§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Khi đó có thể xảy ra một trong hai trường hợp sau:

* Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b.

Khi đó ta nói a và b đồng phẳng. Theo kết quả của hình học phẳng có ba khả năng sau đây xảy ra:

• a và b có điểm chung duy nhất M. Ta nói a và b cắt nhau tại M và kí hiệu là a $\cap$ b = {M}. Ta còn có thể viết a $\cap$ b = M.

• a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau và kí hiệu là a // b.

• a trùng với b, kí hiệu là a $\equiv$ b.

* Trường hợp 2:

Không có mặt nào chứa a và b. Khi đó ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b.

2. Tính chất:

Định lý 1:

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Nhận xét: Hai đường thẳng song song a và b xác định một mặt phẳng, kí hiệu là mp(a, b) hay (a, b).

Định lý 2: (Về giao tuyến của ba mặt phẳng)

• Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả:

• Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Định lý 3:

• Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

• Khi hai đường thẳng a và b cùng song song với đường thẳng c ta kí hiệu a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song.

II. TRẢ LỜI CÂU HỎI SÁCH GIÁO KHOA:

1. Quan sát các cạnh tường trong lớp học và xem cạnh tường là hình ảnh của đường thẳng. Hãy chỉ ra một số cặp đường thẳng không thể cùng thuộc một mặt phẳng.

BÀI GIẢI

Học sinh tự làm.

2. Cho tứ diện ABCD, chứng minh hai đường thẳng AB và CD chéo nhau. Chỉ ra cặp đường thẳng chéo nhau khác của tứ diện này.

BÀI GIẢI

• Chứng minh AB và CD chéo nhau:

- Giả sử AB và CD nằm trong một mặt phẳng (P) nào đó. Khi đó AB, AC, AD đều nằm trên (P) nên các điểm B, C, D đều thuộc (P). Mặt khác B, C, D thuộc mp (BCD) nên B, C, D nằm trên giao tuyến của (P) và mp (ABCD). Suy ra ba điểm B, C, D thẳng hàng (vô lí).

• Các cặp đường thẳng chéo nhau khác: AD và BC, BD và AC.

3. Cho hai mặt phẳng ($\alpha$) và ($\beta$) . Một mặt phẳng ($\gamma$) cắt ($\alpha$) và ($\beta$) lần lượt theo các giao tuyến a và b. Chứng minh rằng khi a và b cắt nhau tại I thì I là điểm chung của ($\alpha$) và ($\beta$) (hình 2.32.SGK).

BÀI GIẢI

$\left\{\begin{matrix} I\in a\Rightarrow I\in (\alpha )\\ I\in b\Rightarrow I\in (\beta ) \end{matrix}\right.$ ⇒ $I\in (\alpha )\cap (\beta )$

III.GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA:

1. Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R và S là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R và S đồng phẳng thì:

a) Ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy;

b) Ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy.

BÀI GIẢI

a) Ta có: PQ = (ABC) $\cap$ (PQRS).

RS = (PQRS) $\cap$ (ACD).

AC = (ABC) $\cap$ (ACD).

• Vậy ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy.

b) Ta có: PS = (PQRS) $\cap$ (ABD).

RQ = (PQRS) $\cap$ (BCD).

BD = (ABD) $\cap$ (BCD).

• Vậy ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy.

2. Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây:

a) PR song song với AC;

b) PR cắt AC.

BÀI GIẢI

a)

Xét hai mặt phẳng (PQR) và (ACD). Ta có:

PR // AC (giả thiết)

PR $\subset$ (PQR)

AC $\subset$ (ACD)

Q là điểm chung của (PQR) và (ACD)

⇒ Giao tuyến của (PQR) và (ACD) là đường thẳng d qua điểm Q và song song với AC.

• Gọi S = d $\cap$ AD.

• Khi đó: $\left\{\begin{matrix} S\in d\subset (PQR)\\ S\in AD \end{matrix}\right.$ ⇒ S là giao điểm của AD và (PQR).

b)

Do PR cắt AC (giả thiết).

• Gọi I = PR $\cap$ AC.

• Trong mặt phẳng (ACD), gọi IQ $\cap$ AD = S.

• Khi đó ta có: $\left\{\begin{matrix} S\in IQ\subset (PQR)(I\in PR;Q\in (PQR))\\ S\in AD \end{matrix}\right.$

• Vậy S = AD $\cap$ (PQR) hay S là giao điểm của AD và (PQR).

3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN.

a) Tìm giao điểm A' của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD).

b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA' và Mx cắt (BCD) tại M'. Chứng minh B, M', A' thẳng hàng và BM' = M'A' = A'N.

c) Chứng minh GA = 3GA'.

BÀI GIẢI

a) Ta có: (ANB) $\cap$ (BCD) = BN.

• Trong mặt phẳng (ABN) gọi A' = AG $\cap$ BN.

• Khi đó: $\left\{\begin{matrix} A'\in AG\\ A'\in BN\subset (BCD) \end{matrix}\right.$

⇒ A' = AG $\cap$ (BCD).

• Vậy A' là giao điểm của AG và (BCD).

b) Do M $\in$ (ABN) và Mx // AA' $\cap$ (ABN)

⇒ Mx $\subset$ (ABN).

• M' $\in$ Mx $\cap$ (BCD) nên M' $\in$ (ABN) $\cap$ (BCD).

Mà (ABN) $\cap$ (BCD) = BN.

⇒ M' $\in$ BN.

Như vậy M', A' nằm trên BN, do đó B, M', A' thẳng hàng.

• Trong (ABN) xét $\Delta$ABA', ta có:

MM' // AA'

M là trung điểm của AB

⇒ MM' là đường trung bình của $\Delta$ABA'.

⇒ M' là trung điểm BA' ⇒ BM' = M'A' (1)

Xét $\Delta$MNM', ta có:

GA' // MM'

G là trung điểm của MN

⇒ A' là trung điểm M'N ⇒ M'A' = A'N. (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BM' = M'A' = A'N.

c) Ta có: A'G là đường trung bình $\Delta$MNM' ⇒ MM' = 2GA'

MM' là đường trung bình $\Delta$ABA' ⇒ AA' = 2MM'

⇒ AA' = 4GA' ⇔ GA + GA' = 4GA' ⇒ GA = 3GA'.