$ BC

Và SO $\perp$ (ABCD).

⇒ SF $\perp$ BC (định lí ba đường vuông góc).

Mà BC $\subset$ (SBC).

Vậy (SBC) $\perp$ (SOF).

b) Vì (SBC) $\perp$ (SOF) và hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến SF nên nếu từ điểm O ta kẻ OH $\perp$ SF thì OH $\perp$ (SBC) do đó OH chính là khoảng cách từ O đến mp(SBC).

• Vì SO $\perp$ (ABCD) ⇒ SO $\perp$ OF.

⇒ $\Delta$SOF vuông tại O, cho ta:

• Mà OH.SF = SO.OF

• Gọi K là hình chiếu của A trên mp(SBC), ta có: AK // OH.

Trong $\Delta$AKC thì OH là đường trung bình, ta có:

AK = 2OH = 2.$\large \frac{3a}{8}$

Vậy AK = $\large \frac{3a}{4}$

5. Tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = b. Tam giác ADC vuông tại D có CD = a.

a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC là những tam giác vuông.

b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.

BÀI GIẢI

a) Vì hai mặt phẳng (ABC) và (ADC) nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nên (ABC) $\perp$ (ADC).

Mà hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến AC.

Ta lại có: BA $\subset$ (ABC)

AC $\subset$ (ADC)

BA $\perp$ AC

⇒ BA $\perp$ (ADC)

⇒ BA $\perp$ AD

⇒ $\Delta$BAD vuông tại A.

$\left\{\begin{matrix} BA\perp (ADC)\\ AD\perp AC \end{matrix}\right.$ ⇒ BD $\perp$ DC (định lí ba đường vuông góc)

⇒ $\Delta$BDC vuông tại D.

b) Gọi J là trung điểm của AC.

• Ta có: KJ // BA.

Mà BA $\perp$ (ADC)

⇒ KJ $\perp$ (ADC) ⇒ KJ $\perp$ AD (1)

Ta cũng có IJ // DC.

Mà AD $\perp$ DC ⇒ IJ $\perp$ AD (2)

• Từ (1) và (2) suy ra AD $\perp$ (IJK)

⇒ AD $\perp$ IK (3)

• Ta lại có: $\Delta$BAI = $\Delta$CDI (hai tam giác vuông cạnh AB = DC = a)

⇒ IB = IC.

⇒ $\Delta$BIC cân tại Inên IK vừa là trung tuyến vừa là đường cao.

⇒ IK $\perp$ BC. (4)

• Từ (3) và (4) suy ra IK là đường vuông góc chung của AD và BC.

6. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

a) Chứng minh BC' vuông góc với mặt phẳng (A'B'CD).

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB' và BC'.

BÀI GIẢI

a) Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên các mặt bên và mặt đáy là hình vuông.

Do đó tứ giác BCC'B' là hình vuông

⇒ BC' $\perp$ B'C. (1)

Mặt khác A'B' $\perp$ BB' và A'B' $\perp$ B'C'

⇒ A'B' $\perp$ (BCC'B')

⇒ A'B' $\perp$ BC'. (2)

Từ (1) và (2) suy BC' $\perp$ (A'B'CD).

b) Ta có: A'B' $\perp$ BC'.

• Ta lại có:

AB' $\perp$ AA' và AB' $\perp$ A'D'

⇒ AB' $\perp$ (A'D'DA)

⇒ AB' $\perp$ AD'. (3)

Từ (2) và (3) suy ra AD' // BC'.

Nên mặt phẳng (AB'D') là mặt phẳng chứa AB' và song song với BC'.

• Ta tìm hình chiếu của BC' trên mp(AB'D').

Gọi E, F là tâm của các mặt bên ADD'A' và BCC'B'.

Từ F kẻ FI $\perp$ B'E.

Ta có: BC' // AD'.

Mà BC' $\perp$ (A'B'CD) ⇒ AD' $\perp$ (A'B'CD) và IF $\subset$ (A'B'CD).

⇒ AD' $\perp$ IF

Và EB' $\perp$ IF ⇒ IF $\perp$ (AB'D').

Vậy I là hình chiếu của F trên mp(AB'D').

Qua I dựng đường thẳng song song với BC' thì đường thẳng này chính là hình chiếu của BC' trên mp(AB'D').

Đường thẳng qua I song song với BC' cắt AB' tại K.

Qua K ta kẻ đường thẳng song song với IF, đường thẳng này cắt BC' tại H

KH chính là đường vuông góc chung của AB' và BC'.

Thật vậy:

IF $\perp$ (AB'D') ⇒ IF $\perp$ AB.

và KH // IF ⇒ KH $\perp$ AB'.

• Tam giác EFB' vuông tại F; FI là đường cao thuộc cạnh huyền nên:

Với FB' = $\large \frac{a\sqrt{2}}{2}$, EF = a.

Vậy KH = IF = $\large \frac{a\sqrt{3}}{3}$

7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a góc $\widehat{BAD}$ = 60° và:

SA = SB = SD = $\large \frac{a\sqrt{3}}{2}$

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.

b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh SB vuông góc với BC.

d) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tan$\varphi$.

BÀI GIẢI

a) Kẻ SH $\perp$ (ABCD).

Do SA = SB = SD.

⇒ HA = HB = HD.

⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Do AB = AD = a và $\widehat{BAD}$ = 60°.

Nên $\Delta$ABD là tam giác đều cạnh a

Ta có:

⇒ AC = 2AO = a$\sqrt{3}$.

Mà AH = $\large \frac{2}{3}$AO ⇒ AH = $\large \frac{a\sqrt{3}}{3}$

• Trong tam giác vuông SAH, ta có:

• Ta cũng có: HC = AC - AH ⇒ HC =

• Trong tam giác vuông SHC: $SC^{2}$ = $SH^{2}$ + $HC^{2}$

b) Ta có:

c) Ta có:

• Từ (1), (2) và (3) ta có:

• Theo định lí đảo của định lí Pi-ta-go, tam giác SBC vuông tại B.

Vậy SB $\perp$ BC.

d) Ta có:

SH $\perp$ (ABCD) ⇒ SH $\perp$ DB và DB $\perp$ AC ⇒ DB $\perp$ (SAC)

mà OS $\subset$ (SAC) ⇒ DB $\perp$ OS và DB $\perp$ OA.

⇒ $\widehat{SOH}$ là góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD).

• Ta có: $\widehat{SOH}$ = $\varphi$ ⇒ tan$\varphi$ = $\large \frac{SH}{OH}$