§2. PHÉP TỊNH TIẾN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Định nghĩa:

- Trong mặt phẳng cho vectơ $\vec{v}$, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho $\vec{MM'}$ = $\vec{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$.

- Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$ thường được kí hiệu là $T_{\vec{v}}$, $\vec{v}$ được gọi là vectơ tịnh tiến.

- Như vậy: $T_{\vec{v}}$ (M) = M' ⇔ $\vec{MM'}$ = $\vec{v}$.

- Chú ý: Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.

2. Tính chất:

Tính chất 1:

- Nếu $T_{\vec{v}}$ (M) = M', $T_{\vec{v}}$ (N) = N' thì $\vec{M'N'}$ = $\vec{MN}$ và từ đó suy ra M'N' = MN.

- Ta còn nói: Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2:

Phép tịnh tiến tiến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ:

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $\vec{v}$ = (a; b).

Với mỗi điểm M(x; y) ta có M' (x'; y') là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$.

- Khi đó: $\vec{MM'}$ = $\vec{v}$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x'-x=a\\ y'-y=b \end{matrix}\right.$

- Từ đó suy ra $\left\{\begin{matrix} x'=x+a\\ y'=y+b \end{matrix}\right.$

- Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$.

II. GIẢI ĐÁP CÂU HỎI SÁCH GIÁO KHOA:

1. Cho hai tam giác đều ABE và BCD bằng nhau trên hình 1.5. Tìm phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm B, C, D.

BÀI GIẢI

• Phép tịnh tiến phải tìm là phép tịnh tiến theo $\vec{AB}$.

2. Nêu cách xác định ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$.

BÀI GIẢI

• Lấy hai điểm A và B phân biệt thuộc d. Dựng A' = $T_{\vec{v}}$(A), B' = $T_{\vec{v}}$ (B).

Khi đó $T_{\vec{v}}$ (d) chính là đường thẳng A'B'

• Lấy điểm A thuộc d. Dựng A' = $T_{\vec{v}}$(A). Khi đó $T_{\vec{v}}$(d) chính là đường thẳng qua A' và song song với d.

3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $\vec{v}$ = (1; 2). Tìm tọa độ của điểm M' là ảnh của điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến $T_{\vec{v}}$.

BÀI GIẢI

• M' = $T_{\vec{v}}$ (M) ⇒ $\left\{\begin{matrix} x_{M'}=x_{M}+1=3+1=4\\ y_{M'}=y_{M}+2=-1+2=1 \end{matrix}\right.$

Vậy M'(4; 1).

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA:

1. Chứng minh rằng: M' = $T_{\vec{v}}$ (M) ⇔ M = $T_{-\vec{v}}$ (M')

BÀI GIẢI

• M' = $T_{\vec{v}}$ (M) ⇔ $\vec{MM'}$ = $\vec{v}$ (theo định nghĩa)

⇔ $\vec{M'M}$ = -$\vec{v}$ (vectơ đối) ⇔ M = $T_{-\vec{v}}$ (M').

2. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{AG}$. Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{AG}$ biến D thành A.

BÀI GIẢI

• Dựng hình bình hành AGB'B, ta có:

$\vec{BB'}$ = $\vec{AG}$ ⇒ B' = $T_{\vec{AG}}$ (B).

• Dựng hình bình hành AGC'C, ta có:

$\vec{CC'}$ = $\vec{AG}$ ⇒ C' = $T_{\vec{AG}}$ (C).

• Ta cũng có: G = $T_{\vec{AG}}$(A).

• Vậy $\Delta$GB'C' là ảnh của tam giác ABC trong phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{AG}$. Trên tia đối của tia AG, ta lấy điểm D sao cho DA = AG.

• Ta có: $\vec{DA}$ = $\vec{AG}$ ⇔ A = $T_{\vec{AG}}$ (D).

3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ $\vec{v}$ = (-1; 2), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và đường thẳng d có phương trình x - 2y + 3 = 0.

a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo $\vec{v}$.

b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo $\vec{v}$.

c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo $\vec{v}$.

BÀI GIẢI

a) A' = $T_{\vec{v}}$(A) ⇒ $\left\{\begin{matrix} x_{A'}=x_{A}-1=2\\ y_{A'}=y_{A}+2=7 \end{matrix}\right.$

vậy A'(2; 7).

B' = $T_{\vec{v}}$(B) ⇒ $\left\{\begin{matrix} x_{B'}=x_{B}-1=-2\\ y_{B'}=y_{B}+2=3 \end{matrix}\right.$

vậy B'(-2; 3).

b) A = $T_{\vec{v}}$(C) ⇒ $\left\{\begin{matrix} x_{A}=x_{C}-1\\ y_{A}=y_{C}+2 \end{matrix}\right.$

⇒ $\left\{\begin{matrix} x_{C}=4\\ y_{C}=3 \end{matrix}\right.$

vậy C(4; 3)

c) Gọi M(x; y) tùy ý thuộc d, suy ra x - 2y + 3 = 0. (1)

• Gọi M'(x'; y') = $T_{\vec{v}}$ (M) ⇒ $\left\{\begin{matrix} x'=x-1\\ y'=y+2 \end{matrix}\right.$ ⇒ $\left\{\begin{matrix} x=x'+1\\ y=y'-2 \end{matrix}\right.$

• Thay vào (1): x' + 1- 2.(y' - 2) + 3 = 0 ⇒ x'- 2y' + 8 = 0.

• Vậy tọa độ M' thỏa phương trình d': x - 2y + 8 = 0.

4. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế?

BÀI GIẢI

• Lấy hai điểm A và B bất kì theo thứ tự thuộc a và b. Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{AB}$ sẽ biến a thành b.

• Vì có vô số cách chọn cặp điểm A, B nên có vô số phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b.